%format latexg \documentstyle[din_a4]{article} \begin{document} {\rm\sloppy %%%%%%%%%%%% šberschrift: %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \centerline {\hfill\LARGE --- DERICALC V.1.0 --- \hfill} \bigskip\hrule height 2pt\vskip 3pt\hrule\bigskip \narrower \narrower %%%%%%%%% Text: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \centerline{\hfill\bf Allgemeines zum Programm \hfill} \noindent\underline{\bf Eingabe von Funktionen:} Funktionen werden in einer speziell dafr vorgesehenen Dialogbox eingegeben, die „hnlich der File-Selectorbox des Atari arbeitet. Um eine Funktion zu definieren, f„hrt man mit dem Textcursor auf ein freies Textfeld in der Dialogbox und gibt die Funktion ber der Tastatur ein. Um nun eine Funktion zu verwenden, klickt man das entsprechende Feld an, bis dieses Schwarz wird, und drckt anschliežend Return bzw. den OK-Button auf dem Bildschirm. Hat man es sich anders berlegt, klickt man den Abbruch- Button an. Die Dialogbox erscheint immer, wenn in einem Menpunkt eine Funktionseingabe erforderlich ist. Sie l„žt sich auch einzeln ber den Menpunkt {\it Funktion eingeben} aufrufen. \noindent\underline{\bf Erlaubte Ausdrcke:} Fr Funktionen sind die normalen Rechenzeichen +,-,*,/ sowie die Potenzierung \^{ } erlaubt. Natrlich gilt Punkt- vor Strichrechnung. An Standardfunktionen sind definiert: $$ sin,cos,tan,arcsin,arccos,arctan,sinh,cosh,tanh,exp,ln,abs $$ $$ sqr,sqrt $$ Hierbei stellt abs den Absolutbetrag dar. Achtung: sqr stellt im Gegensatz zu z.B. BASIC das Quadrat dar, sqrt bezeichnet die Quadratwurzel! Zu beachten ist aužerdem, daž die hyperbolischen Funktionen zwar berechnet werden, jedoch vom Differenziator nicht erkannt werden, also nicht in Menpunkten verwendet werden darf, in denen die Funktion abgeleitet wird. Weiterhin k”nnen in Funktionsdefinitionen die Konstanten a-k verwendet werden, soweit sie im Men {\it Konstanten } definiert wurden. Natrlich sind auch beliebige numerische Konstanten erlaubt. Diese k”nnen in normaler Fliežkommaschreibweise, also z.B. $ 0.0025 $ oder aber in Exponentialschreibweise $ 2.5e-3 $ eingegeben werden. Achtung:Numerische Konstanten k”nnen ein negatives Vorzeichen haben, nicht aber symbolische. Die Eingabe $ -a*x $ fhrt also zu einem Fehler. Die Funktionen k”nnen von den Variablen x,y,z und t abh„ngen. Klammern sind in beliebiger Tiefe erlaubt. Das Programm verlangt grunds„tzlich Kleinschreibung. Zu beachten sind noch einige Regeln fr einzelne Me\-n\-punk\-te: Fr den Me\-n\-punkt {\it Funktionenschar } ist es n”tig, daž die Funktion von einem Scharparameter a abh„ngt. Fr den Punkt {\it Fehlerrechnung} darf die Funktion von mehreren v”llig beliebigen Variablen abh„ngen. \centerline{\hfill\bf Das Men FILE \hfill} \noindent\underline{\bf Terme laden / speichern :} Hier k”nnen vorher definierte Funktionen gespeichert bzw. wieder geladen werden. Gespeichert wird der komplette Inhalt der Funktions- Auswahlbox und s„mtliche Konstanten. \noindent\underline{\bf Bilder laden / speichern :} Fertig erstellte Grafiken k”nnen im Screen-Format abgespeichert und mit einem Zeichenprogramm weiterbearbeitet werden. \noindent\underline{\bf