\type fwm
\title Funkcje wymierne
\begin exercise
\title Dziedzina funkcji logarytmicznej
\begin text
Wyznacz dziedzin« i miejsca zerowe funkcji
\cr
            x¾-4
   y = log ÈÈÈÈÈ .
           x¾-3x
\end text
\begin question
\globalexit
\title Dziedzina funkcji logarytmicznej
\begin text
a) Wyznacz dziedzin« funkcji
\cr
            x¾-4
   y = log ÈÈÈÈÈ .
           x¾-3x
\cr
Podaj opowied° w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, 
np. (-Ö,1/4>U(3,+Ö)
\end text
\points 8 
\begin answer
\length 30
\wrong 2
\correct (-Ö,-2)U(0,2)U(3,+Ö)
\correct (-Ö,-2)U(0,2)U(3,Ö)
\end answer
\begin help
\lose 1
Wyra±enie pod logarytmem musi byª dodatnie, a mianownik u¬amka r®±ny od zera.
\next
\lose 1
\cr
     x Ë 3, x Ë 0 oraz
\half
     x¾-4
     ÈÈÈÈÈ > 0.
     x¾-3x
\cr
\full
\next
\lose 1
Iloraz ma taki sam znak jak iloczyn wi«c rozwi©zujemy nier®wno¯ª:
\cr
     (x¾-4)(x¾-3x) > 0.
\cr
\next
\lose 1
Rozk¬adamy tr®jmiany na czynniki:
\cr
     (x-2)(x+2)x(x-3) > 0
\cr
i rysujemy szkicowy wykres funkcji z lewej strony nier®wno¯ci.
\next
\lose 2
\cls
\window 2,2,78,23
Wykres funkcji (x-2)(x+2)x(x-3) 
\window 10,3,40,13
\scale -10,-13,10,10
\poly4 1,-3,-4,12,0
\window 2,13,78,23
\next
\lose 1
Odczytujemy z wykresu rozwi©zanie nier®wno¯ci (x-2)(x+2)x(x-3) > 0.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title R®wnanie logarytmiczne
\begin text
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji
\cr
            x¾-4
   y = log ÈÈÈÈÈ .
           x¾-3x
\end text
\points 3
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 4/3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 1
Musimy rozwi©zaª r®wnanie 
\half
         x¾-4
     log ÈÈÈÈÈ = 0.
         x¾-3x
\cr
\next
\lose 1
\cr
     x¾-4
     ÈÈÈÈÈ = 1,  czyli x¾-4 = x¾-3x; ¬atwo rozwi©±esz.
     x¾-3x
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Dziedzina funkcji logarytmicznej
\begin text
Wyznacz dziedzin« i miejsca zerowe funkcji
\cr
            x¾-1
   y = log ÈÈÈÈÈ .
           x¾-4x
\end text
\begin question
\globalexit
\title Dziedzina funkcji logarytmicznej
\begin text
a) Wyznacz dziedzin« funkcji
\cr
            x¾-1
   y = log ÈÈÈÈÈ .
           x¾-4x
\cr
Podaj opowied° w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, 
np. (-Ö,1/4>U(3,+Ö)
\end text
\points 8 
\begin answer
\length 30
\wrong 2
\correct (-Ö,-1)U(0,1)U(4,+Ö)
\correct (-Ö,-1)U(0,1)U(4,Ö)
\end answer
\begin help
\lose 1
Wyra±enie pod logarytmem musi byª dodatnie, a mianownik u¬amka r®±ny od zera.
\next
\lose 1
\cr
     x Ë 4, x Ë 0 oraz
\half
     x¾-1
     ÈÈÈÈÈ > 0.
     x¾-4x
\cr
\full
\next
\lose 1
Iloraz ma taki sam znak jak iloczyn, wi«c rozwi©zujemy nier®wno¯ª:
\cr
     (x¾-1)(x¾-4x) > 0.
\cr
\next
\lose 1
Rozk¬adamy tr®jmiany na czynniki:
\cr
     (x-1)(x+1)x(x-4) > 0
\cr
i rysujemy szkicowy wykres funkcji z lewej strony nier®wno¯ci.
