\nuovoarticolo{Fausto Passariello}{Statistica multivariata per \amiga{} e \msdos{}}{% Dott.~Fausto Passariello \\ Centro Diagnostico AQUARIUS \\ Via Francesco Cilea 280 \\ I-80127 Napoli NA \\ Tel.:~(081)7144110 }{% FIDO:~~~~~2:335/229@fidonet.org \\ Amiganet:~39:102/109@amiganet.ftn \\ Internet:~aquarius@na.infn.it \\ UUCP:~~~~~aquarius@lagrange.adsp.sub.org }{italian}{% No proper program contains an indication which as an operator-applied occurrence identifies an operator-defining occurrence which as an indication-applied occurrence identifies an indication-defining occurrence different from the one identified by the given indication as an indication-applied occurrence.}{ALGOL 68 Report} \sez{Introduzione} L'{\em Analisi statistica elementare} si interessa del calcolo di medie, deviazioni standard, varianze su una popolazione o su un campione di dati. Inoltre date due variabili si occupa del calcolo del coefficiente di correlazione, dell'analisi di regressione e della covarianza, ecc. L'{\em analisi statistica multivariata\/} (ASM) va un po' più in là. Possiamo trattare più gruppi di dati, più gruppi di variabili su un insieme di individui. Non è compito di questo articolo esporre dettagliatamente i problemi dell'ASM. Lo scopo è invece quello di trasmettere le informazioni necessarie per l'uso del programma ¶{aFstat} in modo che l'uso stesso sia razionale e porti a risultati apprezzabili. Inevitabilmente per fare questo bisogna conoscere almeno i rudimenti dell'ASM. \sez{Analisi statistica multivariata} \sottosez{Regressione.} Questa indagine statistica pone in relazione {\em due gruppi di dati}. Si possono identificare vari tipi di regressione a seconda delle caratteristiche dell'analisi. Il primo gruppo di variabili si dice delle {\em variabili dipendenti\/} (la $y$ in genere). Il secondo gruppo è quello delle {\em variabili indipendenti\/} (le $x_i$). La regressione, contrariamente ad altri tipi di indagini statistiche, è un'{\em indagine asimmetrica}. Vale a dire, la regressione del primo gruppo nei confronti del secondo gruppo non è identica alla regressione del secondo gruppo nei confronti delle variabili del primo gruppo. In generale esiste un rapporto tra queste due tipi di analisi, ma non è un rapporto di simmetria. In antitesi, l'analisi di correlazione è un'analisi {\em simmetrica}. Quanto al tipo di {\em modello\/} adoperato, esistono un modello {\em lineare}, uno {\em curvilineo\/} e uno {\em esponenziale}. Ma possono essere anche escogitati altri tipi di modelli. Per quanto attiene invece il numero delle variabili, la più semplice analisi di regressione si ottiene analizzando una singola variabile contro un'altra singola variabile. Questa regressione può diventare una {\em regressione multipla\/} quando il secondo gruppo di dati è costituito da più variabili. Si tratta sempre però di una regressione multipla {\em univariata}, in quanto il primo gruppo di dati è costituito da sola variabile. Se invece anche il primo gruppo di dati, quello delle variabili dipendenti, è costituito da più variabili ($Y_i$), allora abbiamo una regressione multipla {\em multivariata}, e se le singole $Y_i$ hanno una distribuzione gaussiana, la $$Y = (Y_1,Y_2,\ldots,Y_n)$$ avrà una distribuzione gaussiana in più dimensioni. Alcune variabili indipendenti possono essere corrispondenti soltanto a una variabile di tipo qualitativo, ad esempio il sesso. Per cui, possiamo introdurre una variabile numerica {\em sesso}, che vale 0 o 1 ed è detta {\em variabile di comodo}. Il coefficiente di regressione ottenuto con l'analisi avrà il significato di un {\em punteggio}. In effetti, si avranno {\em iperpiani paralleli} distanti una quantità pari al coefficiente di regressione della variabile di comodo e la stima della posizione di ogni individuo si sposterà da un iperpiano all'altro, a seconda della sua appartenenza a un gruppo o a un altro di dati. Quindi il tutto ha il significato di un punteggio da dare a un individuo a seconda della sua appartenenza a un gruppo o a un altro gruppo. Questo modo di procedere corrisponde all'{\em analisi della covarianza}, che non è altro che l'{\em analisi della varianza} effettuata sui coefficienti di regressione dopo aver definito alcuni gruppi di