OSZI AMIGA Mit OSZI AMIGA wird der Amiga zum Oszillograph. Der Computer kann sowohl ein XY-Oszillograph simulieren (im folgenden Software-Oszillograph genannt), als auch (mit einem Analog- Digital-Wandler) reale Messungen durchfÜhren. Mit dem Software-Oszillograph kann man nahezu beliebige pe- riodische Schwingungen an X und Y des Oszillographen legen, um so das teilweise komplexe Verhalten verschiedener Schwin- gungen zueinander einfach und unkompliziert zu studieren. Dabei kann neben den Schwingungsformen noch das Frequenz- verhältnis beider Schwingungen zueinander und die Phasenver- schiebung bestimmt werden. Des weiteren kann man die Phasen- verschiebung mit einstellbarer Geschwindigkeit kontinuier- lich verändern lassen (von mir der Einfachkeit halber Inter- ferenz genannt), was zu verschiedenartigen graphischen Ef- fekten fÜhrt und das Verständnis der mathematischen Zusam- menhänge erhöhen kann. Für die realen Messungen ist das Programm fÜr den Anschluß des "AMIGA-SOUNDER"-Digitizers (von Markt&Technik) ausgelegt. Ist der Digitizer nicht angeschlossen, können diverse Funktionen nicht verwendet werden. Leider existiert für Audio-Digitizer auf dem Amiga kein Standard, so daß das Programm mit anderen Digitizern möglicherweise nicht zusammenarbeitet. 1. OSZI AMIGA als Software-Oszillograph Betrachten wir zuerst die Bedienung des OSZI AMIGA ohne an- geschlossene Hardware. Wichtige Funktionen eines Oszillogra- phen können vom Computer emuliert werden. So kann man ver- schiedene Zusammenhänge an diesem Software-Oszillograph de- monstrieren. 1.1 Kanalwahl Wenn Sie OSZI AMIGA von der Workbench oder vom Dos-Shell mit Oscillograph/German/Oszi gestartet haben, erscheint der Hauptbildschirm. Sollte das Programm nicht ordnungsgemäß starten, ist entweder zu wenig Speicher vorhanden, oder die Library "MathTrans.library" fehlt auf der Systemdiskette. In Bildschirmmitte erscheint die Darstellung des Oszillogra- phen, während drumherum die Einstellmöglichkeiten erkennbar sind. Es stehen fÜnf verschiedene interne Schwingungsformen im Speicher (zu Beginn Sinus, Dreieck, Sägezahn, M-Form und Linienmix), die sowohl vom Kanal X als auch vom Kanal Y ver- wendet werden können. Die selektierten Schwingungsformen sind unterlegt. Durch Anklicken der Schwingungsnamen werden diese selektiert. So kann man z.B. auf X und Y jeweils die Sinusschwingung legen. Es entsteht eine Linie von links un- ten nach rechts oben, da fÜr alle X der gleiche Wert als Y genommen wird. 1.2 Phasenverschiebung Die Phasenverschiebung läßt sich frei im Bereich von 0 bis 359 Grad einstellen. Dies geschieht mit dem entsprechend gekenntzeichneten Proportionalgadget, wobei der linke An- schlag 0 Grad entspricht, der rechte 359 Grad. Zur Hilfe ist am Regler eine Skalierung in 90-Grad-Schritten angebracht. Stellt man eine Phasenverschiebung von 45 Grad (Regler in die Mitte der linken beiden Skalierungsmarkierungen) ein, verändert sich das Bild des Oszillographs folgendermaßen: Die ursprÜngliche Linie wird zu einer gekippten Ellipse aus- einandergezogen. Wenn man den Regler langsam verschiebt, kann man diesen Vorgang gut beobachten. Erhöht man die Phasenverschiebung weiter auf 90 Grad, wird die Ellipse zu einem Kreis. 