Praktikum Nr. 5: Auf- und Entladen von Kondensatoren ==================================================== Aufgabe 1: ~~~~~~~~~~ Der Schreiber zeichnet die Spannung, die an dem Kondensator anliegt, in Abhängigkeit von t auf. Kondensator | | +---| |---+ | | | | | | | +---+ | +--| R |--+ +---+ Die Spannung, die an dem Widerstand anliegt, ist die Spannung, die von der getrennten Ladung im Kondensator erzeugt wird. Man kann daher den Kondensator als Gleichstromquelle ansehen. Da die Spannung jedoch nicht konstant ist, fließt auch immer weniger Strom (I ~ U) und damit immer weniger Ladung ab. Nach einer bestimmten Zeit T, der Halbwertszeit, ist die Ladung nur noch halb so groß. Nach n Halbwertszeiten beträgt die Spannung nur noch U0*(1/2)^n. n läßt sich durch t/T ausdrücken. Dadurch ergibt sich durch Umformen die von t abhängige Spannungsfunktion: U(t) = U0 * 2^(-t/T). Diese Funktion ist eine Exponentialfunktion. Um die Halbwertszeiten zu Bestimmen wurden jeweils vier Messpunkte der Entladekurven entnommen. Zur Erstellung der halblogarithmischen Diagramme wurden 10 Meßpunkte entnommen. R = 99.1 Ohm; C = 1.0 F; U0 = 5V ================================ t in s | 19 | 115 | 50 | 144 --------+----+-----+----+------- U in V | 4 | 2 | 3 | 1.5 --------+----------+------------ dt in s | 96 | 94 ==> Halbwertszeit 95 Theoretisch: T = R * C * 0.69 = 99 Ohm * 1.0 F * 0.89 = 68 s ?! -> Die Kapazität ist nicht 1 F !? C = T / (R * 0.69) = 1.4 F Anzahl der Messungen: 10 Wertetabelle: T in s 7.2 22 35 55 77 110 150 210 250 340 ----------------------------------------------------------------------------- U in V 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.80 0.50 ----------------------------------------------------------------------------- Ln (U) 1.5 1.4 1.3 1.1 0.92 0.69 0.41 0.00 -0.22 -0.69 ----------------------------------------------------------------------------- Theo. y 1.5 1.4 1.3 1.1 0.83 0.50 0.10 -0.50 -0.90 -1.8 Steigung m: -0.00670 Fehler von m: ± 0.00020 relativer Fehler von m: 3.0 % Achsenabschnitt c: 1.48 Fehler von c: ± 0.033 relativer Fehler von c: 2.2 % Konstante (theo. m): -0.010 (siehe Aufgabe 2) Konstante (theo. c): 1.6 (ln (U0)) R = 46.4 kOhm; C = 1500 µF; U0 = 1.5 V ====================================== t in s | 17 | 50 | 29 | 86 --------+----+------+------+------ U in V | 1 | 0.5 | 0.8 | 0.2 --------+-----------+------------- dt in s | 33 | 57 (2 * Halbwertszeit, t/2 = 28.5) ==> Halbwertszeit 31 ± 5 Theoretisch: T = R * C * 0.69 = 46.4 kOhm * 1500 µF * 0.69 = 48 s ?! -> Die Kapazität ist nicht 1500 µF !? C = T / (R * 0.69) = 964 µF Anzahl der Messungen: 10 Wertetabelle: T in s 7.2 14 19 24 31 36 43 50 72 120 ----------------------------------------------------------------------------- U in V 1.3 1.1 1.0 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.30 0.10 ----------------------------------------------------------------------------- Ln (U) 0.26 0.10 0.00 -0.11 -0.22 -0.36 -0.51 -0.69 -1.2 -2.3 ----------------------------------------------------------------------------- Theo. y 0.30 0.20 0.13 0.06 -0.03 -0.10 -0.20 -0.30 -0.61 -1.3 Steigung m: -0.0228 Fehler von m: ± 0.00023 relativer Fehler von m: 0.99 % Achsenabschnitt c: 0.444 Fehler von c: ± 0.012 relativer Fehler von c: 2.6 % Konstante (theo. m): -0.014 (siehe Aufgabe 2) Konstante (theo. c): 0.40 (ln (U0)) Schaubilder im Anhang. Die Schaubilder wurden erstellt, indem man die Zeit t unverändert auf der Abszisse auftrug und als Ordinate den natürlichen Logarithmus der Spannung verwendete. Hilfe: ~~~~~~ Die Formel in der Hilfe ist die normale Formel zur Steigungsberechnung ( f(x2)-f(x1) / (x2-x1) ), nur Anstatt der normalen Funktionwerte wurden die jeweiligen Logarithmen verwendet. Aufgabe 2: ~~~~~~~~~~ Nach Lehrbuch S.42 ist die Gleichung der Theoriekurve U(t) = U0 * 2^(-t/T). Linearisiert: ln (U(t)) = ln (U0) + (-t / T) * ln (2) = ln (U0) - (t / R * C * ln (2)) * ln (2) = ln (U0) - t/(R*C); m = ((ln (U0) - t2/(R*C)) - (ln (U0) - t1/ (R*C))) / (t2 - t1) = (-(t2+t1) / ((R*C)*(t2-t1)) = - 1 / (R * C) 1 C = - ------- R * m "1 F" Kondenssator: ------------------- 1 C = - --------------------- = 1.5 F ?!? 