dati. Questo equivale a dividere i profili di riga della matrice in due gruppi che sono distinti a seconda della variabile di comodo introdotta in colonne, cioè la variabile {\em sesso}, e calcolare differenti coefficienti di regressione nei due casi, attribuendo la differenza alla variabile di comodo. Uno dei problemi fondamentali della regressione è la sua {\em instabilità\/} rispetto all'analisi, nel senso che piccole variazioni dei dati possono produrre enormi variazioni dei coefficienti di regressione. Questo ci dà una motivazione del profilerare di vari metodi di analisi di regressione. Tra questi ricordiamo i metodi {\em stepwise}, cioè passo-passo. Questi possono essere divisi in metodi {\em step-up}, che procedono andando verso l'alto, o {\em step-down}, verso il basso. Praticamente ci proponiamo di calcolare tutti i coefficienti di regressione e poi escludere quello con minore importanza, quindi calcolare il residuo e nelle variabili che restano effettuare una nuova analisi di regressione e quindi escludere la minore fino ad arrivare al punto in cui rimane una sola variabile. In alternativa possiamo procedere all'inverso, effettuare l'analisi di regressione contro una sola variabile indipendente, effettuare tante analisi quante sono le variabili indipendenti, accettare quella che ha il coefficiente più alto, indi sottrarre la variabilità dalla variabile dipendente ed effettuare sul residuo le altre analisi di regressione. In questo modo otteniamo un metodo che sembra più stabile del metodo di regressione multipla (il metodo {\em stepwise\/} non è ancora implementato in ¶{aFstat}). Inoltre è possibile introdure dei {\em vincoli\/} tra le variabili dipendenti. L'analisi di regressione fornisce allora coefficienti di regressione legati dagli stessi vincoli. Un caso tipico è la misura della pressione arteriosa. Le pressioni sistolica, diastolica e media sono collegate da formule approssimate. I vincoli possono essere introdotti nell'analisi sotto la forma della cosidetta {\em matrice dei vincoli} (questo tipo di analisi non è ancora implementata in ¶{aFstat}). \sottosez{Componenti principali.} L'{\em analisi in componenti principali} (ACP) richiede un solo gruppo di dati, organizzato in matrice. Dopo la standardizzazione delle singole colonne, cioè $N$ variabili, la {\em varianza\/} di ogni colonna è pari a 1, per cui la varianza totale vale il numero $N$ delle variabili in esame. Scopo dell'indagine è elaborare una serie di $N$ {\em trasformazioni lineari}, cioè $N$ nuove variabili o {\em componenti}, l'una ortogonale all'altra, tali che la varianza di ognuna di esse sia massima. L'ortogonalità delle componenti si esprime in altro modo dicendo che esse non sono correlate l'una all'altra. Un esempio può chiarire il senso della procedura. Supponiamo di avere effettuato la misura di 2 variabili ($X$ e $Y$) su $k$ individui. Rappresentando in grafico cartesiano ($Y$ contro $X$), l'effetto è una {\em nube\/} di $k$ punti. Supponiamo che la forma sia allungata con il grande asse orientato lungo la diagonale del primo quadrante. È chiaro che l'intervallo di variazione della $X$ e della $Y$ è molto simile.\footnote{Se una variabile ha distribuzione Gaussiana, l'intervallo totale di variazione o {\em range\/} è circa $6*\sigma$, dove $\sigma$ è la deviazione standard.} Se i dati sono trasformati mediante una {\em rotazione\/} di 45 gradi, si ottiene un nuovo grafico, dove le due trasformate (componenti prima e seconda) hanno ora intervalli di variazione molto dissimili. La prima componente è infatti responsabile della quasi totalità della variazione, mentre alla seconda componente se ne può attribuire una quota trascurabile. La rotazione ottiene l'effetto però solo perché la nube di punti ha una forma allungata. Il risvolto pratico dell'analisi è che per la conoscenza dell'andamento dei dati è sufficiente conoscere soltanto la prima componente. Solo per applicazioni che richiedono una estrema precisione sarà necessario considerare la seconda componente. Ovviamente, sono disponibili test, come il {\em test di Bartlett}, per il calcolo della significatività statistica delle singole componenti. Tutto questo si traduce in una riduzione del numero dei dati che bisogna considerare