Der Lorenz Attractor
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 Eines der einfachsten seltsamen Attractoren ist der Lorenz Attractor.
 E. N. Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow,
 Journal of Atmospheric Science, 20, 130, (1963)

 Das Modell besteht aus den Differentialgleichungen:

 dx
 -- = -s*x + s*y
 dt

 dy
 -- = r*x - y - x*z
 dt

 dz
 -- = x*y - b*z
 dt

 mit:  s = 10  r = 28  b = 8/3 (nach Lorenz)

Stationäre Lösung
-----------------
                                                     d
Eine Lösung ist stationär (nicht zeitabhängig), wenn -- = 0.
                                                     dt

  Für s<>0  x = y
            r*x = y + x*z = x*(1 + z) => r = 1 + z
            x*y = x*x = b*z

  z = r - 1

  x = y = +/- sqrt(b*(r-1))

Für r<1 existiert nur die triviale Lösung x = y = z = 0

Eine (hier nicht durchgeführte) Analyse zeigt, daß das System in den
chaotischen Zustand übergeht, wenn r größer als

               s*(s + b + 3)
       r     = -------------
        krit     s - b - 1

ist. Die weitere Analyse soll diesem chaotischen Zustand gelten.

Begrenztheit des Attractors
---------------------------

Nehmen wir eine Kugel mit Radius R um (0,0,r+s)

   2    2              2    2
  x  + y  + (z - r - s)  = R

Dann ist:

     dR        dx        dy                  dz
   R*--  = 2*x*--  + 2*y*--  + 2*(z - r - s)*--
     dt        dt        dt                  dt


         = -2*x*s(x-y) + 2*y*(-x*z+r*x-y) + 2*(z-r-s)*(x*y-b*z)

                 2                                   2                  2
         = -2*s*x  + 2*s*x*y -2*x*y*z + 2*r*x*y - 2*y  + 2*x*y*z - 2*b*z
              - 2*r*x*y + 2*r*b*z - 2*s*x*y + 2*s*b*z

                 2      2        2
         = -2*s*x  - 2*y  - 2*b*z  + 2*b*(r+s)*z

                 2      2                   2        2
         = -2*s*x  - 2*y  -2*b*(z - [r+s]/2)  + [r+s] /4

    dR
Für -- = 0 ist das die Gleichung eines Ellipsoids.
    dt
                              dR
Ausserhalb des Ellipsoids ist -- negativ, innerhalb positiv.
                              dt
  dR
( -- ist stetig und wechselt sein Vorzeichen nur auf dem Ellipsoid. Wird
  dt
                                                                   2
  R groß genug gewählt so überwiegen die Terme in x,y,z gegen [r+s] /4

       dR
  d.h. --  wird negativ.)
       dt

Längs der Z-Achse erstreckt sich das Ellipsoid von z=0 bis z=r+s.
Wählen wir R > r+s, so umfaßt die Kugel das Ellipsoid.

Starten wir kurz innerhalb der Kugel mit Radius R so nimmt der Radius
zunächst ab. Wir können die Kugel nicht mehr verlassen. Starten wir
innerhalb des Ellipsoids, so nimmt der Radius zunächst zu bis wir das
Ellipsoid verlassen. Dann nimmt der Radius wieder ab. Der Attractor ist
also begrenzt im Ortsraum (x,y,z).

Numerische Analysen haben gezeigt, daß die Hausdorff Dimension
(fraktale Dimension) des Lorenz Attractors bei 2.06 liegt.

Das Verhalten des Systems ist (wie oben erwähnt) von r abhängig. Es
zeigt sich (für s=16):

  K   C     A          P    CH          P
 ----------------------------------------------> r
 0  1    r   100    r    r  200   r    300
          krit       F    I        E

 wobei  r  = 145     K  = konduktiver Zustand
         F           C  = konvektiver Zustand
                     A  = Attractor
        r  = 166     P  = periodisch
         I           CH = chaotisch

        r  = 235
         E

Das Programm
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Der Lorenz Attractor ist ein Gebilde aus zwei ineinander verstrickte
Spiralen und läßt sich schwer räumlich vorstellen. Der Attractor wird
deshalb in der X - Y Ebene, der X - Z Ebene und der Y - Z Ebene gezeigt.
Ferner wird der Attractor im Phasenraum

      dX       dY          dZ
  X - -- , Y - --  und Z - --
      dt       dt          dt

Da (zumindest für den hier gewählten Anfangspunkt) der Attractor stets

Z > 0 besitzt, ist die Phasenraumspirale des Z Phasenraums einfach.

E. Lenz
Johann-Fichte-Straße 11
8 München 40