Praktikum Nr. 8: Magnetfelder ============================= In diesem Praktikum war die Untersuchung von im Unterricht nicht behandelten Magnetfeldarten verlangt. Bei den Schaubildern sind die gestrichelten Funktionen Theoriekurven. Aufgabe 1: ~~~~~~~~~~ Hier sollten wir die Proportionalitäten B ~ I und B ~ 1/r, die sich aus der behaupteten Gleichung B = k * I/r ergeben, bestätigen. Dann sollten wir noch den Proportionalitätsfaktor k mit Fehlergrenzen und Einheiten bestimmen. Vorüberlegung: Aus der gegebenen Gleichung B = k * I/r ergibt sich durch Umformen k = B * r/I. Daraus ergibt sich Einheit des Proportionalitätsfaktors: [ k ] = [B] * [r]/[I] = T * m/A ================================= Magnetische Flußdichte bei festem Abstand in Abhängigkeit des Stroms: ---------------------------------------------------------------------- Zuerst haben wir die magnetische Flußdichte bei festem Abstand r (0.003 m) zu der Leiterachse gemessen. Den Theoriewert errechneten wir mit Hilfe der Formelsammlung: -7 µ0 4¶ * 10 V*s -7 k = ---- = --------------- = 2 * 10 Tm/A 2¶ 2¶ A*m k und r = 0.003 m in B = k/r * I eingesetzt: B = 2E-7 Tm/A / 0.003m * I = 6.7E-5 T/A * I Daraus ergibt sich eine theoretische Steigung von m = 67 µT/A. Wertetabelle: Anzahl der Messungen: 13 Anzahl der korrekten Messungen: 12 Anzahl der Fehlmessungen: 1 I in A: [0.0] 0.50 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -------------------------------------------------------------------------- B in µT: [0.0] 20 50 70 90 130 170 -------------------------------------------------------------------------- th. y in µT: [0.0] 34 67 100 130 170 200 I in A: 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 -------------------------------------------------------------------------- B in µT: 200 230 270 300 330 360 -------------------------------------------------------------------------- th. y in µT: 230 270 300 340 370 400 Den Meßpunkt bei I = 0 A haben wir nicht berücksichtigt, da er weit außerhalb der Fehlergrenzen liegt. Steigung m: 63.6 µT/A Fehler von m: ± 1.2 µT/A relativer Fehler von m: 1.9 % Achsenabschnitt c: -21.8 µT Fehler von c: ± 4.5 µT relativer Fehler von c: 20 % angepaßte Steigung: m = (64 ± 2) µT/A = (6.4 ± 0.2)E-5 T/A ========================================= Aus dieser Steigung kann man unsere Konstante k1 bestimmen: k1 geht aus den Gleichungen B = k1/r * I und B = m * I durch gleichsetzen hervor: k1/r * I = m * I k1 = m * r = 64 µT/A * 0.003 m = 1.92E-7 Tm/A ± 2% Magnetische Flußdichte bei festem Erregerstrom in Abhängigkeit vom Abstand: ---------------------------------------------------------------------------- Wir haben nun die magnetische Flußdichte bei festem Erregerstrom zu der Leiterachse gemessen. Dabei hatten wir große Probleme, denn der Erregerstrom war bei einer Dauerbelastung auf I = 4 A durch die Sicherung im Netzgerät begrenzt, dadurch konnten wir nur eine kleine magnetische Flußdichten erzeugen. Man mußte den Erregerstrom auch immer nachregeln, da er sich durch die Erwärmung des Drahtes ständig änderte (Widerstandveränderung). Aber das Schlimmste war die selbständige(!) Nullpunktseinstellung des Teslameters... Der Theoriewert ergibt sich aus k = 2E-7 Tm/A und I = 4 A: B = 2E-7 * 4 Tm / r = 8E-7 Tm / r Beim Linearisieren mußten wir auf der x-Achse den Kehrwert des Abstandes auftragen, da der Abstand vom Draht mit dem Kehrwert in die magnetische Flußdichte eingeht x = 1/r => B = m * x. Wertetabelle: Anzahl der Messungen: 9 Anzahl der korrekten Messungen: 7 Anzahl der Fehlmessungen: 2 r in cm: 0.20 0.50 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 [3.5] [4.0] -------------------------------------------------------------------------- 1/r in 1/cm: 5.0 2.0 1.0 0.67 0.50 