nel prosieguo dell'analisi. A questo punto, le componenti significative sono poste in ordine decrescente di percentuale di varianza spiegata. Il passo finale, specie nelle indagini effettuate su un gran numero di variabili, è il calcolo della correlazione tra le variabili originarie e le componenti significative, al fine di identificarne il signifcato funzionale. Il risultato può essere reso graficamente con il metodo del cerchio di correlazione. È possibile effettuare l'ACP sui profili invece che sulle variabili, ma questa modalità di analisi non è implementata in ¶{aFstat}. L'estrazione delle componenti principali rappresenta spesso la prima fase di un'analisi multivariata successiva. Il salvataggio su file delle componenti calcolate non è ancora implementato in ¶{aFstat}. \sottosez{Correlazioni canoniche.} L'{\em Analisi delle correlazioni canoniche\/} si applica a {\em due gruppi di dati}, organizzati in matrice. Si tratta di una procedura simmetrica, cioè scambiando l'ordine dei due gruppi il risultato resta invariato. Le variabili del primo e secondo gruppo devono essere rilevate sullo stesso numero di individui. Per ogni coppia di variabili all'interno di ogni gruppo è definito un coefficiente di correlazione, ma è possibile calcolarne uno anche per le coppie incrociate tra i due gruppi. Il senso dell'indagine è quello di cogliere il legame tra due situazioni diverse rilevate sugli stessi individui. Ad esempio, la connessione esistente tra le variabili indicatrici della posizione sociale alla nascita e all'età di 50 anni. Lo scopo dell'analisi non è in questo caso il calcolo delle correlazioni all'interno del gruppo delle variabili alla nascita e all'interno del gruppo delle variabili all'età di 50 anni; lo scopo è invece individuare la connessione tra i due gruppi. L'esame dei coefficienti di correlazione tra tutte le singole coppie incrociate di variabili dei due gruppi è molto laborioso, non appena il numero delle variabili supera la diecina. Il calcolo delle correlazioni canoniche consiste nell'elaborazione di trasformazioni lineari dei dati del primo e secondo gruppo, tali da rendere massima la correlazione tra due singole trasformate prelevate da gruppi differenti.\footnote{Ogni trasformata è ortogonale a tutte quelle del proprio gruppo (tranne se stessa) come dell'altro gruppo a eccezione di una, per l'appunto quella con la quale la correlazione è la massima possibile.} Il numero delle trasformate è sempre pari al valore minore tra il numero delle variabili dei due gruppi. Ad esempio, analizzando 2 gruppi di 6 e 10 variabili, le trasformate da considerare saranno soltanto 6. Una volta identificate le trasformate statisticamente significative mediante il {\em test di Bartlett}, è possibile analizzare il legame tra esse e le variabili originarie, per giungere alla interpretazione del significato delle singole trasformate. A tal scopo è utile il grafico del {\em cerchio di correlazione}, per le trasformate di ogni gruppo. \sottosez{Tavole di contingenza.} {\em Un solo gruppo} di dati. Disponendo di dati già ordinati in una tabella disgiuntiva, il calcolo della {\em tabella di Burt\/} o {\em tavola di contingenza\/} associata è immediato. La tavola permette anche il calcolo immediato del coefficiente $\chi^2$ associato a ogni dato per il riconoscimento della sua significatività. \sottosez{Tabelle Disgiuntive.} {\em Un solo gruppo} di dati. Più che di una procedura di analisi statistica, si tratta di una utile {\em conversione di formato\/} di dati qualitativi. Il file di partenza è costituito da una serie di profili di variabili, ognuna con varie modalità. Questa procedura trasforma i dati, sostituendo alle variabili qualitative una loro rappresentazione sotto forma disgiuntiva. I due file di input sono ¶{.dsg} e ¶{.exp}. Come si vede, l'estensione del file dati è identica a quella di un semplice file numerico, ma i dati in questo caso sono stringhe. I due file di output sono ¶{dsg.def} e ¶{dsg.exp}. Per questo motivo, per mantenere la compatibilità \msdos{}, è opportuno limitare il nome del file a 5 lettere, per evitare di superare il limite di 8 lettere previsto in \msdos{}. Un ultimo problema deriva dall'amplificazione del numero di campi prodotta dalla procedura. Per questo bisogna controllare che non si superi il limite superiore di 100 previsto dalla presente versione di ¶{aFstat}. \sottosez{Analisi delle corrispondenze.