Toute la Vérité sur les Ensembles de Julia et de MandelBrot: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Vous vous êtes sûrement déjà demandé pourquoi les ensembles de Julia ressemblaient beaucoup aux régions de l'ensemble de MandelBrot autour des points sources correspondants. L'explication de ceci est en fait très simple: L'ensemble de MandelBrot, les ensembles de Julia et les ensembles de MandelBrot incomplets, tout cela n'est en fait qu'un seul et unique ensemble dans un espace à 4 dimensions et selon les plans de coupes suivant lesquels on le regarde on obtient soit le MandelBrot soit des Julia ou encore des MandelBrot incomplets! Voici la démonstration Mathématique très simple de tout cela: Tous ces ensembles ne sont en fait que des visualisations d'une fonction N(Z,C) où N est le nombre d'itérations obtenues à partir de la boucle z <-- z*z + C, lorsque l'on commence avec la valeur initiale Z pour z. Ce sont les différentes façons de choisir Z et C qui déterminent le type d'ensemble. Pour les ensembles de Julia: On prend Z comme variable (c'est à dire qu'on construit Z à partir des coordonnées du pixel de l'écran), C étant constant. Pour l'ensemble de MandelBrot Standard on prend C comme variable avec Z=0. Pour les MandelBrot Incomplets-1 (c'est à dire de Type N°1) on prend toujours C comme variable et Z est toujours constant mais dans ce cas là il ne vaut plus 0. On voit donc bien qu'avec une fonction iterative à deux variables Z et C on arrive à construire tous ces ensembles. Or Z et C, ne l'oublions pas, sont des nombres complexes, c'est à dire qu'ils ont déjà deux dimensions. Voilà pourquoi l'ensemble total fait 2x2 = 4 dimensions et selon le plan par lequel on le regarde (c'est à dire selon que C ou Z est la constante) on arrive à décliner tous ces types d'ensembles à deux dimensions. Cette vision des choses explique donc pourquoi les Julia tirés d'un point source dans l'ensemble de MandelBrot ressemblent toujours à la région de MandelBrot autour de ce point source. Et pour cause puisque tout cela n'est qu'un seul et unique ensemble à 4 dimensions. Cela explique aussi pourquoi l'ensemble de MandelBrot se déforme continuellement au fur et mesure que le Z de départ (ce que l'on appelle la graine ou encore le point source) est de plus en plus différent de 0. Suivant ce principe on peut envisager d'autres plans de coupe simples. En effet si on sépare les variables Z et C en faisant intervenir leur partie réelle et imaginaire, c'est à dire: Zx, Zy et Cx, Cy on pourait très bien faire varier Zy et Cy et donc dessiner notre ensemble dans le plan où Cx et Zx sont constant. Idem avec Zy et Cy constant et Cx et Zx variable ou encore avec Cx et Zy constant ou enfin avec Cy et Zx constant. Au total ou peut obtenir 6 plans de coupes différents en combinant deux à deux les quatres axes principaux de notre espace à 4 dimensions. Ces six coupes correspondent aux Julia et aux Mandelbrot incomplets de type 1 à 5, le Mandelbrot pur de base étant lui un cas particulier de Mandelbrot Incomplet-1, lorsque la source est nulle. Résumons donc les situations les plus simples qui donnes des formes connues: Les Julia correspondent aux plans de coupe ou Cx et Cy sont constants. Le MandelBrot de base correspont aux plans de coupe ou Zx=0 et Zy=0. Les MandelBrot incomplets-1 aux plans de coupe ou Zx et Zy sont constants. Le Cercle (centre 0 et rayon 1) correspond au plan de coupe Cx = Cy = 0 Et oui, chose à ne jamais oublier: le cercle unité n'est autre que le Julia de constante nulle. Il reste donc encore à découvrir 4 autres sortes de "formes": Celles pour les plans de coupes Cx et Zx constant: Formes de Type 2 Celles pour les plans de coupes Cy et Zy constant: Formes de Type 3 Celles pour les plans de coupes Cx et Zy constant: Formes de Type 4 Celles pour les plans de coupes Cy et Zx constant: Formes de Type 5 Car ce sont bien évidement les 6 plans de coupes les plus faciles à obtenir puisqu'ils correspondent aux divers couples possible des axes principaux de l'espace à 4D. C'est justement ce que permet désormais ce nouveau MandelTour qui comporte maintenant un menu supplémentaire pour ces 4 autres types de MandelBrot Incomplets. Le chiffre (de 2 à 5) indiqué à la suite des mots