1.3 Interferenz Bei noch größeren Phasenverschiebungen wird der Kreis wieder zur Linie (bei 180 Grad, diesmal geht die Linie aber von links oben nach rechts unten), und wieder zum Kreis (270 Grad). Wenn man den Regler in einer passenden Geschwindig- keit bewegt, sieht es so aus, als wÜrde der Kreis als Ring auf einer Oberfläche rotieren. Genau diesen Effekt kann man mit der Interferenz einfach und bequem vom OSZI erzeugen lassen. Der Interferenzregler ist genauso wie der Phasenverschiebungsregler zu benutzen. Je weiter der Regler nach rechts geschoben wird, desto schneller verändert das Programm die Phasenverschiebung. Ist die Interferenz aktiviert, ist der Regler fÜr die Phasen- verschiebung abgeschaltet, da sich diese ja laufend ändert. Bewegt man den Regler nahe an den rechten Anschlag heran, kann es passieren, daß durch Überlagerungen wieder scheinbar stillstehende Figuren entstehen. Die Interferenz wird wieder abgeschaltet, indem man den Reg- ler an den linken Anschlag schiebt. Sofort wird auch wieder der Phasenverschiebungsregler aktiviert und entsprechend korrigiert. Die Geschwindigkeit der Interferenz-Animation ist für einen unbeschleunigten Amiga (z.B. Amiga 500) ausgelegt. Bei Amigas mit hoher Taktrate könnte die Bewegung ein wenig schnell sein. 1.4 Frequenzverhältnis Nun betrachten wir die Frequenzfaktoren, die z.B. das Frequenz- verhältnis bei Software-Signalen an X und Y festlegen. Aus GeschwindigkeitsgrÜnden kann der Faktor nur aus ganzen Zahlen von je 1 bis 9 gebildet werden kann. Zu Beginn sind die Faktoren beide 1, d.h. das Frequenzverhältnis ist 1:1, also haben die Schwingungen fÜr X und Y die gleiche Frequenz. Soll die Frequenz fÜr Y doppelt so groß sein, stellt man für Y einen Faktor von 2 ein. Dazu klickt man einfach den rechten roten ">"-Pfeil an. Dies erhöht die entsprechenden Frequenzfaktor um 1. Mit dem "<"-Pfeil wird der Wert erniedrigt. Wählt man z.B. ein Verhältnis von 2:1, dreht sich das Bild um 90 Grad. Man sollte beachten, daß die Bildqualität mit steigenden Werten abnimmt, da die Figuren immer komplizier- ter werden. Übrigens: Die Figuren, die wir zur Zeit erzeugen, heißen Lissajouz-Figuren (benannt nach einem französischen Physiker). 1.5 Andere Schwingungsformen Statt mit Sinus kann man auch mit beliebigen anderen Schwin- gungsformen arbeiten. Wie schon erwähnt, kann man zu Beginn noch Dreieck, Sägezahn, eine M-Form und ein "Linienmix" anwählen. Wenn der Sinus auf X gelegt wird, wird die Y-Schwingung qua- si zu einem Kreis gebogen. Mit dem Dreieck lassen sich ähn- liche Ergebnisse erzielen wie mit dem Sinus. Statt rund sind die Figuren aber nun eckig. Mit dem Sägezahn lassen sich sämtliche Schwingungen in ihren Grundformen betrachten. Die M-Form liefert schon recht komplexe Ergebnisse (einfach aus-testen), während der Linienmix ein zerhackter Sägezahn ist und die Figuren nett durcheinanderwÜrfelt. 2. Der Schwingungseditor Reichen einem die Grunddefinitionen einmal nicht mehr, kann man in den Schwingungseditor gehen. Dieser wird erreicht, indem man die Schwingung, die man editieren möchte, durch anklicken aktiviert und dann noch einmal anklickt. Sofort verschwindet das Oszillograph und der Editor wird eingeblen- det. Auf der linken Seite befindet sich das Zeichenfeld, auf der rechten Seite eine Reihe von Sonderfunktionen. Mit der Maus kann man nun auf dem Zeichenfeld herummalen. Man beachte, daß fÜr jeden X-Wert nur genau ein Y-Wert ge- setzt wird. Man kann z.B. nicht zwei untereinanderliegende horizontale Linien malen. Mit dem Gadget "Editor verlassen" im rechten Funktionswindow verläßt man den Editor wieder. 2.1 Editor-Sonderfunktionen Auf der rechten Seite kann man folgende Funktionen anwählen: 1. Name: Hier kann man den Namen der Schwingung angeben. Dieser Name erscheint dann in der Liste der wählbaren Schwingungen des EinstellungsmenÜs. 