\next
\lose 2
\cls
\window 2,2,78,23
Wykres funkcji (x-1)(x+1)x(x-4)
\window 10,3,40,13
\scale -10,-21,10,10
\poly4 1,-4,-1,4,0
\window 2,13,78,23
\next
\lose 1
Odczytujemy z wykresu rozwi©zanie nier®wno¯ci (x-1)(x+1)x(x-4) > 0.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title R®wnanie logarytmiczne
\begin text
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji
\cr
            x¾-1
   y = log ÈÈÈÈÈ .
           x¾-4x
\end text
\points 3
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 1/4
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 1
Musimy rozwi©zaª r®wnanie 
\half
         x¾-1
     log ÈÈÈÈÈ = 0.
         x¾-4x
\cr
\next
\lose 1
\cr
     x¾-1
     ÈÈÈÈÈ = 1,  czyli x¾-1 = x¾-4x; ¬atwo rozwi©±esz.
     x¾-4x
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Dziedzina funkcji logarytmicznej
\begin text
Wyznacz dziedzin« i miejsca zerowe funkcji
\cr
           4x¾-1
   y = log ÈÈÈÈÈ .
           x¾-2x
\end text
\begin question
\globalexit
\title Dziedzina funkcji logarytmicznej
\begin text
a) Wyznacz dziedzin« funkcji
\cr
           4x¾-1
   y = log ÈÈÈÈÈ .
           x¾-2x
\cr
Podaj opowied° w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, 
np. (-Ö,1/4>U(3,+Ö)
\end text
\points 8 
\begin answer
\length 30
\wrong 2
\correct (-Ö,-1/2)U(0,1/2)U(2,+Ö)
\correct (-Ö,-1/2)U(0,1/2)U(2,Ö)
\end answer
\begin help
\lose 1
Wyra±enie pod logarytmem musi byª dodatnie, a mianownik u¬amka r®±ny od zera.
\next
\lose 1
\cr
     x Ë 2, x Ë 0 oraz
\half
     4x¾-1
     ÈÈÈÈÈ > 0.
     x¾-2x
\cr
\full
\next
\lose 1
Iloraz ma taki sam znak jak iloczyn, wi«c rozwi©zujemy nier®wno¯ª:
\cr
     (4x¾-1)(x¾-2x) > 0.
\cr
\next
\lose 1
Po podzieleniu przez 4, rozk¬adamy tr®jmiany na czynniki:
\cr
     (x-À)(x+À)x(x-2) > 0
\cr
i rysujemy szkicowy wykres funkcji z lewej strony nier®wno¯ci.
\next
\lose 2
\cls
\window 2,2,78,23
Wykres funkcji (x-À)(x+À)x(x-2) 
\window 10,3,40,13
\scale -4,-4,4,4
\poly4 1,-2,-0.25,0.5,0
\window 2,13,78,23
\next
\lose 1
Odczytujemy z wykresu rozwi©zanie nier®wno¯ci (x-À)(x+À)x(x-2) > 0.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title R®wnanie logarytmiczne
\begin text
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji
\cr
           4x¾-1
   y = log ÈÈÈÈÈ .
           x¾-2x
\end text
\points 3
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct -1,1/3
\correct 1/3,-1
\end answer
\begin help
\lose 1
Musimy rozwi©zaª r®wnanie 
\half
         4x¾-1
     log ÈÈÈÈÈ = 0.
         x¾-2x
\cr
\next
\lose 1
\cr
     4x¾-1
     ÈÈÈÈÈ = 1,  czyli  4x¾-1 = x¾-2x; 3x¾+2x-1 = 0, ¬atwo rozwi©±esz.
     x¾-2x
\cr
Sprawd°, czy rozwi©zania nale±© do dziedziny.
\end help
\end question
\end exercise
\type fwm
\begin exercise
\title Zadania na ekstremum
\begin text
\cont
Powierzchnia zadrukowanej cz«¯ci kartki ma wynosiª 1536cm¾.
Marginesy boczne maj© wynosiª po 4 cm, a g®rny i dolny po 6cm.
Jakie powinny byª wymiary afisza, aby zu±yª najmniej papieru.
\end text
\begin question
\title Zadania na ekstremum 
\begin text
Powierzchnia zadrukowanej cz«¯ci kartki ma wynosiª 1536cm¾.
Marginesy boczne maj© wynosiª po 4 cm, a g®rny i dolny po 6cm.
Jakie powinny byª wymiary afisza, aby zu±yª najmniej papieru.
\cr
Podaj wymiary afisza w cm, np. 30,45
\end text
\points 9
\begin answer
\length 15
\wrong 2
\correct 40,60
\correct 60,40
\end answer
\begin help
\lose 1
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\draw 1,1,1,9
\draw 1,1,9,1
\draw 1,9,9,9
\draw 9,1,9,9
\draw 2,3,8,3
\draw 2,3,2,7
\draw 8,3,8,7
\draw 2,7,8,7
\text 5,3,x
\text 2.3,4.5,y
\window 2,10,78,23
Oznaczmy przez x,y wymiary cz«¯ci zadrukowanej.