} {\em Un solo gruppo} di dati. Richiede un solo gruppo di dati, organizzati in matrice e sotto forma di tabella disgiuntiva. Dal momento che l'omissione anche di una sola delle variabili disgiuntive potrebbe falsare l'analisi, la procedura ignora del tutto e volontariamente le {\em selezioni\/} effettuate, accettando tutte le variabili del file in input, del tipo ¶{dsg.*}, dove con ¶{*} si intendono le estensioni ¶{.def} ed ¶{exp}. Molto in sintesi, l'analisi delle corrispondenze multiple consiste in una generalizzazione dell'analisi delle correlazioni canoniche effettuata su tavole di contingenza. Questo tipo di analisi è ancora incompleta e giunge solo a risultati parziali. Il completamento è previsto nella prossima versione di ¶{aFstat}. \sottosez{Altre analisi.} Vi sono molte altre indagini multivariate non ancora implementate in ¶{aFstat}. Tra queste: \begin{itemize} \item Analisi discriminante \item Analisi dei grappoli \item Analisi fattoriale \item Analisi della varianza (manova) \item Analisi dei grappoli (cluster) \end{itemize} \sottosez{Cerchio di correlazione.} Si tratta dell'unica forma grafica prevista e implementata parzialmente in ¶{aFstat}. È un'ispezione grafica in due dimensioni delle correlazioni corrispondenti a due trasformazioni di dati. Sui due assi sono posti i coefficienti di correlazione con due componenti a scelta o due trasformate lineari (ad esempio, per le correlazioni canoniche). In tal modo, ogni variabile è vista come un individuo nello spazio delle trasformate significative. Dal momento che i coefficienti di correlazione possono oscillare tra -1 e 1, si comprende come il grafico sui due assi sia compreso in un cerchio, per l'appunto il {\em cerchio di correlazione}. In genere si procede a questa ispezione grafica solo per le prime componenti significative. Il metodo potrebbe essere esteso anche in tre dimensioni, a patto di elaborare una buona resa grafica. In questo caso, si potrebbe parlare di una {\em sfera di correlazione}. \sottosez{Test di Bartlett.} Si tratta di un test statistico adoperato per identificare la significatività di un frazionamento della varianza dei dati in analisi. Ad esempio, varianza totale divisa in varianza {\em tra\/} e {\em fra\/} gruppi, come nell'analisi della varianza, oppure in varianza {\em spiegata\/} e {\em non\/} nell'analisi in componenti principali e nell'analisi delle correlazioni canoniche. \sez{Input dei dati} \sottosez{Rappresentazione dei dati.} Dal momento che l'ASM effettua calcoli su un gran numero di variabili e di individui, occorre scegliere un metodo di rappresentazione dei dati e dei risultati finali che favorisca l'ordine e la comprensione. Questa rappresentazione è costituita dalla disposizione dei dati in matrice. La matrice non è altro che una tabella di dati ordinati per file e per colonne. Nell'ASM conviene stabilire che ogni colonna della matrice sia una variabile e che ogni riga sia un singolo individuo o profilo. In tal modo il singolo elemento $x_{ij}$ della matrice è l'osservazione della variabile di posto $j$ effettuata sull'individuo di posto $i$. Possiamo considerare gruppi di variabili, cioè gruppi di colonne della matrice, o gruppi di profili, cioè gruppi di righe della matrice. In generale il numero di gruppi che si considerano è dipendente dal tipo di analisi effettuata. Per questo motivo esporremo in seguito, nei singoli capitoli, il numero dei gruppi adoperati da ogni singola analisi. Il tipo di variabile è in genere ¶{double}. Anche se nel file sono riportati variabili intere, queste sono sempre trasformate in ¶{double} durante il calcolo, in quanto molto spesso ci si trova di fronte a numeri molto piccoli in valore assoluto, ad esempio nel calcolo delle inverse matriciali. \sottosez{Variabili qualitative.