0.40 0.33 [0.29] [0.25] -------------------------------------------------------------------------- B in µT: 370 190 130 80 60 60 50 [20] [20] -------------------------------------------------------------------------- th. y in µT: 400 160 80 53 40 32 27 [23] [20] Die Meßpunkte bei z = 3.5 cm und z = 4.0 cm haben wir vernachlässigt, da sie weit außerhalb unserer Meßreihe liegen. Steigung m: 68.1 µT*cm Fehler von m: ± 3.7 µT*cm relativer Fehler von m: 5.5 % Achsenabschnitt c: 38.0 µT Fehler von c: ± 7.9 µT relativer Fehler von c: 21 % angepaßte Steigung: m = (68 ± 4) µT*cm = (6.8 ± 0.4)E-7 Tm ======================================== Aus dieser Steigung kann man unsere Konstante k2 bestimmen: k2 geht aus der Gleichung B = k2*I / r = m / r hervor: k2 = m / I = 68E-8 Tm / 4 A = 1.7E-7 Tm/A ± 6% Bestimmung der Konstanten k: ============================ Aus k1 und k2 ergibt sich ein Mittelwert von k = (k1 + k2) / 2 = (1.92 + 1.7)E-7 Tm/A / 2 = 1.81E-7 Tm/A Wir vermuten die Fehlergrenzen bei etwa 5 %, da wahrscheinlich nicht der größte Fehler ausschlaggebend ist, sondern eher ein Mittelwert der beiden Fehlergrenzen von k1 (2%) und k2 6(%). Ergebnis: ========= k = (1.8 ± 0.1)E-7 Tm/A ========================= Anmerkung: ========== Auf dem untersuchten Gesetz beruht zur Zeit noch die Definition von der Grundeinheit 1 Ampere. Definition 1 A: Die Basiseinheit 1 A ist die Stärke des elektrischen --------------- Stroms, der durch zwei unendlich lange parallele Leiter im Vakuum fleißt, wenn auf diese eine Kraft eins durch fünf Millionen Newton pro Leitermeter (1/5000000 N/m) wirkt. Die Leiter sollen unendlich lang sein, da mechanische Kräfte, die auf die Drähte wirken, ausgeschlossen werden sollen. Herleitung der Definition: -------------------------- Kraft auf einen Leiter in einem Magnetfeld (das durch den anderen Leiter induziert wird): F = B * I * s, wobei - das Magnetfeld B, das der andere Leiter induziert - in dessen Feld sich der Leiter befindet - ist mit dem oben untersuchten Gesetz zu berechnen: B = 2E-7 Tm/A * I / r = 2E-7 Tm/A * 1 A / 1 m = 2E-7 T. - die Stromstärke per Definition 1 A ist. - die Leiterlänge per Definition unendlich lang ist, also gilt: s = n mit n -> oo in m ist. Die Kraft auf den gesamten Leiter bekommt man durch Einsetzen: F = lim 2E-7 T * 1 A * n n->oo Kraft pro Leitermeter bei einer Leiterlänge s = n: F/s = lim 2E-7 T * 1 A * n m / n m = 2E-7 N/m = 1/5000000 N/m n->oo Die Kraft pro Leitermeter auf den Leiter beträgt 1/5000000 N/m, entsprechend der Definition. Versuch 2: ~~~~~~~~~~ Nun führten wir die Überlegungen von Versuch 1 mit kurzen Spulen durch. Auch hier sollten wir einen Faktor k' bestimmen, die Einheit dieses Faktors ergibt sich wie in Versuch 1: [k] = Tm/A. Aus der Formelsammlung entnahmen wir die magnetische Flußdichte im Mittelpunkt eines kreisförmigen Leiters: B = µ0 * I / 2r = µ0/2 * I / r Durch die Bestätigung der Proportionalität zwischen der Windungszahl und der magnetischen Flußdichte (B ~ n) weiter unten, ergibt sich daraus für kurze Spulen die Gleichung: B = n * µ0/2 * I/r = n * k * I/r. Aus den obigen Gleichungen und µ0 = 4¶E-7 Vs/Am ergibt sich für die Konstante k' ein Theoriewert von k' = 2¶E-7 Tm/A je Windung. Magnetisches Feld im Mittelpunkt einer kurzen Spule in Abhängigkeit des Stroms ------------------------------------------------------------------------------ Wir sollten die Proportionalität zwischen der magnetischen Flußdichte B im Mittelpunkt einer kurzen Spule und dem Erregerstrom I bestätigen (B ~ I). Dazu verwendeten wir die Spule mit n = 320 Windungen und einem Radius r = 0.07 m, so daß sich der theoretische Proportionalitätsfaktor wie folgt ergibt: B = n/r * µ0/2 * I = 320/0.07m * 2¶E-7 Tm/A * I = 2.9 mT/A * I