99 Ohm * (- 0.0067) ========= "1500 µF" Kondenssator: ----------------------- 1 C = - ------------------------ = 960 µF ?!? 46400 Ohm * (- 0.0224) ========== 3. Aufgabe: ~~~~~~~~~~~ Das Schaubild W(U) gibt eine Parabel zweiten Grades. Beweis: W = 0.5 * C * U² Um eine Gerade zu erhalten wählen wir eine quadratisch beschriftete x - Achse. Dies entspricht einem W (U²) - Diagramm. x = U² W = 0.5 * C * x = m * x Die Steigung der Geraden ist die halbe Kapazität des Kondensators. Daher berträgt die Theoriesteigung m = 0.5 * 1 F = 0.5 F Anzahl der Messungen: 7 Wertetabelle: U in V 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 ------------------------------------------------------------------------ U² in V² 4.0 6.3 9.0 12 16 20 25 ------------------------------------------------------------------------ W in J 2.0 3.0 4.6 5.1 7.4 8.8 11 ------------------------------------------------------------------------ Theo. W 2.0 3.1 4.5 6.1 8.0 10 13 Steigung m: 0.422 Fehler von m: ± 0.017 relativer Fehler von m: 3.9 % Achsenabschnitt c: 0.391 Fehler von c: ± 0.25 relativer Fehler von c: 64 % Aus dieser Messreihe ergibt sich die Kapazität C = 2 * 0.422 J / V² = 0.844 C / V C = 0.84 ± 0.04 F ================= Durch R wird der Stromfluß I = U / R = Q / t begrenzt. Da U ~ Q (weil beide Entladukurven die gleiche Halbwertszeit haben) ist, ergibt sich die Proportionalität von R zu t. => Der Widerstand R beeinflußt nur die Dauer des Versuche. 4 Aufgabe: ~~~~~~~~~~ Da auch hier die Ohm'schen Gesetzte gelten, muß gelten: P = U * I P = U² / R aus I = U / R P(t) = U(t)² / R = (U0 * 2^(-t/T))²/R = (U0 * 2^(-t/(R*C*ln(2))² / R = U0² * 2^(-2t/(R*C*ln(2))) / R P(t) = U0² * 2^(-t/(0.5*R*C*ln(2))) / R ======================================= In einer Halbwertszeit steckt 2^(-t/T), daraus folgt: T = 0.5 * R * C * ln (2) = 34 s =============================== Aus dem Diagramm entnahmen wir folgende Daten: t in s | 24 | 65 | 65 | 108 --------+-------+--------+----------+-------- P in w | 0.13 | 0.067 | 0.067 | 0.33 --------+----------------+------------------- dt in s | 41 | 43 Aus diesen Werten: T = 42 s Daraus ergibt sich C = 2 * T / (R * ln (2)) = 1.2 F Die Halbwertszeit unterscheidet sich erheblich von der Theoriezeit, dies liegt daran, daß unser Kondensator eine starkt von 1 F abweichende Kapazität hat. Der Widerstand R beinflußt die Halbwertszeit und senkt die Leistung, denn er taucht bei der Leistungsfunktion im Nenner auf. Abschließende Bewertung: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Je nach Methode ergeben sich völlig verschiedene Kapazitäten: ==> Die Kapazitäten von Kondensatoren hängen vom Wetter ab! :-) "1 F" - Kondensator ------------------- Entl.Kurve (T abgelesen): 1.4 F Entl.Kurve (m angepaßt): 1.5 F Arbeitskurve: 0.84 F Leistungkurve: 1.2 F Diese Ergebnisse sprechen eingentlich für eine Kapazität von ca. 1.3 F. Doch Aufgrund einer Messung im Unterricht sind wir mißtrauisch. Leider konnten wir keinen Grung für diese Abweichungen finden. "1500 µF - Kondensator ---------------------- Entl.Kurve (T abgelesen): 984 µF Entl.Kurve (m angepaßt): 960 µF Leider auch weit von Theoriewert entfernt :-(