\next
\lose 2
     xÔy = 1536.
Wyliczamy y.
\next
\lose 2
Pole arkusza:
\half
               1536
     P = (x+8)(ÈÈÈÈ + 12).
                 x
\cr
\next
\lose 1
Obliczamy pochodn©: 
\cr
\cr
                 12288
     P'(x) = 12- ÈÈÈÈÈ .
                   x¾
\cr
\full
\next
\cls
\lose 1
     P'(x) = 0 gdy  x = ...
\next
\lose 1
Szeroko¯ª afisza wynosi x+8 = .., obliczamy y i d¬ugo¯ª.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Zadania na ekstremum
\begin text
\cont
Powierzchnia zadrukowanej cz«¯ci kartki ma wynosiª 384cm¾.
Marginesy boczne maj© wynosiª po 2 cm, a g®rny i dolny po 3 cm.
Jakie powinny byª wymiary afisza, aby zu±yª najmniej papieru.
\end text
\begin question
\title Zadania na ekstremum 
\begin text
Powierzchnia zadrukowanej cz«¯ci kartki ma wynosiª 384cm¾.
Marginesy boczne maj© wynosiª po 2 cm, a g®rny i dolny po 3cm.
Jakie powinny byª wymiary afisza, aby zu±yª najmniej papieru.
\cr
Podaj wymiary afisza w cm, np. 30,45
\end text
\points 9
\begin answer
\length 15
\wrong 2
\correct 20,30
\correct 30,20
\end answer
\begin help
\lose 1
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\draw 1,1,1,9
\draw 1,1,9,1
\draw 1,9,9,9
\draw 9,1,9,9
\draw 2,3,8,3
\draw 2,3,2,7
\draw 8,3,8,7
\draw 2,7,8,7
\text 5,3,x
\text 2.3,4.5,y
\window 2,10,78,23
Oznaczmy przez x,y wymiary cz«¯ci zadrukowanej.
\next
\lose 2
     xÔy = 384.
Wyliczamy y.
\next
\lose 2
Pole arkusza:
\half
               384
     P = (x+4)(ÈÈÈ + 6).
                x
\cr
\next
\lose 1
Obliczamy pochodn©:
\cr
\cr
                 1536
     P'(x) = 6 - ÈÈÈÈ .
                  x¾
\cr
\full
\next
\cls
\lose 1
     P'(x) = 0 gdy  x = ...
\next
\lose 1
Szeroko¯ª afisza wynosi x+4 = .., obliczamy y i d¬ugo¯ª.
\end help
\end question
\end exercise
\type fwm
\begin exercise
\title R®wnanie z parametrem
\begin text
Oblicz pierwiastki r®wnania
\cr
  x-m    2x+m   2-m-7x¾
  ÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈ ,
  4-6x   2x+1   6x¾-x-2
\cr
kt®re s© o 2 wi«ksze od m.
\end text
\begin question
\title R®wnanie z parametrem
\begin text
Oblicz pierwiastki r®wnania
\cr
  x-m    2x+m   2-m-7x¾
  ÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈ ,
  4-6x   2x+1   6x¾-x-2
\cr
kt®re s© o 2 wi«ksze od m.
\end text
\points 8
\begin answer
\length 20
\wrong 2
\correct 1,4.5
\correct 4.5,1
\correct 1,9/2
\correct 9/2,1
\end answer
\begin help
\lose 1
Najpierw zak¬adamy, ±e 4-6x Ë 0, 2x+1 Ë 0, 6x¾-x-2 Ë 0.
\next
\lose 1
W tym celu rozwi©zujemy r®wnanie 6x¾-x-2 = 0, Ä = 1+48 = 49, 
     xÉ = -À, xÊ = 2/3. 
Zauwa±amy, ±e s© to te± miejsca zerowe pozosta¬ych mianownik®w i mamy
     -2(6x¾-x-2) = (4-6x)(2x+1).
\next
\lose 1
Mno±ymy obie strony przez (4-6x)(2x+1):
     (x-m)(2x+1)-(2x+m)(4-6x) = -2(2-m-7x¾).
\next
\lose 2
Podstawiamy m = x-2:
     2(2x+1)-(3x-2)(4-6x) = -2(-7x¾-x+4).