} Un cenno particolare meritano le variabili di {\em tipo qualitativo}. Ad esempio, volendo considerare il colore dei capelli di un gruppo di individui, avremo capelli neri, castani, ecc. In questo caso, per ogni dato il valore è costituito da una stringa. Per effettuare un'analisi statistica occorre riportare questi valori stringa in valori numerici. Questo si può fare in vari modi ma uno dei metodi più suggestivi è quello delle tabelle disgiuntive. Considerando una sola variabile con un valore costituito dal colore dei capelli, la variabile colore può assumere varie modalità (rossi, bianchi, castani, neri, biondi $\Rightarrow$ cinque modalità). Ora, a questa variabile possiamo associare cinque variabili: la prima variabile colore rosso, la seconda colore bianco, la terza colore castano, la quarta colore nero e la quinta colore biondo. Si può considerare il loro valore pari a zero o a uno a seconda che il carattere sia rispettivamente assente o presente. In tal modo si dice che le modalità della prima variabile sono state rappresentate in {\em tabella disgiuntiva}. La caratteristica fondamentale di una tabella disgiuntiva è che la somma dei valori di riga è sempre pari a 1. Questo perché la variabile {\em colore dei capelli\/} può assumere una sola delle cinque {\em modalità disgiuntive}. Se si considerano $n$ variabili stringa di tipo qualitativo, associando a questa rappresentazione una tabella disgiuntiva per ognuna di esse, le $n$ tabelle possono essere disposte in sequenza, per formare una sola grande tavola. In tal modo, la somma degli elementi di riga della tavola sarà pari a $n$, in quanto ogni variabile può porre a 1 una sola delle sue modalità disgiuntive. \sottosez{Gruppi di dati e analisi statistica.} Tutti i file sono organizzati in modo da rispettare i seguenti requisiti: \begin{itemize} \item ogni file di dati è ordinato in {\em campi\/} o colonne; \item quando si opera una {\em selezione\/} sui campi, possiamo sceglierli da un singolo file. Limitatamente a questa versione di ¶{aFstat}, non è possibile effettuare una selezione da più file; \item una singola {\em Analisi} è effettuata su uno o due gruppi di dati, cioè su una o due selezioni, nell'implementazione corrente di ¶{aFstat}; \item un {\em gruppo\/} è soltanto il nome che diamo alla selezione, una volta che è stata scelta come una delle selezioni dell'analisi corrente; \item ogni analisi contiene una lista di {\em risultati\/}; \item quando si salva la struttura di una singola analisi, sono conservate solo le informazioni sui file e sui campi; \item i risultati invece sono presenti solo nella relazione finale. \end{itemize} \sez{Manipolazione dei dati} \sottosez{Trasformazione dei dati.} Questa sezione sarà finalizzata principalmente alla presentazione dei vari {\em modelli di regressione}. Nella regressione, il modello lineare classico è quello che mette in paragone la variabile dipendente $y$ con un gruppo di variabili $x_1, x_2, \ldots, x_n$. La dipendenza è di tipo lineare. $$Y = b_0 + b_1x_1 + b_2x_2 + ... + b_nx_n.$$ Nel modello di tipo esponenziale, la $y$ è considerata funzione del numero $e$ elevato a una funzione lineare delle $x_i$. $$Y = e^{b_0 + b_1x_1 + b_2x_2 + ... + b_nx_n}.$$ Estraendo il logaritmo della $y$, si ottiene una funzione lineare delle $x_i$. Su questi dati trasformati si può quindi effettuare un'analisi di {\em regressione lineare multipla}. Nel modello curvilineo, la $y$ è considerata funzione del prodotto delle $x_i$, ognuna elevata a un coefficiente $b_i$, mentre il coefficiente moltiplicativo totale è $b_0$. $$Y = b_0 x_1^{b_1} x_2^{b_2} \cdots x_n^{b_n}.$$ In questo caso, si procede a una {\em trasformazione logaritmica\/} dei dati sia delle $x$ sia delle $y$. Si ottiene anche in questo caso un modello di tipo lineare. Bisogna però notare che la {\em stima\/} dei coefficienti $b_i$ sia per quanto riguarda il modello esponenziale sia per quello curvilineo non ha lo stesso significato funzionale della stima per il modello lineare. Infatti, mentre in quest'ultimo caso la stima dei $b_i$ è la migliore possibile per la stima di $y$, nel modello esponenziale essa è sempre la migliore possibile per ottenere la migliore approssimazione del logaritmo di $y$. Questo però non dice nulla riguardo la migliore stima della $y$. Nel modello di tipo curvilineo otteniamo la migliore stima dei coefficienti $b_i$ nel rapporto tra il logaritmo della $y$ e il logaritmo delle $x$ ma non nel rapporto tra la $y$ e la $x$. Questo mostra come la trasformazione dei dati