\type grc
\title Granice ci©g®w
\begin exercise
\title Granice ci©g®w
\begin text
Zbadaj monotoniczno¯ª i granic« ci©gu 
\cr
     1+2+...+n
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
         n¾
\end text
\begin question
\globalexit
\title Ciagi
\begin text
a) Zbadaj monotoniczno¯ª ci©gu  
\cr
     1+2+...+n
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
         n¾
\cr 
Podaj jako odpowied°: 1 gdy jest rosn©cy, 2 gdy malej©cy, a 3, 
gdy nie jest monotoniczny.
\end text
\points 4
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct 2
\end answer
\begin help
\lose 1
Obliczamy r®±nic« dw®ch kolejnych wyraz®w i badamy jej znak.
\next
\lose 1
Przyda si« wz®r: 
\half
                 n(n+1)
     1+2+...+n = ÈÈÈÈÈÈ .
                   2
\cr
\full
\next
\lose 1
Mamy
\half
     (n+1)(n+2)   n(n+1)    n+2     n+1   n(n+2)-(n+1)¾ 
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ - ÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈ - ÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
       2(n+1)¾      2n¾    2(n+1)   2n      2n(n+1)
\cr
\full
Mianownik jest dodatni, wi«c decyduje znak licznika. 
Rad° sobie sam(a).
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title Ciagi
\begin text
b) Oblicz granic« ci©gu  
\cr
     1+2+...+n
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
         n¾
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct 1/2
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 1
Korzystamy ze wzoru:
\half
                 n(n+1)
     1+2+...+n = ÈÈÈÈÈÈ .
                   2
\cr
\full
\next
\lose 2
Mamy:
\half
          n(n+1)   n¾+n 
     aØ = ÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈ .
            2n¾     2n¾     
\cr
\full
Dziel©c licznik i mianownik przez n¾ i przechodz©c z n do niesko­czono¯ci
mamy odpowied°.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Ci©gi
\begin text
Zbadaj monotoniczno¯ª i granic« ci©gu 
\cr
     3+5+...+(2n+1)
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
           n¾
\end text
\begin question
\globalexit
\title Ciagi
\begin text
a) Zbadaj monotoniczno¯ª ci©gu  
\cr
     3+5+...+(2n+1)
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
           n¾
\cr 
Podaj jako odpowied°: 1 gdy jest rosn©cy, 2 gdy malej©cy, a 3,
gdy nie jest monotoniczny.
\end text
\points 4
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct 2
\end answer
\begin help
\lose 1
Obliczamy r®±nic« dw®ch kolejnych wyraz®w i badamy jej znak.
\next
\lose 1
Przyda si« wz®r na sum« ci©gu arytmetycznego (n wyraz®w): 
\half
                      n(2n+4)
     3+5+...+(2n+1) = ÈÈÈÈÈÈÈ = n(n+2).
                         2
\cr
\full
\next
\lose 1
Mamy:
\half
               (n+1)(n+3)   n(n+2)    n¾(n¾+4n+3)-(n+1)¾(n¾+2n) 
     aØÝÉ-aØ = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ - ÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ  .
                 (n+1)¾       n¾           n¾(n+1)¾
\cr
\full
Mianownik jest dodatni, wi«c decyduje znak licznika. 
Po pracowitym wymno±eniu du±o si« upro¯ci.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title Ciagi
\begin text
b) Oblicz granic« ci©gu  
\cr
     3+5+...+(2n+1)
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
          n¾
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct 1
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 1
Korzystamy ze wzoru:
\cr
     3+5+...+(2n+1) = n(n+2).
\cr
\next
\lose 2
Mamy:
\half
          n(n+2)   n¾+2n 
     aØ = ÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈ .
            n¾       n¾     
\cr
\full
Dziel©c licznik i mianownik przez n¾ i przechodz©c z n do niesko­czono¯ci
mamy odpowied°.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Ci©gi
\begin text
Zbadaj monotoniczno¯ª i granic« ci©gu 
\cr
     2+4+...+2n
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
         n¾
\end text
\begin question
\globalexit
\title Ciagi
\begin text
a) Zbadaj monotoniczno¯ª ci©gu  
\cr
     2+4+...+2n
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
         n¾
\cr 
Podaj jako odpowied°: 1 gdy jest rosn©cy, 2 gdy malej©cy, a 3,
gdy nie jest monotoniczny.