2. Editor verlassen: Durch Anklicken dieses Feldes gelangt man zurÜck in die Oszillograph-Darstellung. 3. Laden einer Schwingung: Mit dieser Funktion kann man eine Schwingung von Diskette laden. DafÜr erscheint ein File requester (s.u.), mit dem man das gewÜschte File anwählen kann. Der Filename wird auch unter Name eingetragen (siehe Punkt 1). 4. Speichern der Schwingung: Hiermit kann man die im Zei- chenfeld dargestellte Schwingung speichern. Die Vorgehens- weise ist wie beim Laden. 5. Ganze Schwingung an X spiegeln & 6. Ganze Schwingung an Y spiegeln: Mit diesen beiden Funk- tionen kann man die editierte Schwingung an den Mittelachsen spiegeln. 7. Linke Hälfte achsenspiegeln & 8. Linke Hälfte punktspiegeln: Diese beiden Funktionen er- leichtern das Zeichnen von symmetrischen Schwingungen, indem man nur noch die linke Hälfte zeichnen muß. 9. Funktionsgraph ausplotten: Dieser Programmpunkt ist be- sonders mächtig, da hier ein kompletter Funktionsplotter integriert ist! Man kann hier beliebige mathematische Funk- tionen als Schwingungen verwenden, doch dazu unten mehr. 10. Digitizer-Meßreihe: Hiermit kann man einen wählbaren Zeitraum lang die Meßwerte des Digitizers aufzeichnen und das so entstehende Bild aus Schwingung benutzen. Zu dieser Funktion mehr im Abschnitt 3.3. 11. Letzten Schritt zurÜcknehmen: Damit kann man die zuletzt durchgefÜhrte Aktion wieder rÜckgängig machen (wie z.B. das Laden). 12. Alles rÜcksetzen: Mit dieser Funktion wird die editierte Schwingung wieder in den Zustand versetzt, den sie bei Auf- ruf des Editors hatte, d.h. alle getätigten Aktionen werden verworfen. Ein fehlerhaftes Aufrufen dieser Funktion kann mit "Letzte Aktion zurÜcknehmen" widerrufen werden. 2.2 Der Filerequester Der Filerequester wird sowohl beim Laden, als auch beim Speichern verwendet. In der obersten Zeile steht der aktuelle Pfadname. Man kann ihn ändern, indem man dieses Feld anklickt und den Namen von Hand einträgt, oder indem man sich durch die Unterverzeich- nisse hangelt. Der zweite Weg ist zu empfehlen, da man so sicher sein kann, daß der Pfad auch wirklich existiert. Darunter sieht man bis zu acht Filenamen bzw. Verzeichnisna- men. Files werden weiß dargestellt, während Verzeichnisse rot und mit einem Pfeil markiert sind. Klickt man ein Ver- zeichnis an, wird dieses zum Pfadnamen hinzugefÜgt und das Verzeichnis angezeigt. Klickt man ein File an, wird der Name ins Namensfeld einge- tragen, welches unter der Fileliste steht. Auch hier kann man den Namen von Hand eintragen, was aber nur sinnvoll ist, wenn man eine neue Schwingung speichern will und diese noch nicht (mit Punkt 1 der Editorbefehle) getauft hat. Wenn man das File, welches ins Namensfeld eingetragen wurde, noch einmal anklickt, wird der Filerequester beendet. Sind mehr als acht Namen im aktuellen Verzeichnis, kann man mit den beiden Scrollpfeilen auf der rechten Seite das Ver- zeichnis durchblättern. Die aktuelle Position zeigt der sen- krechte Balken an, den man auch direkt verschieben kann. Ganz unten sieht man folgende vier Gadgets: OK - Der Filerequester wird beendet und das Laden/Speichern durchgefÜhrt (wie auch beim zweimaligem Anklicken eines File namens oder dem Eintragen eines Namens ins Namensfeld von Hand). Drives - Es erscheint eine Liste aller verfÜgbaren Drives, die man wie Verzeichnisse anwählen kann. Das gewählte Drive wird in den Pfad eingetragen. Parent - Wenn möglich, kehrt der Filerequester in das Ober- verzeichniss zurÜck. Der Pfadname wird entsprechen gekÜrzt. ABBRUCH - Der Filerequester wird beendet und das Laden/Spei- chern NICHT durchgefÜhrt. 