\next
\lose 1
Po przekszta¬ceniach mamy r®wnanie:
     2x¾-11x+9 = 0.
\next
\lose 1
     Ä = 121-72 = 49, xÉ = (11+7)/4 = ... xÊ = ...
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title R®wnanie z parametrem
\begin text
Oblicz pierwiastki r®wnania
\cr
  x-m     x+m   -28.5-9m+3x¾
  ÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ ,
  4x-2   3x+2     2-x-6x¾
\cr
kt®re s© o 3 wi«ksze od m.
\end text
\begin question
\title R®wnanie z parametrem
\begin text
Oblicz pierwiastki r®wnania
\cr
  x-m    x+m    -28.5-9m+3x¾
  ÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ ,
  4x-2   3x+2     2-x-6x¾
\cr
kt®re s© o 3 wi«ksze od m.
\end text
\points 8
\begin answer
\length 20
\wrong 2
\correct 3
\end answer
\begin help
\lose 1
Najpierw zak¬adamy, ±e 4x-2 Ë 0, 3x+2 Ë 0, 2-x-6x¾ Ë 0.
\next
\lose 1
W tym celu rozwi©zujemy r®wnanie -6x¾-x+2 = 0, Ä = 1+48 = 49, 
     xÉ = À, xÊ = -2/3. 
Zauwa±amy, ±e s© to te± miejsca zerowe pozosta¬ych mianownik®w i mamy
     -2(-6x¾-x+2) = (4x-2)(3x+2).
\next
\lose 1
Mno±ymy obie strony przez (4x-2)(3x+2):
     (x-m)(3x+2)-(x+m)(4x-2) = -2(-28.5-9m+3x¾).
\next
\lose 2
Podstawiamy m = x-3:
     3(3x+2)-(2x-3)(4x-2) = -2(-28.5-9x+27+3x¾).
\next
\lose 1
Po przekszta¬ceniach mamy r®wnanie:
     -2x¾+7x-3 = 0.
\next
\lose 1
     Ä = 49-24 = 25, xÉ = (-7-5)/(-4) = ... xÊ = ...
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title R®wnanie z parametrem
\begin text
Oblicz pierwiastki r®wnania
\cr
  x-m+2   2x+m   x¾-m-1
  ÈÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈ ,
   x-1    2x+3   3-x-2x¾
\cr
kt®re s© o 1 mniejsze od m.
\end text
\begin question
\title R®wnanie z parametrem
\begin text
Oblicz pierwiastki r®wnania
\cr
  x-m+2   2x+m   x¾-m-1
  ÈÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈ ,
   x-1    2x+3   3-x-2x¾
\cr
kt®re s© o 1  mniejsze od m.
\end text
\points 8
\begin answer
\length 20
\wrong 2
\correct 2,-0.5
\correct -0.5,2
\correct 2,-1/2
\correct -1/2,2
\end answer
\begin help
\lose 1
Najpierw zak¬adamy, ±e x-1 Ë 0, 2x+3 Ë 0, 3-x-2x¾ Ë 0.
\next
\lose 1
W tym celu rozwi©zujemy r®wnanie -2x¾-x+3 = 0, Ä = 1+24 = 25, 
     xÉ = 1, xÊ = -3/2. 
Zauwa±amy, ±e s© to te± miejsca zerowe pozosta¬ych mianownik®w i mamy
     -(3-x-2x¾) = (x-1)(2x+3).
\next
\lose 1
Mno±ymy obie strony przez (x-1)(2x+3):
     (x-m+2)(2x+3)-(2x+m)(x-1) = -(x¾-m-1).
\next
\lose 2
Podstawiamy m = x+1:
     (2x+3)-(3x+1)(x-1) = -x¾+x+2.
\next
\lose 1
Po przekszta¬ceniach mamy r®wnanie:
     -2x¾+3x+2 = 0.
\next
\lose 1
     Ä = 9+16 = 25, xÉ = (-3-5)/(-4) = ... xÊ = ...