introduca anche una {\em distorsione delle stime}. Quando si usa la trasformazione logaritmica conviene fare il logaritmo del valore assoluto della variabile più 1. Questo mappa tutti i valori della variabile $y$ in valori del logaritmo che vanno da zero a infinito. Dal momento che per valori compresi fra 0 e 1 la funzione logaritmica subisce variazioni enormi e non è neanche definita in zero, l'incremento di 1 dell'argomento del logaritmo (cioè $1+|x|$ invece di $|x|$) permette di ottenere una variazione molto vicina alla linearità. Questo è molto importante per i bassi valori della variabile, ma quasi insignificante per i valori alti. \sottosez{Standardizzazione.} Per una variabile è possibile calcolare la {\em media\/} e un altro indice di dispersione intorno alla media che è la cosidetta {\em deviazione standard}. Operare una standardizzazione su una variabile vuol dire portare la media al valore zero e la deviazione standard al valore 1. In pratica, l'altezza di un gruppo di individui può essere molto variabile; supponiamo che la media sia 170~cm e la deviazione standard $\pm$10~cm. Per standardizzare allora un dato basterà semplicemente sottrarre 170 e poi dividere il risultato per la deviazione standard. Ad esempio, per un soggetto alto 190~cm, la sua altezza espressa in variabile standardizzata è: $$\frac{190-170}{10} = 2$$ Questo valore (si noti: è {\em adimensionale\/}!), espresso in {\em unità standard}, permette il paragone tra dati diversi, anche quando essi corrispondono a differenti unità di misura. Inoltre, variabili differenti possono anche usare la stessa unità di misura ma in intervalli di valori molto diversi. Ad esempio, possiamo misurare l'altezza di un individuo e la lunghezza del suo dito mignolo. Nel primo caso la misura darà valori dell'{\em ordine di grandezza\/} del metro, nel secondo caso valori dell'{\em ordine di grandezza\/} del centimetro. È ovvio che la variazione nel primo caso sarà dell'ordine del decimetro e nel secondo caso dell'ordine del millimetro. Dati del genere sono difficilmente paragonabili se non si opera la standardizzazione. In entrambi i casi infatti, si riporterà tutto alla media zero e alla deviazione standard unitaria. In AMS vari metodi sono basati essenzialmente sulla standardizzazione. Per esempio, l'analisi delle componenti principali e l'analisi delle correlazioni canoniche. Per quanto riguarda poi l'analisi delle corrispondenze, già il porre le variabili in {\em tabella disgiuntiva\/} le rende a tutti gli effetti standardizzate. \sottosez{Popolazione e Campione.} Uno studio statistico può essere effettuato su un gruppo di unità, e in tal caso se lo scopo e quello della descrizione dei caratteri dell'intero gruppo si dice che il gruppo costituisce una popolazione. Tutti i metodi che si utilizzano sono quelli della {\em statistica descrittiva\/}; quando invece estraiamo da questo gruppo alcune unità e le sottoponiamo ai metodi detti della {\em statistica inferenziale\/} ci poniamo il problema di capire qualcosa delle caratteristiche del gruppo originario avendo analizzato soltanto un numero ridotto di unità, detto {\em campione}. Sul campione possiamo effettuare delle analisi di statistica descrittiva, ma per mettere in relazione le caratteristiche della popolazione cioè del gruppo originario con quella del sottogruppo dobbiamo adoperare delle formule che presentano dei parametri di correzione. Tutto questo per dire che nell'analisi statistica possiamo utilizzare formule per le popolazioni oppure formule per i campioni. Il tutto molte volte si riduce al calcolo corretto dei {\em gradi di libertà}. In genere i gradi di libertà di un campione sono ridotti di una unità o di un certo numero di unità pari al numero dei gruppi esaminati rispetto ai gradi di libertà della popolazione. L'identificazione della popolazione o del campione è un qualcosa che appartiene alla sfera della impostazione del problema e quindi non ha nulla a che vedere col problema informatico in sé, ma presuppone la conoscenza delle nozioni di base della statistica inferenziale. \sez{File dimostrativi} ¶{aFstat} è distribuito con quattro demo in forma di batch file. Tutti i dati sono prelevati dal volume di S.