2.3 Der Funktionsplotter Wird der Funktionsplotter angewählt, erscheint ein speziel- ler Einstellungsbildschirm. In der Zeile "Funktionsterm: f(x)=" schreibt man die gewÜnschte Funktion hinein. Dabei ist zu beachten, daß Zah- len in der fÜr Computer Üblichen Schreibweise angegeben wer- den, wie z.B. 12 , 243.132 , -1324e10 , 23.12e-4 etc. Der größtmögliche Exponent ist 18 bzw. -18, da das Programm mit FFP-Zahlen arbeitet. Als Variable ist "x" zu verwenden. Des weiteren kann man die Konstante "pi" verwenden. An Rechenoperationen gibt es Addition ("+"), Subtraktion ("-"), Multiplikation ("*"), Division ("/") und Potenzieren ("^"). Es sind bis zu neun Klammerebenen möglich. Folgende mathematische Funktionen kann man verwenden: exp(...) - Exponentialfunktion log(...) - Logarithmus zur Basis e (Umkehrung von exp) lgd(...) - Logarithmus zur Basis 10 sqrt(...) - Quadratwurzel abs(...) - Absolutwert (Betrag) sin(...) - Sinus cos(...) - Cosinus tan(...) - Tangens arcsin(...) - Arcus-Sinus (Umkehrung des Sinus) arccos(...) - Arcus-Cosinus (Umkehrung des Cosinus) arctan(...) - Arcus-Tangens (Umkehrung des Tangens) sinh(...) - Sinus Hyperbolicus cosh(...) - Cosinus Hyperbolicus tanh(...) - Tangens Hyperbolicus sgn(...) - Vorzeichen int(...) - Abrunden Mit ein bißschen Mathematik kann man sich beliebige weitere Funktionen bilden. So ist die n.te Wurzel aus x bekanntlich gleich x hoch (1 durch n), z.B. x^.25. Oder der Cotangens ist 1/tan. Hier ein paar Beispiele: 1/x oder x^-1 ... die einfachste Hyperbelfunktion 2^x ............. eine Exponentialfunktion x^2 ............. eine Parabel 2*x^2+3*x-1 ..... ein Polynom arctan(x) ....... ein Wendepunkt am Ursprung Hat man die Funktion eingegeben, muß man die linke und rech- te Grenze des auszuplottenden Bereichs angeben. Auch hier kann man mathematische AusdrÜcke angeben, allerdings ist der Platz beschränkt. Als untere und obere Grenze fÜr den Plotter kann man eben- falls Zahlen und AusdrÜcke angeben, oder den Amiga diese Grenzen selbst bestimmen lassen (Minimum und Maximum der Funktion im eingegebenem Intervall). Möchte man die Grenzen selbst setzen, wählt man den Modus "Man.", ansonsten "Auto". Diesen Modus kann man fÜr untere und obere Grenze getrennt setzen, also z.B. auch die untere Grenze von Hand setzen und die obere Grenze ausmessen lassen. Es empfiehlt sich meist der "Auto"-Modus. Schwierigkeiten gibt es nur manchmal, wenn im Intervall Singularitäten oder derartiges vorkommen, so daß die Extremwerte stark ausreißen und so von der Funktion nicht viel zu sehen ist (z.B. bei Hyperbeln). Außerdem erscheint eine Fehlermeldung, wenn mit einer Kon- stanten als Funktion gearbeitet wird, da dann Minumum und Maximum gleich sind und so kein echter Wertebereich vorliegt (es ist sowieso nicht sinnvoll, eine gerade Linie als Schwingung zu nehmen). Mit OK startet man dann den Plotvorgang, mit ABBRUCH kann man den Plotter verlassen, wenn man es sich anders Überlegt hat. Tritt während des Plottens ein ernsthafter Fehler auf (zu viele Klammerebenen oder Schreibfehler), wird dies ge- meldet. Bei DefinitionslÜcken werden Punkte in der Mitte gezeichnet. Bei BereichsÜber-/-unterschreitungen werden die Punkte an den oberen/unteren Rand gesetzt. 