\end text
\points 4
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct 2
\end answer
\begin help
\lose 1
Obliczamy r®±nic« dw®ch kolejnych wyraz®w i badamy jej znak.
\next
\lose 1
Przyda si« wz®r na sum« ci©gu arytmetycznego (n wyraz®w): 
\half
                  n(2n+2)
     2+4+...+2n = ÈÈÈÈÈÈÈ = n(n+1).
                     2
\cr
\full
\next
\lose 1
Mamy:
\half
               (n+1)(n+2)   n(n+1)    n(n+2)-(n+1)¾ 
     aØÝÉ-aØ = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ - ÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
                 (n+1)¾       n¾          n(n+1)
\cr
\full
Mianownik jest dodatni, wi«c decyduje znak licznika. 
Po pracowitym wymno±eniu du±o si« upro¯ci.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title Ciagi
\begin text
b) Oblicz granic« ci©gu  
\cr
     2+4+...+2n
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
         n¾
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct 1
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 1
Korzystamy ze wzoru:
\cr
     2+4+...+2n = n(n+1).
\cr
\next
\lose 2
Mamy:
\half
          n(n+1)   n¾+n 
     aØ = ÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈ .
            n¾      n¾     
\cr
\full
Dziel©c licznik i mianownik przez n¾ i przechodz©c z n do niesko­czono¯ci
mamy odpowied°.
\end help
\end question
\end exercise
\type grc
\begin exercise
\title Wielomiany, r®wnania, granice ci©g®w
\begin text
Pierwiastek r®wnania 
       x      2x
   12Ô2  - (À)   = 2 
oraz granica ci©gu (2+4+...+2n)/(1+n+n¾/3)
                                            3   2  
s© miejscami zerowymi wielomianu   w(x) = ax -9x +4x+b. 
Wyznacz a i b.
\end text
\begin question
\globalexit
\title R®wnania wyk¬adnicze
\begin text
a) Rozwi©± r®wnanie 
\cr
       x      2x
   12Ô2  - (À)   = 2.
\cr
Podaj wszystkie pierwiastki, np. 1,2/3,-6
\end text
\points 10 
\begin answer
\length 10
\wrong 3
\correct -1
\evaluate
\end answer
\begin help
\firstfree
R®wnanie:
\half
               2x  
         x  ½1º
     12Ô2 -  È    = 2.
            ¼2»
\cr
ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
\cr
\full
\next
\lose 2
Podstawiamy
\half 
            x
     t = (À) .
\cr
\full
\next
\lose 1
Mamy 
\half
      x      -1Ôx    -1   1
     2  = (À)     = t   = È .
                          t
\cr
\full
\next
\lose 1
Otrzymujemy nast«puj©ce r®wnanie na t:
     t¿+2t-12 = 0.
\next
\lose 1
Odgadujemy jeden pierwiastek w¯r®d dzielnik®w liczby 12:
\next
\lose 1
     t = 2.
\next
\lose 2
Dzielimy wielomian przez (t-2) i dostajemy wielomian t¾+2t+6,
kt®ry nie ma miejsc zerowych.
\next
\lose 1
\half
                     x
Wracamy do x: 2 = (À) , odgadnij x.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\disabled
\title Granice ci©g®w
\begin text
b) Wyznacz granic« ci©gu
\cr
     2+4+6+...+2n
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
       1+n+n¾/3
\end text
\points 8 
\begin answer
\length 5
\wrong 3
\correct 3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Licznik to suma ci©gu arytmetycznego: wyraz pierwszy 2,
r®±nica 2, wyraz ostatni 2n (czyli ilo¯ª wyraz®w to n).
\next
\lose 1
Wz®r na sum« daje À(2+2n)n = n¾+n.
\next
\lose 1
Badamy granic« ilorazu:
\half
       n¾+n
     ÈÈÈÈÈÈÈ .
     1+n+Ân¾
\cr
\full
\next
\lose 2
Dzielimy licznik i mianownik przez n¾ i przechodzimy z n do 
niesko­czono¯ci:
\half
           1
       1 + È
           n
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
     1    1   1
     ÈÈ + È + È
     n¾   n   3
\cr
\full
\next
\lose 1
Korzystamy z tego, ±e 1/n i 1/n¾ zmierzaj© do zera, oraz z twierdze­ o 
granicy sumy i ilorazu ci©g®w zbie±nych.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title Wielomiany
\begin text
c) Liczby -1 i 3 s© miejscami zerowymi wielomianu
\cr
              3     2
     w(x) = ax  - 9x  + 4x + b.