System-Hardcopy :} Aufruf der System-Hardcopy- Routine XBIOS 20. Abbruch der Routine mit ALT-HELP. \noindent\underline{\bf Quit :} Wie der Name schon sagt... \centerline{\hfill\bf Das Men Funktionen \hfill} In diesem Men befinden sich Routinen zur symbolischen und numerischen Bearbeitung von Funktionen. \noindent\underline{\bf Funktionen editieren :} Mit diesem Punkt wird die Funktionsauswahl-Dialogbox aufgerufen, um Funktionen zu ver„ndern. \noindent\underline{\bf Funktion ableiten :} Die symbolische 1.Ableitung der Funktion wird gebildet und ausgegeben. Differenziert wird nach der in {\it Optionen} ausgew„hlten Variablen, normalerweise x. Der ermittelte Funktionsstring kann in die Funktions - Auswahlbox bernommen werden. Zu diesem Zweck erscheint eine Alert-Box. Achtung: Ist der Funktionsstring zu lang fr die Dialogbox, kann das evt. zum Absturz fhren. Man sollte also zu lange Strings nicht bernehmen! \noindent\underline{\bf Taylorentwicklung :} Die Taylorreihe einer Funktion stellt eine N„herung dieser Funktion als Polynom innerhalb einer kleinen Umgebung des Entwicklungspunktes dar. Die Formel lautet: $$ f(x_0+\Delta x) \approx \sum_{i=0}^n {f^{(i)}(x_0)\over i!} \Delta x^i $$ Die Ordnung der Entwicklung(d.h. die Ordnung des zu errechnenden Polynoms) sowie der Entwicklungspunkt (meistens 0) wird in der erscheinenden Dialogbox eingegeben. Die H”he der Ordnung ist an sich unbegrenzt, man sollte jedoch keine Ordnung gr”žer 5 w„hlen, da das zu Speicherproblemen sprich Absturz fhren kann. Das fertige Taylorpolynom kann wie bei der Routine {\it Funktion ableiten} als Formel bernommen werden. \noindent\underline{\bf Konstanten festlegen :} In diesem Menpunkt k”nnen die Konstanten fr die Funktionsdefinitionen Festgelegt werden. Angaben in Fliežkomma- oder Exponentialschreibweise. \noindent\underline{\bf Funktionswert :} Hier k”nnen numerisch Werte einer Funktion ermittelt werden. Nach der Auswahl der Funktion braucht nur die x-Werte eingegeben zu werden, $ f(x) $ wird anschliežend ausgegeben. Man verl„žt den Menpunkt mit Eingabe von q. \noindent\underline{\bf Ableitungswert :} Entspricht der Routine {\it Funktionswert }, nur mit der 1. Ableitung. \noindent\underline{\bf Bestimmtes Integral:} Das Integral einer Funktion wird nach der Simpson-Methode numerisch berechnet. In der Dialogbox sind die Integrationsgrenzen sowie eine Integrationskonstante anzugeben. Die Integrationskonstante sollte normalerweise null sein. \noindent\underline{\bf Nullstellen:}Diese Routine erm”glicht die numerische N„herung von Nullstellen einer Funktion, wenn diese in etwa bekannt sind. Soll eine Funktion nach Nullstellen abgesucht werden, sollte die Routine {\it Kurvendiskussion} benutzt werden. Es stehen zwei Berechnungsmethoden zur Verfgung: Fr die Berechnungsmethode nach {\it Newton} ist es n”tig, daž an der Entwicklungsstelle der Betrag der 1. Ableitung kleiner als 1 ist, damit die Entwicklungsfolge konvergiert. Andernfalls wird eine Warnmeldung ausgegeben. Es ist nur ein Startwert anzugeben. Die verwendete Formel lautet: $$ x_{n+1} = x_n-{f'(x_n) \over f(x_n)} $$ Bei der {\it Bisektion} sind 2 