2.4 Möglichkeiten der Schwingungskreation Der Phantasie sind keine Grenzen gesetzt. Mit dem Plotter kann man saubere Bögen und Kurven ziehen, mit der Maus kann man ausgefallene Schwingungen entwerfen (oder falls einem mal die passende mathematische Funktion zu einer bestimmten Kurve nicht einfällt), und das ganze eventuell noch symme- trisch machen (Spiegelfunktionen). Mit seinen Schwingungen kann man dann seine Disketten vollschrieben, oder diese in die Ramdisk setzen (Vorsicht, den Computer nicht ausschal- ten, bevor man alle Daten, die man behalten will, auf Dis- kette gespeichert hat). Auf der Programmdiskette befinden sich im Verzeichnis "Oscillograph/Oscillations": Sinus (Sinus) Triangle (Dreieck) Sawtooth (Sägezahn) M-Shape (M-Form) LineMix (Linienmix) Turnpoint (Wendepunkt) Arc (Bogen) Parabola (Parabel) Extremes (Extrema) Rectangle (Rechteck) DoubleSinus (Doppelsinus) Heart (Herz) SampleExample (Sample-Beispiel) Up&Down (Hoch&Runter) Der Wendepunkt bietet sich als Ersatz fÜr den Sägezahn an. Die Bilder werden damit etwas zu den Rändern hin verzerrt. Mit dem Bogen kann man eine Schwingung zum Rand hinstreben lassen. Die Parabel erzeugt u.a. tropfenförmige Figuren. Die Extrema bauen eine Art Spirale auf, ebenso wie der Doppelsi- nus. Das Herz ist eine kleine Gag-Figur, und das Sample- Beispiel ist eine mit dem Digitizer aufgezeichnete Schwin- gung. Am besten ist es, man probiert ein wenig herum. Abgesehen davon, daß das Experimentieren mit Schwingungen eine Haupt- anwendung von OSZI AMIGA ist, erkennt man so wirklich am schnellsten und besten die teilweise komplexen Zusammenhänge, die zum Entstehen dieser oder jener Figur beitragen. Das Spektrum der möglichen Figuren ist schier unbegrenzt. Man kann ge- schlossene Figuren erzeugen (wie die Lissajouz-Figuren), ebenso wie Linienmuster (mit Sägezahn und Wendepunkt), Über- einandergelagerte Figuren (z.B. mit Hoch&Runter), einen Papier- stapler (mit Dreieck auf X und Bogen auf Y) usw. 3. OSZI AMIGA als Hardware-Realtime-Oszillograph Hat man den Amiga-Sounder-Digitizer angeschlossen, wird dieser von OSZI AMIGA unterstÜtzt. DafÜr sind die unter "Extern" aufgelisteten Funktionen gedacht. Mit dem Sounder-Digitizer kann man OSZI AMIGA quasi als echtes Oszillograph verwenden, da man analoge Spannungen an einen der vier Sounder-Kanäle schließen kann, welche dann vom OSZI auf dem Bildschirm abgebildet werden. Man kann jeden der vier Digi-Kanäle auf X und/oder Y legen. Der Kanal des Digitizers wird durch Anklicken des Feldes "Digitizer Kanal ..." eingestellt, wobei man wie gesagt fÜr X und Y verschiedene Kanäle wählen kann. Man kann z.B. an Kanal 1 einen eigenen Sägezahngenerator (am besten mit ein- stellbarer Frequenz) anschließen, und stöpselt an Kanal 2 das eigentliche zu untersuchende Signal. Dann legt man Kanal 1 auf X und Kanal 2 auf Y. FÜr die meisten Zwecke reicht es aber, auf X den internen Sägezahn zu legen, und auf Y die gewÜnschte externe Signal- quelle. 3.1 Triggern Die Signalquelle fÜr Y kann auch zum Triggern benutzt wer- den. Das bedeutet, daß der Oszillograph nach Zeichnen eines vollständigen Bildes in einen Wartemodus geht. Dann wartet der Oszillograph so lange, bis die triggernde Signalquelle einen Nulldurchgang vollzieht, d.h. bis eine neue Schwingung anfängt. Dies eignet sich zum Abstimmen des Oszillographen auf die externe Signalquelle; im Allgemeinen wird das Bild ruhiger und ist dann einfacher abzulesen. Das Triggern wird aktiviert, indem man den so bezeichneten Schalter rechts unten anklickt. 