\cr
Wyznacz a i b (wynik podaj w postaci a,b, np. 2,3).
\end text
\points 4
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 2,15
\end answer
\begin help
\lose 1
Mamy w(-1) = 0, w(3) = 0.
\next 
\lose 2
Czyli po podstawieniu -1, 3 za x otrzymujemy:
      -a+b = 13,
     27a+b = 69.
Rozwi©zujemy (bez trudu).
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Wielomiany, r®wnania, granice ci©g®w
\begin text
Pierwiastek r®wnania 
      2x     x
   3Ô2  - (À)  = 2
oraz granica ci©gu (1+3+...+(2n+1))/(1+n+2n¾)
                                               3   2
s© miejscami zerowymi wielomianu      w(x) = ax -9x +4x+b. 
Wyznacz a i b.
\end text
\begin question
\globalexit
\title R®wnania wyk¬adnicze
\begin text
a) Rozwi©± r®wnanie 
\cr
       2x     x
    3Ô2  - (À)  = 2.
\cr
Podaj wszystkie pierwiastki, np. 1,2/3,-6
\end text
\points 10 
\begin answer
\length 10
\wrong 3
\correct 0
\evaluate
\end answer
\begin help
\firstfree
R®wnanie:
\half
                x  
        2x   ½1º
     3Ô2   -  È    = 2.
             ¼2»
\cr
ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
\cr
\full
\next
\lose 2
Podstawiamy
\half 
          x
     t = 2 .
\cr
\full
\next
\lose 1
Mamy 
\half
       x   1    1     2x       2    2
    (À)  = ÈÈ = È,   2   = (2×)  = t .
           2×   t
\cr
\full
\next
\lose 1
Otrzymujemy nast«puj©ce r®wnanie na t:
     3t¿-2t-1 = 0.
\next
\lose 1
Odgadujemy jeden pierwiastek w¯r®d dzielnik®w wyrazu wolnego:
\next
\lose 1
     t = 1.
\next
\lose 2
Dzielimy wielomian przez (t-1) i dostajemy wielomian 3t¾+3t+1,
kt®ry nie ma miejsc zerowych.
\next
\lose 1
\half
                   x
Wracamy do x: 1 = 2 , odgadnij x.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\disabled
\title Granice ci©g®w
\begin text
b) Wyznacz granic« ci©gu
\cr
     1+3+5+...+(2n+1)
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
          1+n+2n¾
\end text
\points 8 
\begin answer
\length 5
\wrong 3
\correct 1/2
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Licznik to suma ci©gu arytmetycznego: wyraz pierwszy 1,
r®±nica 2, wyraz ostatni 2n+1 (ilo¯ª wyraz®w to n+1).
\next
\lose 1
Wz®r na sum« daje À(1+2n+1)(n+1) = (n+1)¾.
\next
\lose 1
Badamy granic« ilorazu:
\half
     n¾+2n+1
     ÈÈÈÈÈÈÈ .
     1+n+2n¾
\cr
\full
\next
\lose 2
Dzielimy licznik i mianownik przez n¾ i przechodzimy z n do 
niesko­czono¯ci:
\half
         2    1
     1 + È + ÈÈ
         n   n¾
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
     1    1   
     ÈÈ + È + 2
     n¾   n   
\cr
\full
\next
\lose 1
Korzystamy z tego, ±e 1/n i 1/n¾ zmierzaj© do zera, oraz z twierdze­ o 
granicy sumy i ilorazu ci©g®w zbie±nych.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title Wielomiany
\begin text
c) Liczby 0 i 1/2 s© miejscami zerowymi wielomianu
\cr
              3     2
     w(x) = ax  - 9x  + 4x + b.
\cr
Wyznacz a i b (wynik podaj w postaci a,b, np. 2,3).
\end text
\points 4
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 2,0
\end answer
\begin help
\lose 1
Mamy w(0) = 0, w(1/2) = 0.
\next 
\lose 2
Czyli po podstawieniu 0, 1/2 za x otrzymujemy:
     b = 0,
     (1/8)a-9/4+2 = 0.
Rozwi©zujemy (bez trudu).
\end help
\end question
\end exercise
\type grc
\begin exercise
\title Granica ci©gu, logarytmy
\begin text
Niech ci©g spe¬nia warunki:
\cr
  log x = -2, log x   -log x = -2.
     2 1         2 n+1    2 n
\cr
Obliczyª granic« ci©gu x +x +...+x .
