Orthogonale Polynome ==================== Ein System von Polynomen P (x) heißt bezüglich der Gewichtsfunktion w(x) n orthogonal im Intervall [a,b], wenn für alle n,m gilt: b Integral(w(x)*P (x)*P (x))dx = h *delta(m-n) a n m n Ein solches System ist eine Basis im Hilbertraum auf das Intervall [a,b]. Solche orthagonale Basen haben (neben ihrer Eigenschaft als Basis) einige interessante Eigenschaften. (1) Sie können durch eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung dargestellt werden: g2(x) P´´ + g1(x) P´ + a P = 0 n n n n g2 und g1 sind von n unabhängig und a ist eine Konstante, die nur von n n abhängt. (2) Es gibt eine Rekursionsgleichung: P = (a + xb )P - c P n+1 n n n n n-1 Im Programm wird die Rekursionsgleichung ausgewertet, um die Koeffizienten des Polynoms zu bestimmen und dann das Polynom an der Stelle x ausgewertet. Chebyshev [-1,1] --------- 2 x - 1/2 w(x) = ( 1 - --- ) 4 2 '' ' 2 (1-x ) T - x T + n T = 0 T (1) = 1 n n n n T (x) = 2x T (x) - T (x) n+1 n n-1 2 T (x) = 1 T (x) = x T (x) = 2x - 1 0 1 2 Gegenbauer(a) [-1,1] ------------- 2 a-1/2 w(x) = (1 - x ) 2 '' ' (1-x ) C (a) - (2a+1)x C (a) + n(n+2a) C (a) = 0 n n n ( n+2a+1 ) C (a)(1) = ( ) (a <> 0) C (0)(1) = 2/n C (0)(1) = 1 n ( n ) n 0 (n+1) C (a) = 2(n+a)x C (a) - (n+2a-1) C (a) n+1 n n-1 2 C (a) = 1 C (a) = 2ax C (a) = 2a(a+1)x - a (a<>0) 0 1 2 2 C (0) = 1 C (0) = 2x C (0) = 2x - 1 0 1 2 Hermite [-unendlich,unendlich] ------- 2 w(x) = exp( -x ) '' ' H - 2x H + 2n H = 0 n n n H = 2 H + 2n H n+1 n n-1 2 H (x) = 1 H (x) = 2x H (x) = 4x - 2 0 1 2 Jacobi(a,b) [-1,1] ----------- a b w(x) = (1-x) (1+x) 2 '' ' (1-x ) P (a,b) + [b-a-(a+b+2)x] P (a,b) + n(n+a+b+1) P (a,b) = 0 n n n 2(n+1)(n+a+b+1)(2n+a+b) P (a,b) = n+1 2 2 [(2n+a+b+1)(a -b ) + (2n+a+b)(2n+a+b+1)(2n+a+b+2)x] P (a,b) n - 2(n+a)(n+b)(2n+a+b+2) P (a,b) n-1 P (a,b) = 1 P (a,b) = [a-b+(a+b+2)x]/2 0 1 Laguerre [0,unendlich) -------- w(x) = exp(-x) '' ' x L + (1-x) L + n L = 0 n n n (n+1) L = (2n+1-x) L - n L n+1 n n-1 2 L (x) = 1 L (x) = 1 - x L (x) = 2 - 4x + x 0 1 2 Legendre [-1,1] -------- w(x) = 1 2 '' ' (1-x ) P - 2x P + n(n+1) P = 0 P (1) = 1 n n n n (n+1) P (x) = (2n+1)x P (x) - n P (x) n+1 n n-1 2 2 P (x) = 1 P (x) = x P (x) = (3x -1)/2 P (x) = x(5x -3)/2 0 1 2 3 Anwendungen ----------- Chebyshev: Elektrische Filter. Gegenbauer: Quantenmechanik. Hermite: Quantenmechanischer harmonischer Oszillator. Legendre: Kugelfunktion des Wasserstoffatoms. Akustik. Laguerre: Radialfunktion des Wasserstofftoms. Programm -------- Unter 'polynomials' werden die Polynome eingegeben. Das Gegenbauer Polynom benötigt ein, das Jacobi Polynom zwei Parameter. Unter 'options' sind die Punkte: 'value' Anzeigen des Wertes des aktuellen Polynoms an einem angebaren Punkt. 'clear screen' wenn selektiert, wird der Bildschirm vor der Anzeige des nächsten Polynoms gelöscht. Wenn nicht selektiert, werden die Achsen neu gezeichnet und das Polynom angezeigt. 'write IFF file' die Anzeige wird als Bild im Unterverzeichnis IFF abgespeichert. Existiert das Unterverzeichnis IFF nicht, wird nichts gemacht. 'write table file' die Anzeige wird als Tabelle im Unterverzeichnis tables abgespeichert. Existiert das Unterverzeichnis tables nicht, wird nichts gemacht. Compilierungshinweise --------------------- Compiliert mit: Aztec C68K 3.6a 12-18-87 (C) 1982-1987 by Manx Software Systems, Inc. Bugs ---- Bei einigen Polynomen höheren Grades, kann es zu 'chaotischen Zuständen' an den Rändern kommen. Da nicht rekursiv, sondern PUNKTWEISE berechnet wird, sind solche Erscheinungen zu ignorieren. Literatur --------- Abramowitz/ Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York, 1970. Blochinzew, Grundlagen der Quantenmechanik, Verlag Harri Deutsch, Thun/ Frankfurt a.M., 1977. Landau/ Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik, Band III, Akadamie Verlag, Berlin, 1979. Morse, Vibration and Sound, McGraw-Hill, New York/ Toronto/ London, 1948. Smirnow, Lehrgang der höheren Mathematik, Teil III/2, VEB Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1979. E. Lenz Johann-Fichte-Straße 11 8 München 40