Werken met fractals deel 2
 """"""""""""""""""""""""""

 Heeft een fractal praktische waarde?
 """"""""""""""""""""""""""""""""""""
 Sommige mensen vragen zich af wat je nu kunt met fractals. Meestal heeft
 dat te maken met het feit dat mensen niet goed weten wat fractals zijn
 en zeker niet de wiskunde erachter begrijpen. Als je er dan over praat
 zeggen ze: "Leuk, maar wat moet ik ermee?". Fractals zijn 'gewoon'
 grafische presentaties representaties van wiskundige modellen. Deze 
 modellen zijn voor bepaalde disciplines van zeer groot nut. Neem de
 Meteorologie, of de geografie. Het voorspellen van weersomstandigheden
 (op langere termijn) of de ontwikkeling van de bevolking in bepaalde
 regio's wordt gebaseerd op ingewikkelde wiskundige modellen met vele 
 vergelijkingen, variabelen en onbekenden. Met name in de sfeer van de chaos
 vinden we hier vele modellen die prachtige fractal grafieken opleveren.

 Verder kun je natuurlijk stellen dat fractals zich bevinden op de grens van
 stoffige wiskunde en sprankelende Computer Art. Voor sommige, specia-
 listische wiskundigen een proeftuin ( waar houd het op, hoe oneindig
 is oneindig, wat kunnen we wel en wat niet berekenen), voor experimenteel
 ingestelde computeraars gewoon prachtig om mee te stoeien. Niemand vraagt
 zich trouwens af wat de praktische waarde is van een 17e eeuwse bak met
 met vers fruit; men hangt het aan de muur. En zo heb ik thuis een afbeelding
 van een fractal aan de muur hangen.

 Hoe ontstaat een fractal?
 """""""""""""""""""""""""
 Nu komen we aan het leukere gedeelte, namelijk hoe we fractals kunnen maken.
 De basis voor een eenvoudige fractal ( en dan bedoel ik eenvoudig in de 
 zin van het idee dat erachter zit, het resultaat is er niet minder om) is 
 een lijnstuk met een lengte van 1. Eigenlijk herken je dat ook weer in het
 binaire boomvoorbeeld die we eerder al naar voren haalden. Op dit lijnstuk
 gaan we een aantal bewerkingen uitvoeren. Het resultaat is dan een groter
 aantal lijnstukken; op al deze lijnstukken gaan we weer dezelfde bewerking
 uitvoeren en zo blijven we doorgaan. Het resultaat is een fractal.

 H. von Koch presenteerde aan het begin van deze eeuw een dergelijk 
 fenomeen: de kromme van von Koch. Wat hij deed was het midden van het
 basislijnstuk 'omhoogduwen' tot de top van een gelijkzijdige driehoek,
 met een zijde van precies 1/3 van het basislijnstuk. (Een gelijkzijdige
 driehoek is een driehoek waarvan de zijden precies even lang zijn; de 3 
 hoeken zijn alle precies 60 graden. Het resultaat van deze bewerking
 is een viertal lijnstukjes, elk met een lengte van 1/3 van het orgineel.
 Met al deze lijnstukjes deed von Koch weer hetzelfde als met de eerste
 en zo ging hij een aantal stappen door. In de fractal tekening kunt u 
 zien welk figuur er vervolgens onstond. Een van de eerste onderzoekers
 van fractal figuren was de fransman P. Levy. Hij presenteerde een fractal
 die, qua bewerking, lijkt op die van Koch, doch die qua resultaat weinig
 daarvan weg heeft. De basis is weer een lijnstuk met lengte 1; dit wordt
 vervangen door 2 schuine lijnen, die samen een hoek van 90 graden vormen.
 Herhaal deze stap en een zeer fraaie fractal is het gevolg.

 Het maken van de kromme van Koch
 """"""""""""""""""""""""""""""""

 ' Kromme van Koch' - Amiga versie - (C) AACC 1992 - ABASIC

 SCREEN 2,660,260,2,2
 WINDOW 2,"KROMME VAN VON KOCH",(0,0) - (640,240),0,2
 WINDOW OUTPUT 2
 TOP=.4:BOT=-.3:RANGE=TOP-BOT
 DEF FNIX(P)=INT(620*P+10)
 DEF FNEI(Q)=INT(10+(TOP-Q)*230/RANGE
 PI=3.141592654#
 STAP=4:DIM T(STAP):
 H=3^(-STAP)
 PSET(FNIX(0),FNEI(0))
 FOR N=0 TO 4^ STAP -1
   M=N
   FOR L=0 TO STAP -1
     T(L)=(M MOD 4):M=M \4
   NEXT L
 S=0
 FOR K=0 TO STAP-1
    S=S+((T(K)+1) MOD 3)- 1
 NEXT K
 X=X+COS(PI*S/3)*H
 Y=Y+SIN(PI*S/3)*H
 LINE -(FNIX(X),FNEI(Y))
 NEXT N
 WHILE INKEY$="":WEND
 WINDOW CLOSE 2
 SCREEN CLOSE 2
 END