MandelBrot Incomplets permet donc de choisir ce type de plan de coupe parmis les quatres décrits ci-dessus. Ces 4 nouveaux modes de MandelTour vous ferons découvrir des images aux formes mi-Julia mi MandelBrot encore plus intrigantes avec beaucoup moins de symétries et beaucoup plus de distortions. Vous trouverez dans la bibliothèque d'image du disque MandelTour deux exemples d'images issues de ces plans de coupes spéciaux. Ce sont les numéros 11 et 12 que vous pourrez faire afficher par le menu "Show". Ces nouvelles possibilités de MandelTour constituent un véritable scoop car l'exploration de tous ces autres plans de coupes issus des "faces cachées" de cet ensemble de MandelBrot généralisé à 4 dimensions n'a jamais été effectué sur Amiga. Il est d'ailleurs très difficile d'obtenir des renseignements théoriques sur ce véritable Monstre à 4 dimensions! Ces faces cachées n'ont quasiment jamais été explorées ni sur Amiga, ni ailleurs! C'est pourquoi même si vous êtes un grand habitué des ensembles de MandelBrot et de Julia, vous serez surpris par ces formes nouvelles et encore plus extravagantes que permet désormais de découvrir ce MandelTour. D'ailleurs l'image numéro 12 de la bibliothèque ressemble à la Flamme Olympique, que demander de mieux en cette Année 1992! Pour le choix des constantes que nous appellons encore points sources ou graines là aussi récapitulons la situation: Pour les Julia il est clair que les points sources se réfèrent à l'ensemble de MandelBrot 2D Standart. Inversement pour les MandelBrot Incomplets les graines se réfèrent aux formes des Julia de mêmes constantes. Voilà pourquoi l'ensemble de MandelBrot 2D Standart est plein de disques satellites parce que son point source qui est la graine nulle (0,0) se refère en fait au Julia de constante (0,0) qui n'est rien d'autre que le disque unité! Pour les autres c'est plus compliqué mais c'est évidement parce que nous ne connaissont pas bien les formes de l'ensemble global à 4D puisque tout est évidement relatif à cet ensemble à 4D. Bien sur pour pouvoir obtenir de belles images avec ces nouveaux modes MandelBrot Incomplet-2 à 5 il faut bien choisir les points sources et aller chercher les détails aux endroits ou il semble se passer des choses bizares, ces endroits se trouvent généralement tout près des formes noires qui elles constituent l'intérieur de l'ensemble 4D. Pour le choix des points sources, je vous conseille de ne pas vous éloigner exagérément du point central (0,0) car au plus vous vous éloignez de (0,0) et au plus les distorsions augmenteront. Ceci n'est bien sur valable que pour ces modes MandelBrot-Incomplet-2 à 5. Tout dépand donc si vous préférez avoir beaucoup de distortions ou pas du tout. Pour les Julia ne prenez surtout pas un point source près du centre (0,0) car vous n'obtiendrez rien d'autre que le cercle unité ou une forme s'en approchant suivant que la source est plus ou moins près de (0,0). Pour obtenir de beaux Julia vous devez plutot prendre les points sources près de la frontière de l'ensemble de MandelBrot là ou se trouvent des détails intéressants. Pour l'ensemble de MandelBrot de base dont quelques exemples se trouvent sur les toutes premières images de la bibliothèque (Images 1 à 5), il contient de très belles choses mais il faut aller chercher ces images très loin dans les ultimes profondeurs de l'ensemble, c'est à dire après avoir réaliser de nombreux zooms. Souvent lors de votre exploration vous retrouverez d'autres copies similaires à l'ensemble principal. C'est d'ailleurs le cas de l'image d'exemple N°5. Ces petites copies de cet ensemble de MandelBrot vous pouvez également allez les explorer et vous constaterez qu'elles ne contiennent pas tout à fait les memes images que l'ensemble principal: Les images se ressemblent vu de loin mais ensuite les details apparaisent comme mélangés à d'autres formes ce qui rend le tout encore plus spectaculaire! Je vous conseille d'ailleurs d'explorer cette petite copie de MandelBrot que contient l'image d'exemple numéro 5. Pour terminer voici encore quelques petits conseils ou rappels pour utiliser au mieux ce MandelTour: Pour ceux qui ont une carte accélératrice n'oubliez pas que lorsque vous faites défiler les couleurs en sélectionnant