Werte anzugeben, zwischen denen die Nullstelle liegen muž. Dabei mssen die Funktionswerte der beiden Starwerte verschiedene Vorzeichen haben. \noindent\underline{\bf Differentialgleichungen :} Bei der numerischen Integration von DGLn muž ebenfalls der Integrationsbereich sowie die Integrationskonstanten eingegeben werden. Berechnet wird nach dem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung. Die Ausgabe erfolgt wahlweise auf Screen oder Drucker. Eine Besonderheit zur Notation: Die ausgew„hlte Funktion wird als die jeweilige erste oder zweite Ableitung von y nach x interpretiert, d. h. die Definition f1=-2*y wrde als DGL 1.Ordnung mathematisch bedeuten $$ {\partial y \over \partial x} = -2y $$ Die entsprechenden Werte sind die Werte von y in Abh„ngigkeit von x. Bei DGLn 2. Ordnung wird die definierte Formel als zweite Ableitung von y nach x und der Ausdruck z als erste Ableitung von y nach x verwendet. Die Formel f1=3*z-2*y bedeutet also $$ {\partial^2 y \over \partial x^2} = 3{\partial y \over \partial x} - 2 y $$ \centerline{\hfill\bf Das Men Grafik \hfill} Dieses Men erm”glicht die grafische Ausgabe der Funktionsterme. \noindent\underline{\bf Funktion zeichnen :} Dieser Menpunkt stellt die ausgew„hlte Funktion auf dem Bildschirm dar. Dabei wird der in der Dialogbox {\it Zeichenbereich} eingestellte Bereich dargestellt und die in {\it Optionen} angegebenen Einstellungen bercksichtigt. Aužerdem werden die Einstellungen {\it Y Automatik} und {\it Y anpassen} bercksichtigt. Genauso wie dieser Menpunkt verhalten sich die 3 folgenden,{\bf 1.,2.}und{\bf 3.Ableitung zeichnen} \noindent\underline{\bf Stammfunktion zeichnen:}Eine Stammfunktion der ausgew„hlten Funktion wird numerisch nach der Simpson-Methode berechnet und gezeichnet. Zu beachten ist, daž die Stammfunktion nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt ist. Diese Integrationskonstante wird vorher abgefragt. Das Programm verh„lt sich ansonsten genauso wie bei {\it Fkt. zeichnen}, jedoch wird {\it Y Automatik} nicht beachtet. \noindent\underline{\bf Funktionenschar:}Wie {\it Fkt. zeichnen}, jedoch wird diesmal eine ganze Funktionenschar gezeichnet. Diese muž von einem Scharparameter a abh„ngen, fr den in einer Dialogbox Start-,Zielwert und Schrittweite angegeben werden. \noindent\underline{\bf DGLn zeichnen:}Diese beiden Menpunkte entsprechen den Menpunkten im {\it Funktionen} - Men, jedoch wird das Ergebnis grafisch dargestellt. Die grafische Ausgabe verh„lt sich wie bei {\it Stammfkt. zeichnen} \noindent\underline{\bf Zeichenbereich:}Hier kann der gewnschte Zeichenbereich in Fliežkomma- oder Exponentialschreibweise eingegeben werden. Die Eingabe fr die X-Achse gilt auf alle F„lle, die Eingabe fr die Y-Achse wird evt. bei Anwahl der Menpunkte {\it Y Automatik} bzw. {\it Y anpassen} ignoriert. \noindent\underline{\bf Y Automatik:}Die zu berechnende Funktion wird, bevor sie gezeichnet wird, schon einmal berechnet und dann der optimale Y-Bereich eingestellt. Die Werte in der Dialogbox von {\it Zeichenbereich} werden nicht ver„ndert. Dieser Menpunkt funktioniert nur bei {\it Fkt. zeichnen} sowie {\it 1.