Wertetabelle: Anzahl der Messungen: 13 Anzahl der korrekten Messungen: 13 Anzahl der Fehlmessungen: 0 I in A: 0.0 0.20 0.40 0.60 0.80 1.0 1.2 --------------------------------------------------------------------------- B in mT: 0.0 0.60 1.1 1.7 2.3 2.8 3.6 --------------------------------------------------------------------------- th. B in mT: 0.0 0.58 1.2 1.7 2.3 2.9 3.5 I in A: 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 --------------------------------------------------------------------------- B in mT: 4.2 4.8 5.1 5.4 5.6 6.0 --------------------------------------------------------------------------- th. B in mT: 4.1 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8 Steigung m: 3.02 mT/A Fehler von m: ± 0.029 mT/A relativer Fehler von m: 0.96 % Achsenabschnitt c: -0.067 mT Fehler von c: ± 0.037 mT relativer Fehler von c: 56 % angepaßte Steigung: m = 3.02 ± 0.03 mT/A = 0.00302 ± 0.00003 T/A ============================================== Aus dieser Steigung kann man unsere Konstante k'1 bestimmen: Aus den oben aufgestellten Gleichungen gilt: B = n * k'1 * I/r = m * I k'1 = m * r / n = 0.00302 T/A * 0.07 m / 320 = 6.6E-7 Tm/A Magn. Feld einer kurzen Spule in Abhängigkeit von der Windungszahl ------------------------------------------------------------------ Hier soll gezeigt werden, daß die magnetische Flußdichte B proportional zu der Windungszahl ist (B ~ n). Hierzu verwendeten wir eine Spule, an der wir drei veschiedene Windungsdichten wählen konnten, dabei blieb der Radius r = 0.15 m konstant. Wenn B ~ n gilt, muß, da B ~ I, B = p * I * n gelten. Die Proportionalitätskonstante p sollte daher bei allen Messungen gleich sein, damit eine Proportionalität gezeigt ist. Daher kann man p als Steigung in einem B (I*n) Schaubild angesehen werden. Theoretische Proportionalitätskonstante p durch gleichsetzen von B = p * I*n (oben hergeleitet) und B = k' * I*n/r (siehe Aufgabe): B = n * k' * I / r = p * I * n p = 2¶E-7 Tm/A / 0.15 m = 4.2E-6 T/A Wertetabelle: Anzahl der Messungen: 3 Anzahl der korrekten Messungen: 3 Anzahl der Fehlmessungen: 0 I in A: 5.0 4.0 0.15 -------------------------------------------------------------------------- n: 5 25 250 -------------------------------------------------------------------------- I * n in A: 25 100 38 -------------------------------------------------------------------------- B in µT: 100 420 170 -------------------------------------------------------------------------- th. B in µT: 110 420 160 Steigung m = p: 4.19 µT/A Fehler von m: ± 0.20 µT/A relativer Fehler von m: 4.7 % Achsenabschnitt c: 2.19 µT Fehler von c: ± 12 µT relativer Fehler von c: 570 % angepaßter Proportionalitätsfaktor p: p = 4.2 ± 0.2 µT/A = (4.2 ± 0.2)E-6 T/A ========================================= Aus dieser Steigung kann man unsere Konstante k'2 bestimmen: Aus der obigen Gleichung n * k'2 * I / r = p * I * n geht k'2 = p * r = 4.2E-6 T/A * 0.15 m = 6.3E-7 Tm/A hervor. Magn. Feld im Mittelpunkt einer kurzen Spule in Abhängigkeit der Spulenradien ----------------------------------------------------------------------------- Hier sollte die Proportionalität zwischen der magnetischen Flußdichte und dem Kehrwert des Spulenradius bestätigt werden (B ~ 1/r). Da man die Gleichung B = n*I * k' / r bei verschiedenen Stromstärken und Windungszahlen nicht nach r linearisieren kann, formt man die Gleichung um: B / (I * n) = k' / r. Diese linearisiert man, indem man auf der x-Achse x = 1/r aufträgt, dadurch hat man die Geradenfunktion: B / (I * n) = k' * x, bei einer theoretischen Konstanten k' = 2¶E-7 Tm/A = 6.3E-6 Tm/A (s.o.). Wertetabelle: Anzahl der Messungen: 4 Anzahl der korrekten Messungen: 4 Anzahl der Fehlmessungen: 0 r in cm: 7.0 10 15 20 -------------------------------------------------------------------------- 1/x in 1/cm: 0.14 0.10 0.067 0.050 -------------------------------------------------------------------------- B in µT: 6000 360 540 150 -------------------------------------------------------------------------- I in A: 2.0 5.0 5.0 5.0 -------------------------------------------------------------------------- n: 320 10 25 10 -------------------------------------------------------------------------- Y = B/(I*n) in µT/A: 9.4 7.2 4.3 3.0 -------------------------------------------------------------------------- Theo. Y in µT/A: 9.0 6.3 4.2 3.2 Steigung m = k': 69.7 µT/A*cm Fehler von m: ± 6.2 µT/A*cm relativer Fehler von m: 8.8 % Achsenabschnitt c: -0.293 µT/A Fehler von c: ± 0.60 µT/A relativer Fehler von c: 200 % angepaßter Faktor k' k'3 = (70 ± 7) µT/A*cm = (7.0 ± 0.7)E-7 Tm/A ============================================== Bestimmung der Konstanten k': ============================= Aus k'1, k'2 und k'3 geht folgender Mittelwert hervor: k' = 1/3 (6.6 + 6.3 + 70)E-7 Tm/A = 6.6E-7 Tm/A Den Fehler dieses Mittelwerts schätzen wir auf 5%. Ergebnis: ========= k' = 6.6 Tm/A ± 5% ==================== Aufgabe 3: ~~~~~~~~~~ Hier war die magnetische Flußdichte entlang der Symmetrieachse einer kurzen Spule zu beobachten und mit dem Theoriewert zu vergleichen. Dieser ist mit dem Biot-Savartsche Gesetz zu errechnen, das wir durch Integrieren einer gegebenen Gleichung herleiten sollten. Die Beziehungen in den die Größen zueinander stehen: gegebene Gleichung: I dB = k' * ------------- * cos (ß) * ds 2 * ¶ * r'² aus der obigen Skizze kann man cos ß entnehmen, da der Cosinus eines Winkels Ankathete durch Hypotenuse ist: cos ß = r / r' I r I * r dB = k' * ------------- * ---- * ds = k' * ------------- * ds 2 * ¶ * r'² r' 2 * ¶ * r'³ Über den Pythagoras bestimmen wir r' durch r und z: r' = sqrt (r² + z²) I * r dB = k' * -------------------------- * ds 2 * ¶ * sqrt (r² + z²)³ Da hier beide Terme bzw Funktionen gleich sind, müssen auch ihre Integrale gleich sein. Die Grenzen sind 0 und 2¶r, da jedes Leiterstück des Drahtkreises einen Teil das Megnetfeldes beiträgt. 2¶ I * r 2¶ s 1 dB = k' * -------------------------- * s 1 ds 0 2 * ¶ * sqrt (r² + z²)³ 0 I * r B = k' * -------------------------- * 2¶r 2 * ¶ * sqrt (r² + z²)³ I * r² I r³ B = k' * ----------------- = k' * --- * ---------------------------- sqrt (r² + z²)³ r sqrt ( r² * (1 + z²/r²) )³ I 1 B = k' * --- * ------------------- r sqrt (1 + z²/r²)³ =================================== Die Gleichung gilt für eine Windung. Für n Windungen muß man diese noch mit der Windungszahl multiplizieren. Bei unserer Messung verwendeten wir eine Spule mit 320 Windungen und einem Radius von r = 0.07 m. Als Erregerstrom haben wir I = 1.5 A gewählt. Daraus ergibt sich eine theoretische Funktion der Form: 1.5 A 1 B(z) = 320 * 2¶E-7 Tm/A * -------- * ------------------------- 0.07 m sqrt (1 + z²/0.0049 m²)³ 0.0043 T = -------------------------- sqrt (1 + z²/0.0049 m²)³ Wertetabelle: ------------- Anzahl der Messungen: 13 z in cm: 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 -------------------------------------------------------------------------- B in mT: 4.4 4.2 3.8 3.2 2.7 2.3 1.7 -------------------------------------------------------------------------- th. B in mT: 4.4 4.3 3.9 3.4 2.9 2.4 1.9 z in cm: 7.0 8.0 9.0 10 11 12 -------------------------------------------------------------------------- B in mT: 1.4 1.1 0.80 0.70 0.60 0.40 -------------------------------------------------------------------------- th. B in mT: 1.6 1.3 1.0 0.84 0.69 0.57 Der gemessene Verlauf entspricht in etwa den erwarteten Werten. Aus diesen Werten schätzen wir die Messung auf fünf Prozent genau.