le menu de palette automatique vous pouvez ralentir le défilement des couleurs à l'aide des touches + ou - du pavé numérique. Les touches 1 à 9 permettent quand à elles de changer les effets et la barre d'espace de revenir en arrière. Si vous ne désirez pas utiliser le multitache de l'Amiga (par exemple si vous faites des calculs pendant la nuit), utilisez le petit programme "Turbo" inclu sur ce disque. En effet Turbo coupe l'affichage de l'Amiga le processeur n'ayant alors plus à gérer cet affichage cela vous permet de gagner environs 15% en temps de calculs et plus encore si vous calculez en Haute-Résolution. Lorsque vous lancez Turbo une petite fenètre s'ouvre et si vous cliquez à l'intérieur l'affichage est suprimé. Pour récupérer cet affichage déplacez la sourie et cliquez cette fois ailleurs que dans la fenêtre de Turbo. Evitez d'explorer des régions contenant beaucoup de zone noires: Il ne faut pas trop explorer ces zones car d'abord elles n'ont pas beaucoup d'intérét esthétique et que de plus ces points noirs sont ceux qui sont les plus lents à calculer puisque ce sont ceux qui ne divergent jamais. Evidement on pourait rajouter une routine permettant de réduire les calculs sur ces points noirs mais l'inclusion de telles routines outre le fait que la qualité de l'image s'en retrouve réduite cela ralentit aussi le calcul des images sur les zones ou il y a beaucoup de filaments et très peu de points noirs (puisqu'il faut bien évidement faire des tests suplémentaires pour savoir dans quelle zone on se trouve!). Bref ce que l'on semble gagner d'un coté on le perd encore plus de l'autre! En fait MandelTour est optimisé au maximun pour le calculs des filaments de l'ensemble de Mandelbrot car c'est bien là que l'on obtient les plus belles images et il n'est évidement pas conçu pour calculer des zones noires qui n'ont du reste pas beaucoup d'intérêt. L'ensemble de MandelBrot est loin d'être limité à ses disques satéllites, il contient des tas de régions contenant beaucoup de filaments et ce sont bien celles là les plus belles à explorer et c'est aussi dans l'exploration de ces régions que MandelTour est extrèmement rapide par raport à d'autres générateur MandelBrot (il en existe énormement dans la collection Fish!). D'après nos tests c'est meme le plus rapide actuellement. Si vous vous amusez à faire des comparaisons veuillez surtout comparer ce qui est comparable. En particulier méfiez-vous de certains programmes qui calculent rapidement les zones noires mais qui sont bien incapables de générer de belles images en provenances des profondeurs de l'ensemble de MandelBrot (c'est à dire là ou il y a le plus de filaments). D'autant plus que sur le plan de la qualité de l'image finale MandelTour surpasse de loin tous ses concurents. En effet MandelTour utilise un histogramme avec un algorithme logarithmique répartissant à chaque fois les couleurs de façon la plus harmonieuse possible. Parce que seule la résolution ne suffit pas à donner des images de bonne qualité: Ce qui compte c'est aussi le rendu des contours, de la lumière et de l'aspect harmonieux de l'ensemble et c'est justement cet algorithme logarithmique qui permet tout cela. Par exemple les programmes MandelVroom (Fish 214/215), MandelPaug (Fish 452) ou FFEX (Fish 549) n'emploient pas du tout un tel algorithme logarithmique et ils conduisent rapidement à des images de bien moins bonne qualité (pour MandelVroom) voire complètement illisibles (pour les 2 autres!) lorsque on entre un peu dans les profondeurs de l'ensemble de MandelBrot. Enfin grâce à ses routines de calculs sur 64 bits, MandelTour va vous permettre d'explorer l'ensemble de MandelBrot jusqu'à des agrandissements de plus de 10 puissance 15, c'est à dire que rapporté aux dimensions de votre moniteur vous aurez de quoi pouvoir explorer un ensemble encore plus vaste que les dimensions de notre système solaire, beaucoup plus d'ailleurs puisque notre système solaire n'est qu'en trois dimensions tandis que ce nouveau MandelTour explore désormais un ensemble à 4 dimensions!!! HAMMOUCHE Serge 3 Rue Anatole France 13220 Chateauneuf Les Martigues. -------------------------------------- Pour Quitter Cette Doc Appuyez Sur "Esc" ----------------------------------