3.2 Arbeitsgeschwindigkeit Nun etwas zur Arbeitsgeschwindigkeit von OSZI AMIGA. Das Programm läuft im Multitasking und ist somit am schnellsten, wenn keine anderen Programme parallel ablaufen. Es empfiehlt sich, beim Betrieb von OSZI keine weiteren Programme zu laden, da das Programm dadurch gebremst wird und die Bilddarstellung zu rucken anfängt. Bei einem Standard-Amiga mit 68000er ohne Beschleunigungs- platinen (z.B. Amiga 500, 600, 1000) als einziges ablaufendes Programm erstellt OSZI ca. 6500 Punkte pro Sekunde. Bei 256 Punkten pro Bild entspricht dies ca. 25 Bildern pro Sekunde (die Anzahl der Punkte pro Bild hängt u.a. von den selektierten Schwingungen und Frequenzverhältnissen ab). FÜr das Software- Oszillograph reicht das mehr als aus. FÜr die Hardware-Digi- talisierung bedeutet dies, daß Frequenzen bis ca. 3250 Hz gerade noch dargestellt werden können, aber dies nur als unÜber- schaubares Punktgewirr. Dennoch kann man auch Audiosignale ganz gut darstellen. Die Ergebnisse sind bei Musiksignalen gut, wenn nicht viele Instrumente gleichzeitig spielen. Schlechtere Ergebnisse erzielt man normalerweise, wenn man hochfrequente, konstante Schwingungen anschließt, z.B einen Sinuston von 1 kHz. In diesem Fall bietet es sich an, das Signal auf X und Y zu legen. Das Ergebnis ist der altbekann- te Lissajouz-Ring, wobei die "Öffnung" des Ringes ein Maß fÜr die Frequenz des Sinus ist, da fÜr X und Y der Digitizer getrennt ausgelesen wird und in diesem zeitlichen Abstand der Sinus je nach Frequenz unterschiedlich weit weiterge- schwungen ist. Abgesehen davon kann man mit dem OSZI AMIGA natÜrlich auch langsame Vorgänge, wie z.B. das Entladen eines Kondensators, betrachten. HierfÜr bietet sich auch die Digitizer-Meßreihe an. 3.3 Meßreihe und Speicheroszilloskop Eine Kette von 256 Meßwerten des Digitizers läßt sich mit dem MenÜpunkt "Digitizer-Meßreihe" des Schwingungseditors in den Speicher schreiben (eine Art Speicheroszilloskop). Diese Meßreihe wird dann von OSZI AMIGA wie eine normale Software- schwingung benutzt, d.h. das ausgelesene Signal wird vom Computer beliebig oft weitergeneriert. Wählt man den MenÜpunkt "Digitizer-Messreihe" an, erscheint ein kleines UntermenÜ: Man kann den auszulesenden Kanal anwählen (1 bis 4) und eine Zeitverzögerung einstellen. DafÜr existieren die zwei Modi "Turbo" und "Timer". Im Turbo-Modus wird der Digitizer schnellstmöglich ausgelesen; die Abtastfrequenz hängt dann nur von der Geschwindigkeit des Amiga und des Digitizers ab. Mit Standardamigas ohne Beschleuniger entspricht das ausge- lesene Bild ca. 1/150 Sekunden. Der Wert ist wesentlich grö- ßer als beim normalen Oszillographpbetrieb, da während des Abtastens ja keine weiteren Abfragen (wie z.B. Regler fÜr Phasenverschiebung) durchgefÜhrt werden mÜssen. Im Timer-Modus kann man mit dem Regler eine Abtastrate ein- stellen. Je weiter der Regler nach rechts gefÜhrt wird, de- sto langsamer wird der Digitizer ausgelesen. Am rechten An- schlag des Reglers ist die Zeitspanne am größten, sie beträgt dort ca. 4 Sekunden. Diese Zeitverzögerung wird mit dem Timer-Device erzeugt und sollte somit auf allen Amigas gleich sein. Mit diesem Programmteil kann man also sowohl sehr schnelle (z.B. Audiosignal), als auch sehr langsame Vorgänge (z.B. Kondensatorentladung von größeren Kapazitäten Über größere Widerstände) aufzeichnen. Da diese Aufzeichnung als Schwin- gung gespeichert wird, kann man diese auch als Software- schwingung verwenden (dies ist allerdings nicht immer sinn- voll). Man kann diese Aufzeichnung speichern und zu einem späteren Zeitpunkt wieder laden; dies eignet sich auch zum Gebrauch in VorfÜhrungen (z.B. im Physikunterricht der Schu- le). Ich hoffe, daß auch Sie mit meinem Programm so viel Spaß haben werden wie ich. Michael Gentner