\end help
\end question
\end exercise
\type fwm
\begin exercise
\title Nier®wno¯ci wymierne
\begin text
Rozwi©± nier®wno¯ª
\cr
  3x¾+4x-4
  ÈÈÈÈÈÈÈÈ Ç 1.
   x¾+x-2
\end text
\begin question
\title Nier®wno¯ci wymierne
\begin text
Rozwi©± nier®wno¯ª
\cr
  3x¾+4x-4
  ÈÈÈÈÈÈÈÈ Ç 1.
   x¾+x-2
\cr
Podaj opowied° w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, 
np. (-Ö,1/4>U(3,+Ö)
\end text
\points 10 
\begin answer
\length 30
\wrong 2
\correct (-Ö,-2)U(-2,1/2>U(1,+Ö)
\correct (-Ö,-2)U(-2,1/2>U(1,Ö)
\end answer
\begin help
\lose 1
Najpierw za¬o±enia, aby u¬amek mia¬ sens:
\next
\lose 1
\cr
     x¾+x-2 Ë 0; Ä = 1+8 = 9; xÉ = -2, xÊ = 1
     x Ë -2, x Ë 1.
\cr
\next
\lose 1
Przenosimy 1 na lew© stron« i sprowadzamy do wsp®lnego mianownika.
\next
\lose 1
\half
\cr
     2x¾+3x-2
     ÈÈÈÈÈÈÈÈ  Ç 0.
      x¾+x-2
\cr
\cr
\full
\next
\lose 1
Iloraz ma taki sam znak jak iloczyn, wi«c rozwi©zujemy nier®wno¯ª:
\cr
   (2x¾+3x-2)(x¾+x-2) Ç 0.
\next
\lose 1
\cr
Rozk¬adamy dwumiany na czynniki:
     2x¾+3x-2 = 2(x+2)(x-À),
      x¾+ x-2 =  (x+2)(x-1),
\cr
     (x+2)¾(x-1)(x-À) Ç 0.
\next
\lose 1
\cls
\cr
Wyra±enie (x+2)¾ jest zawsze dodatnie (za¬o±yli¯my, ±e x Ë -2),
wi«c mo±emy obustronnie przez nie podzieliª.
\next
\lose 1
\cls
\window 2,2,78,23
Rysujemy wykres funkcji (x-1)(x-À)
\window 10,3,40,13
\scale -2,-2,2,2
\squarefn 1,-1.5,0.5
\window 2,13,78,23
\next
\lose 1
Odczytujemy rozwi©zanie nier®wno¯ci (x-1)(x-À) Ç 0 z wykresu.
Uwzgl«dnij za¬o±enia !
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Nier®wno¯ci wymierne
\begin text
Rozwi©± nier®wno¯ª
\cr
  x¾-5x-6
  ÈÈÈÈÈÈÈ Æ -1.
  x¾+3x+2
\end text
\begin question
\title Nier®wno¯ci wymierne
\begin text
Rozwi©± nier®wno¯ª
\cr
  x¾-5x-6
  ÈÈÈÈÈÈÈ Æ -1.
  x¾+3x+2
\cr
Podaj opowied° w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, 
np. (-Ö,1/4>U(3,+Ö)
\end text
\points 10 
\begin answer
\length 30
\wrong 2
\correct (-2,-1)U(-1,2>
\end answer
\begin help
\lose 1
Najpierw za¬o±enia, aby u¬amek mia¬ sens:
\next
\lose 1
\cr
     x¾+3x+2 Ë 0; Ä = 1; xÉ = -1, xÊ = -2
     x Ë -1, x Ë -2.
\cr
\next
\lose 1
Przenosimy -1 na lew© stron« i sprowadzamy do wsp®lnego mianownika.
\next
\lose 1
\half
\cr
     2x¾-2x-4
     ÈÈÈÈÈÈÈÈ  Æ 0.
     x¾+3x+2
\cr
\cr
\full
\next
\lose 1
Iloraz ma taki sam znak jak iloczyn, wi«c rozwi©zujemy nier®wno¯ª:
\cr
     2(x¾-x-2)(x¾+3x+2) Æ 0.
\next
\lose 1
\cr
Rozk¬adamy dwumiany na czynniki:
     x¾- x-2 = (x-2)(x+1),
     x¾+3x+2 = (x+1)(x+2),
\cr
     (x+1)¾(x-2)(x+2) Æ 0.
\next
\lose 1
\cls
\cr
Wyra±enie (x+1)¾ jest zawsze dodatnie (za¬o±yli¯my, ±e x Ë -1),
wi«c mo±emy obustronnie przez nie podzieliª.
\next
\lose 1
\cls
\window 2,2,78,23
Rysujemy wykres funkcji (x-2)(x+2)
\window 10,3,40,13
\scale -5,-5,5,5
\squarefn 1,0,-4
\window 2,13,78,23
\next
\lose 1
Odczytujemy rozwi©zanie nier®wno¯ci (x-2)(x+2) Æ 0 z wykresu.