~Sadocchi [6]. Tutti gli esempi sono sicuri, in quanto inviano i risultati in RAM: Per il funzionamento su \msdos{} bisogna apportare alcune modifiche, specie per quanto riguarda la denominazione del RAM disk. \begin{description} \item[s96.bat] esegue il calcolo della regressione multipla multivariata su tre variabili dipendenti e due variabili indipendenti (esempio 1.2, pag. 89); i risultati coincidono con quelli riportati nel volume; \item[s\_all.bat] esegue il calcolo della regressione multipla multivariata su tre variabili dipendenti e sei variabili indipendenti (esempio 1.2, pag. 89); i risultati non devono coincidere con quelli riportati nel volume, in quanto sono adoperate tutte e sei le variabili dipendenti e non due soltanto; \item[s.bat] calcolo delle componenti principali sulle tre sopracitate variabili dipendenti (esempio 1.2, pag. 89 e calcolo a pag. 111); \item[s1.bat] calcolo delle componenti principali su tre variabili. (esempio 2.3, pag. 115). \end{description} \sottosez{Attenzione!} Dal momento che ¶{aFstat} agisce su file, è opportuno effettuare prove di calcolo adoperando la redirezione dell'output su RAM disk. Questo è agevole su \amiga{}, dove il RAM disk è di serie nel sistema operativo. Su \msdos{}, invece, l'installazione è lasciata all'utente. Consultare i propri manuali dos e modificare di conseguenza i file batch in questione (¶{.bat}). \sottosez{Carattere Separatore di Campo.} Limitatamente a questa versione di ¶{aFstat}, in tutti i file è {\em obbligatorio} adoperare come carattere separatore di campo {\em un unico spazio}. Errori imprevedibili avvengono per file mal calcolati anche per l'introduzione di un solo spazio in più. Inoltre, conviene cancellare eventuali righe abbondanti e invisibili eventualmente presenti alla fine del file. \sez{Dati tutti identici} ¶{aFstat} non è in grado al momento di analizzare dati tutti identici. Questa limitazione sembra di scarsa importanza, ma invece si presenta spesso nell'indagine effettuata su un gran numero di variabili, tra le quali alcune caratterizzate sempre dallo stesso valore. È il caso delle variabili qualitative, codificate con il metodo delle tabelle disgiuntive, quando nei questionari si trovano caratteri molto frequenti (sempre 1) o molto rari (sempre 0). Un risultato simile si ha nelle misurazioni quando la variabilità di un fenomeno è minore dell'errore di misura introdotto dallo strumento. Si dice in questo caso che ci si trova in condizioni di {\em errore massimo\/} e che la misura è dominata dall'{\em errore di sensibilità\/} dello strumento. Ad esempio, volendo misurare la lunghezza di un fiammifero con un metro da sarto è naturale ottenere sempre lo stesso risultato, in quanto lo strumento adoperato è grossolano. Se si adoperasse un calibro, si otterrebbero invece valori molto diversi, perché l'elevata sensibilità dello strumento mette in evidenza le fluttuazioni statistiche della misura. Il problema si risolve introducendo l'analisi statistica ponderata. ¶{aFstat} non effettua al momento questo tipo di calcolo. \sez{Ringraziamenti} Ringrazio la Sig.ra Amelia Morra per aver battuto pazientemente il testo di questo documento. \begin{thebibliography}{0} \bibitem[1]{} J.M.~Bouroche, G.~Saporta. \newblock {\em L'analyse des données}. \newblock Presses Universitaire de France, Paris, 1980. \newblock Trad. it.: {\em L'analisi dei dati}. CLU, Napoli, 1983. \bibitem[2]{} G.~D'Alfonso, N.~Lauro. \newblock {\em L'analisi delle corrispondenze multiple nella valutazione complessiva di un questionario epidemiologico. Risultati di un'indagine sulle allergopatie respiratorie}. \newblock Archivio Monaldi per la Tisiologia e le Malattie dell'Apparato Respiratorio, 33, 303, 1978. \bibitem[3]{} A.~Kostoris. \newblock {\em Elementi di Analisi Statistica Multivariata}. \newblock Franco Angeli, Milano, 1981. \bibitem[4]{} A.E.~Maxwell. \newblock {\em Analisi multivariata nella ricerca sociale}. \newblock Franco Angeli, Milano, 1981. \bibitem[5]{} C.~Robert. \newblock {\em Analyse descriptive multivariée. Application à l'intelligence artificielle}. \newblock Flammarion, Paris, 1989. \bibitem[6]{} S.~Sadocchi. \newblock {\em Manuale di analisi statistica multivariata}. \newblock Franco Angeli, Milano, 1981. \end{thebibliography} \finearticolo