Beispiel 1: Durchhang einer Hochspannungleitung Aus der Physik ist bekannt, daß ein Seil, das an zwei Punkten aufgehängt wird, stets die Gestalt f_a(x) = a * cosh(x) annimmt, wobei a eine positive Konstante ist. Nehmen wir den Fall, daß eine Hochspannungsleitung zwischen zwei Masten hängt. Der Abstand der Masten sei d = 0.2km. Der Durchhang des Seiles betrage 2m=0.002km. Frage: Wie lang ist das Seil? Rechnung: Zunächst ist die Konstante a zu bestimmen. Dabei gehen wir wie folgt vor: angenommen, a sei gleich 1. Dann können wir den Durchhang des Seiles als die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum bestimmen, die f_1(x) = cosh(x) auf dem Intervall [-0.1 ; 0.1] annimmt. Starten Sie also den Programmteil "Analysis", wählen Sie das Gadget "Neue Funktion" und geben Sie eine Funktion "Kurve: cosh(x)" ein. Wählen Sie dann den Knopf "Extrema" und geben Sie als Arbeitsberech [-0.1 ; 0.1] an. Sie erhalten ein Minimum: f_1(0) = 1. Wenn Sie die Funktion einmal zeichnen, erkennen Sie, daß f_1 auf dem Rand ein Extremum annimmt. Damit können Sie den Durchhang bestimmen: Durchhang = f_1(0.1)-f_1(0) = f_1(-0.1)-f_1(0) = 0.005004168 km = 5.004168 m Der Durchhang soll aber 2m betragen. Das können wir erreichen, indem wir die Funktion mit a = 2 m / 5.004168 m = 0.4 multiplizieren. Die Leitung hat also die Gestalt f(x) = 0.4*cosh(x). Geben Sie diese Funktion ein und klicken Sie auf den Knopf "Länge". Sie erhalten dann sofort das gewünschte Ergebnis. Wie sie sehen, ist der Längenzuwachs sehr gering, daß Ergebnis unterscheidet sich kaum von den 0.2km Abstand zwischen den Masten. Beispiel 2: Trägheitsmoment einer Fläche Angenommen, Sie wollen das Tragheitsmoment einer Sattelitenschüssel betrachten. Die Fläche sei durch die Gleichung x = cos(v)*u y = sin(v)*u z = u*u gegeben. Rechnung: Um die Fläche zu erzeugen, starten Sie bitte den Programmteil Vektoranalysis. Klicken Sie auf den Knopf "Fläche" und geben Sie die o.g. Teilfunktionen ein. Beachten Sie, daß SIGMAth ---wie viele Programme--- den Ausdruch u*u viel schneller und genauer berechnet als u^2. Zeichnen Sie die Fläche zunächst durch anklicken des Knopfes "Zeichnen". Wählen Sie die Farben, die Ihnen gefallen, und geben Sie als Grenzen [0,1] und [0,2*pi] ein. Wie bestimmen wir jetzt das Trägheitsmoment? Aus der Physik wissen wir, daß das Trägheitsmoment eine Fläche gegeben ist durch: Trägheitsmoment = Integral über die Fläche von Massenflächendichte * (Abstand zur Rotationsachse)^2 Da unsere Rotationsachse die Z-Achse ist, können wir den Abstand zur Achse im jedem Punkt berechnen als r = Wurzel aus (x*x + y*y) also r^2 = x*x + y*y Klicken Sie auf den Knopf "Skalarfeld" und geben Sie die letzte Funktion ein. Dann wählen Sie die Flächenfunktion und klicken den Knopf "Integral" an. Wählen Sie das Ihr Skalarfeld und geben Sie die Grenzen [0,1] und [0,2*pi] ein. Lassen sich das Ergebnis berechnen. Da Sie noch keine Massenflächendichte angegeben haben, wurde das Trägheitsmoment für 1 kg / m*m berechnet. Ihre Antenne ein anderes Gewicht pro Fläche hat, dann müssen Sie das Ergebnis noch mit dieser Zahl multiplizieren. Beispiel 3: Gewicht einer Fläche Für die Antenne aus Beispiel 2 soll das Gewicht bestimmt werden. Rechnung: Angenommen, Ihre Antenne wiegt a = 4 kg/m*m Klicken Sie also den Knopf "Skalarfeld" an und geben die als Funktion den konstanten Wert 4 ein. Wählen Sie das Ihr Skalarfeld und geben Sie die Grenzen [0,1] und [0,2*pi] ein. Lassen sich das Ergebnis berechnen. Beispiel 4: Einfache Beispiele für Kurven und Flächen 1) Eine Kreislinie. Bekanntlich erreichen Sie alle Punkte eines Kreises durch die Vektoren (sin(u),cos(u),0), wobei u sich im Bereich [0,2*pi] bewegt. Wenn Sie also eine Kreislinie als Kurve eingeben und zeichnen möchten, klicken Sie im Programmteil "Vektoranalysis" einfach den Punkt "Kurve" an und geben o.g. Funktionen ein. 2) Eine Spiralkurve Eine Spiralkurve erhält man, wenn sich ein Punkt auf einer Kreislinie bewegt und sich dabei noch senkrecht zu der Kreisbewegung bewegt. Daher erhalten Sie eine solch Spiralkurve z.B. durch die Funktionen (sin u, cos u, 0.2*u) mit u aus [0,10]. 3) Eine Spiralkurve, die nach unten immer enger wird. Der Radius des Kreises r kann vorgegeben werden, indem man den Vektor für die Kreisbewegung mit r multipliziert. Also stellt (r*sin u, r*cos u, 0) eine Kreisbewegung mit Radius r dar, und durch (r*r*sin u,r*r*cos u, 0.2*u) erhalten Sie eine nahc unten schnell enger werdende Sprialkurve. 4) Eine Schleifungkurve. Bewegt sich ein Punkt neben seier Kreisbahn noch in eine Richtung, die in der Kreisebene liegt, so entsteht eine Schleifenkurve. Ein Beispiel dafür ist (sin u, 0.3*u+cos u ,0). 5) Graph einer Funktion von zwei Variablen. Sei f eine Funktion von zwei Variablen, etwa f(u,v) = sin(u)+cos(v). Der Graph der Funktion ist dann die Fläche, die durch die Gleichungen 1) u 2) v 3) f(u,v) (hier: sin(u)+cos(v) ) gegeben ist. Um diese Fläche zu zeichnen, klicken Sie einfach auf den Knopf "Fläche" und geben die o.g. Funktionen ein. Klicken Sie dann auf "Zeichnen" und wählen Sie als Grenzen z.B. [-1,1] und [-2,2]. Lassen Sie sich überraschen.