-3. Ableitung zeichnen}. \noindent\underline{\bf Y anpassen:} Der Y-Zeichenbereich wird so angepažt, daž er im selben Mažstab wie der X-Bereich auf dem Bildschirm abgebildet wird, d.h. die Grafik erscheint ohne Verzerrung. Die Werte in der Dialogbox von {\it Zeichenbereich} werden nicht ver„ndert \noindent\underline{\bf Lupe:} Der Zeichenbereich kann durch ziehen einer Rubberbox ver„ndert werden. Der neue Zeichenbereich wird erst endgltig ver„ndert, wenn eine neue Funktion gezeichnet wird, d.h. die Einstellung kann noch korrigiert werden. Es gilt jeweils die letzte Einstellung. Die Funktion Lupe stellt nur eine Neudefinition des Zeichenbereiches dar, keine Vergr”žerung des schon gezeichneten Grafen. Dieser muž noch einmal separat mit {\it Fkt. zeichnen} o.„. aufgerufen werden. Der neue Zeichenbereich wird brigens in die Dialogbox von {\it Zeichenbereich} eingetragen. \noindent\underline{\bf Optionen:}Hier k”nnen alle m”glichen Parameter eingestellt werden, die (zum gr”žten Teil) mit der Grafikdarstellung zu tun haben, als da w„ren: Skalierung: An die Achsenkreuze wird ein Mažstab gezeichnet. Die Schrittweite des Mažstabes wird ebenfalls in der Dialogbox eingestellt. Raster: Ein Linienraster wird gezeichnet. Bild puffern: Das bestehende Bild wird nicht bei jedem neuzeichnen gel”scht, sondern bleibt bestehen. Auf diese Weise lassen sich mehrere Funktionen nebeneinander darstellen. Achtung: Die Funktion bleibt bestehen, auch wenn ein anderer Zeichenbereich gew„hlt wurde. In diesem Fall den Menpunkt {\it Bild l”schen} verwenden. Darstellung auf der X-Achse: hier kann gew„hlt werden, von welcher Variablen die Funktion abh„ngen soll, man kann also auch eine Funktion z.B. f(t) definieren. Diese Einstellung wird auch bei der Differentiation bercksichtigt. Mathematische Fehler ignorieren: Das Programm besitzt eine eigene Routine fr die Behandlung von math. Fehlern(z.B. Division durch 0, Bereichsberschreitung). Im Textmodus (z.B. {\it Rechner}) wird eine detaillierte Beschreibung des Fehlers ausgegeben, bei der Grafikausgabe erscheint nur eine Alert-Box, um die Grafik nicht zu zerst”ren. Da dies aber ziemlich l„stig sein kann und auftretende Fehler meistens nur Definitionslcken darstellen, die man sowieso kennt, l„žt sich diese Fehlerroutine durch anw„hlen des Buttons abstellen. \noindent\underline{\bf Bild l”schen/Bild zeigen:}Mit der ersten Routine l„žt sich ein Flag setzen, damit der Bildpuffer beim n„chsten Aufruf einer Zeichenfunktion nicht neu gezeichnet, sondern gel”scht wird. Das ist ntzlich, wenn der Punkt {\it Bild puffern} angew„hlt wurde, man aber wieder von vorne zeichnen m”chte. Mit dem zweiten Menpunkt wird der Bildpuffer neu gezeichnet, etwa wenn der Bildschirminhalt etwa durch ein Accessorie zerst”rt wurde. \centerline{\hfill\bf Das Men Spezial \hfill} \noindent\underline{\bf Kurvendiskussion:} Kurvendiskussion ist ein bižchen bertrieben fr diesen Menpunkt, er dient dazu, eine Funktion in einem bestimmten Bereich nach Nullstellen sowie nach lokalen Extrema und Wendepunkten zu untersuchen. Dazu ist zun„chst der Bereich anzugeben, danach die Genauigkeit (100 ist ein guter Wert, je h”her, desto