                        1  2      n
\end text
\begin question
\title Granica ci©gu, logarytmy
\begin text
Niech ci©g spe¬nia warunki:
\cr
  log x = -2, log x   -log x = -2.
     2 1         2 n+1    2 n
\cr
Obliczyª granic« ci©gu x +x +...+x .
                        1  2      n
\cr
Pierwsza (darmowa) wskaz®wka zawiera "¬adniejsz©" form« zadania.
\end text
\points 8
\begin answer
\length 10
\wrong 3
\correct 1/3
\evaluate
\end answer
\begin help
\firstfree
\half
Niech ci©g spe¬nia warunki:
\cr
     logÊ(xÉ) = -2, 
\cr
     logÊ(xØÝÉ)-logÊ(xØ) = -2.
\cr
Obliczyª granic« ci©gu
\cr
   xÉ + xÊ +...+ xØ .
\cr
ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
\cr
\full
\next
\lose 2
Obliczamy najpierw pierwszy wyraz: 
\half
          -2   1
     xÉ= 2   = È .
               4
\cr
\full
\next
\lose 2
Z drugiego warunku mamy:
\half
                             xØÝÉ 
     log xØÝÉ - log xØ = log ÈÈÈÈ = -2,
        2          2        2 xØ
\cr
\full
\next 
\lose 3
czyli xØÝÉ/xØ = 1/4: jest to ci©g geometryczny o ilorazie 1/4.
Jego suma to
\half
       xÉ
     ÈÈÈÈÈ = ...
     1-1/4
\full
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Granica ci©gu, logarytmy
\begin text
Niech ci©g spe¬nia warunki:
\cr
  log x = -1, log x   -log x = -2.
     3 1         3 n+1    3 n
\cr
Obliczyª granic« ci©gu x +x +...+x .
                        1  2      n
\end text
\begin question
\title Granica ci©gu, logarytmy
\begin text
Niech ci©g spe¬nia warunki:
\cr
  log x = -1, log x   -log x = -2.
     3 1         3 n+1    3 n
\cr
Obliczyª granic« ci©gu x +x +...+x .
                        1  2      n
\cr
Pierwsza (darmowa) wskaz®wka zawiera "¬adniejsz©" form« zadania.
\end text
\points 8
\begin answer
\length 10
\wrong 3
\correct 3/8
\evaluate
\end answer
\begin help
\firstfree
\half
Niech ci©g spe¬nia warunki:
\cr
     log xÉ = -1, 
        3
\cr
     log (xØÝÉ)-log (xØ) = -2.
        3          3
\cr
Obliczyª granic« ci©gu
\cr
   xÉ + xÊ +...+ xØ .
\cr
ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
\cr
\full
\next
\lose 2
Obliczamy najpierw pierwszy wyraz: 
\half
          -1   1
     xÉ= 3   = È .
               3
\cr
\full
\next
\lose 2
Z drugiego warunku mamy:
\half
                             xØÝÉ 
     log xØÝÉ - log xØ = log ÈÈÈÈ = -2,
        3          3        3 xØ
\cr
\full
\next 
\lose 3
czyli xØÝÉ/xØ = 1/9: jest to ci©g geometryczny o ilorazie 1/9.
Jego suma to
\half
       xÉ
     ÈÈÈÈÈ = ...
     1-1/9
\full
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Granica ci©gu, logarytmy
\begin text
Niech ci©g spe¬nia warunki:
\cr
  log x = -1, log x   -log x = -3.
     2 1         2 n+1    2 n
\cr
Obliczyª granic« ci©gu x +x +...+x .
                        1  2      n
\end text
\begin question
\title Granica ci©gu, logarytmy
\begin text
Niech ci©g spe¬nia warunki:
\cr
  log x = -1, log x   -log x = -3.
     2 1         2 n+1    2 n
\cr
Obliczyª granic« ci©gu x +x +...+x .
                        1  2      n
\cr
Pierwsza (darmowa) wskaz®wka zawiera "¬adniejsz©" form« zadania.
\end text
\points 8
\begin answer
\length 10
\wrong 3
\correct 4/7
\evaluate
\end answer
\begin help
\firstfree
\half
Niech ci©g spe¬nia warunki:
\cr
     logÊ(xÉ) = -1,
\cr
     logÊ(xØÝÉ)-logÊ(xØ) = -3.
\cr
Obliczyª granic« ci©gu
\cr
   xÉ + xÊ +...+ xØ .