genauer). Den Rest sehe man selbst. Die Ausgabe erfolgt wahlweise auf Screen, Drucker oder Diskette. Einen Haken hat die Sache jedoch: Die Berechnung der Nullstellen erfolgt nach Bisektion, was relativ schnell geht, jedoch den Nachteil hat, daž nur Nullstellen erkannt werden, bei denen der Graph die Funktion schneidet. Bei der Funktion $ x^2 $ wird die Nullstelle also glatt bersehen. Die Routine soll aber nur ein Hilfsmittel darstellen, deshalb wurde auf einen komplizierteren Algorithmus verzichtet. \noindent\underline{\bf Fehlerfortpflanzung:}Diese Routine wird jeder zu sch„tzen wissen, der sich schon mal mit einem Physikpraktikum herumschlagen mužte. Die Errechnung eines Gesamtfehlers nach Gauž von Hand ist n„mlich eine ganz sch”ne Arbeit, und die meisten Mežwertprogramme geben nur das Ergebnis, nicht jedoch die Rechenschritte aus. (Was aber gerade in An\-f„n\-ger\-prak\-ti\-kas von vielen computerhassenden Assis verlangt wird, nach dem Motto "Ihr sollt ja lernen wie es geht." Hier schafft diese Routine abhilfe, die eine komplette Fehlerrechnung nach Gauž inkl. Zwischenschritte auf Drucker, Screen oder Disk ausgibt. Die Formel fr den Gesamtfehler einer Funktion, die von den Variablen $ x_1 $ bis $ x_n $ abh„ngt, die jeweils mit dem Mežfehler $ \Delta x_i $ behaftet sind, lautet $$ \Delta f(x_1,...,x_i)=\sqrt{ \sum_{i=12}^n \left({\partial f \over \partial x_i} \Delta x_i \right)^2} $$. Die ausgew„hlte Funktion kann von beliebig vielen Variablen mit beliebigen Namen abh„ngen, das Programm stellt sich selbst eine Variablenliste zusammen und fragt Werte, Fehler und Einheit dieser Variablen ab.Alles weitere macht das Programm. \noindent\underline{\bf Rechner:}Diese Routine dient dazu, daž man w„hrend der Arbeit mit dem Programm nicht dauernd zum Taschenrechner greifen muž. Es k”nnen beliebige Ausdrcke mit den selben Syntaxregeln wie fr Funktionsdefinitionen berechnet werden, lediglich die Abh„ngigkeit von x,y,z oder t ist nicht erlaubt. Ende mit Eingabe von q. \noindent\underline{\bf Hilfsprogramme:} Diese 3 Menpunkte stellen quasi eine Mini-Shell dar, ber die bei der Arbeit mit dem Programm h„ufig ben”tigte Hilfsprogramme aufgerufen werden k”nnen, ohne das Programm zu verlassen. Zur Definition der Pfade fr die Programme w„hlt man {\it Installation}. Hinweis: Bei der TOS-Version 1.4 werden in den File-Select-Boxen durch das Programm Meldungen ausgegeben, was bei anderen TOS-Versionen nicht der Fall ist.(Das Programm l„uft mit diesen aber trotzdem.) Die Meldungen sind bei den anderen Menpunkten nicht so wichtig, Bei {\it Installation} kommt es aber sehr darauf an, deshalb fr alle, die nicht TOS 1.4 bezitzen: In der ersten Fileselectbox ist der Pfad fr den Texteditor anzugeben, in der zweiten der Pfad fr das Zeichenprogramm. Da dieser Menpunkt nur sehr selten aufgerufen wird, habe ich mir nicht mehr Mhe gemacht. Ist die Installation einmal vorgenommen, kann von nun an ber die Menpunkte {\it Texteditor} bzw. {\it Zeichenprogramm}das jeweilige Hilfsprogramm aufgerufen werden. \noindent\underline{\bf Panik:} Hier wird ein kurzer Text ber die Syntax-Regeln des Programmes ausgegeben. } \end{document}