\cr
ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
\cr
\full
\next
\lose 2
Obliczamy najpierw pierwszy wyraz: 
\half
          -1   1
     xÉ= 2   = È .
               2
\cr
\full
\next
\lose 2
Z drugiego warunku mamy:
\half
                             xØÝÉ 
     log xØÝÉ - log xØ = log ÈÈÈÈ = -3,
        2          2        2 xØ
\cr
\full
\next 
\lose 3
czyli xØÝÉ/xØ = 1/8: jest to ci©g geometryczny o ilorazie 1/8.
Jego suma to
\half
       xÉ
     ÈÈÈÈÈ = ...
     1-1/8
\full
\end help
\end question
\end exercise
\type grc
\begin exercise
\title Granica ci©gu, logarytmy
\begin text
Dla jakiej warto¯ci p granica ci©gu
\cr
       2pn¾-n
  a = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
   n  (p-1)n¾+n
\cr
to wi«ksze z rozwi©za­ r®wnania
            x-2             x-2
  log2+log(4   +9) = 1+log(2   +1).
\end text
\begin question
\title Granica ci©gu, logarytmy
\begin text
Dla jakiej warto¯ci p granica ci©gu
\cr
       2pn¾-n
  a = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
   n  (p-1)n¾+n
\cr
to wi«ksze z rozwi©za­ r®wnania
            x-2             x-2
  log2+log(4   +9) = 1+log(2   +1).
\end text
\points 12
\begin answer
\length 10
\wrong 3
\correct 2
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Najpierw rozwi©zujemy r®wnanie. Korzystaj©c ze wzor®w o logarytmach mamy:
\half
        x-2          x-2
     2(4   +9) = 10(2   +1).
\cr
\next
\lose 1
        x  -2          x  -2
     2Ô4 Ô4  +18 = 10Ô2 Ô2  +10.
\next
\lose 2
\cr
Podstawiamy t = 2×  i mamy nast«puj©ce r®wnanie (4× = t¾):
\cr
     t¾        5
     È  + 18 = È t + 10,   
     8         2
\cr
     t¾-20t+64 = 0.
\cr
\full
\next 
\lose 1
Rozwi©zania to x = 2 i x = 4, wybieramy wi«ksze.
\next
\lose 2
\cr
Obliczamy granic« ci©gu: dzielimy licznik i mianownik przez n¾.
\next
\lose 2
\half
            1
       2p - È
            n               2p
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ  zmierza do ÈÈÈ = 4; ¬atwo wyliczamy p.
             1              p-1
     (p-1) + È
             n
\full
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Granica ci©gu, logarytmy
\begin text
Dla jakiej warto¯ci p granica ci©gu
\cr
        pn¾-n
  a = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
   n  (2p-1)n¾+n
\cr
to mniejsze z rozwi©za­ r®wnania
            x-2             x-2
  log2+log(4   +9) = 1+log(2   +1).
\end text
\begin question
\title Granica ci©gu, logarytmy
\begin text
Dla jakiej warto¯ci p granica ci©gu
\cr
        pn¾-n
  a = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
   n  (2p-1)n¾+n
\cr
to mniejsze z rozwi©za­ r®wnania
            x-2             x-2
  log2+log(4   +9) = 1+log(2   +1).
\end text
\points 12
\begin answer
\length 10
\wrong 3
\correct 2/3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Najpierw rozwi©zujemy r®wnanie. Korzystaj©c ze wzor®w o logarytmach mamy:
\half
        x-2          x-2
     2(4   +9) = 10(2   +1),
\cr
\next
\lose 1
        x  -2          x  -2
     2Ô4 Ô4  +18 = 10Ô2 Ô2  +10.
\next
\lose 2
\cr
Podstawiamy t = 2×  i mamy nast«puj©ce r®wnanie (4× = t¾):
\cr
     t¾        5
     È  + 18 = È t + 10,   
     8         2
\cr
     t¾-20t+64 = 0.
\cr
\full
\next 
\lose 1
Rozwi©zania to x = 2 i x = 4, wybieramy mniejsze.
\next
\lose 2
\cr
Obliczamy granic« ci©gu: dzielimy licznik i mianownik przez n¾.
\next
\lose 2
\half
            1
        p - È
            n                p
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ  zmierza do ÈÈÈÈ = 2; ¬atwo wyliczamy p.
             1              2p-1
      2p-1 + È
             n
\full
\end help
\end question
\end exercise