Uwzgl«dnij za¬o±enia !
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Nier®wno¯ci wymierne
\begin text
Rozwi©± nier®wno¯ª
\cr
  2x¾+2x
  ÈÈÈÈÈÈÈ Æ 1.
  x¾-x-2
\end text
\begin question
\title Nier®wno¯ci wymierne
\begin text
Rozwi©± nier®wno¯ª
\cr
  2x¾+2x
  ÈÈÈÈÈÈ Æ 1.
  x¾-x-2
\cr
Podaj opowied° w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, 
np. (-Ö,1/4>U(3,+Ö)
\end text
\points 10 
\begin answer
\length 30
\wrong 2
\correct <-2,-1)U(-1,2)
\end answer
\begin help
\lose 1
Najpierw za¬o±enia, aby u¬amek mia¬ sens:
\next
\lose 1
\cr
     x¾-x-2 Ë 0; Ä = 1+8 = 9; xÉ = 2, xÊ = -1
     x Ë 2, x Ë -1.
\cr
\next
\lose 1
Przenosimy 1 na lew© stron« i sprowadzamy do wsp®lnego mianownika.
\next
\lose 1
\half
\cr
     x¾+3x+2
     ÈÈÈÈÈÈÈ Æ 0.
      x¾-x-2
\cr
\cr
\full
\next
\lose 1
Iloraz ma taki sam znak jak iloczyn, wi«c rozwi©zujemy nier®wno¯ª:
\cr
   (x¾+3x+2)(x¾-x-2) Æ 0.
\next
\lose 1
\cr
Rozk¬adamy dwumiany na czynniki:
     x¾+3x+2 = (x+2)(x+1),
     x¾- x-2 = (x+1)(x-2),  
\cr
     (x+1)¾(x-2)(x+2) Ç 0.
\next
\lose 1
\cls
\cr
Wyra±enie (x+1)¾ jest zawsze dodatnie (za¬o±yli¯my, ±e x Ë -1),
wi«c mo±emy obustronnie przez nie podzieliª.
\next
\lose 1
\cls
\window 2,2,78,23
Rysujemy wykres funkcji (x-2)(x+2)
\window 10,3,40,13
\scale -5,-5,5,5
\squarefn 1,0,-4
\window 2,13,78,23
\next
\lose 1
Odczytujemy rozwi©zanie nier®wno¯ci (x-2)(x+2) Æ 0 z wykresu.
Uwzgl«dnij za¬o±enia !
\end help
\end question
\end exercise
\type fwm
\begin exercise
\title Nier®wno¯ci wymierne
\begin text
Rozwi©± nier®wno¯ª
\cr
     1       1
  ÈÈÈÈÈÈÈ Æ ÈÈÈ .
  x(x¾-1)   ÏxÏ
\end text
\begin question
\title Nier®wno¯ci wymierne
\begin text
Rozwi©± nier®wno¯ª
\cr
     1       1
  ÈÈÈÈÈÈÈ Æ ÈÈÈ .
  x(x¾-1)   ÏxÏ
\cr
Podaj opowied° w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, 
np. (-Ö,1/4>U(¸(3),+Ö)
\end text
\points 15
\begin answer
\length 37
\wrong 3
\correct (-Ö,-1)U(0,1)U<¸(2),+Ö)
\correct (-Ö,-1)U(0,1)U<¸(2),Ö)
\end answer
\begin help
\lose 1
Najpierw za¬o±enia, aby u¬amki mia¬y sens:
\next
\lose 1
     x(x¾-1) Ë 0, ÏxÏ Ë 0,
     x Ë -1, x Ë 1, x Ë 0.
\cr
\next
\lose 1
Rozpatrujemy dwa przypadki: 1) x > 0, 2) x < 0.
\next
\lose 1
\cr
(1) ÏxÏ = x. Przenosimy wszystko na lew© stron« i sprowadzamy do 
wsp®lnego mianownika:
\next
\lose 1
\half
     1-(x¾-1)    2-x¾
     ÈÈÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈ Æ 0.
      x(x¾-1)   x(x¾-1)
\cr
\full
\next
\lose 1
Iloraz ma taki sam znak jak iloczyn, wi«c rozwi©zujemy nier®wno¯ª:
\half
   (2-x¾)x(x¾-1) Æ 0.
\cr
\full
\next
\lose 1
Rozk¬adamy dwumiany na czynniki:
\half
     (¸(2)-x)(¸(2)+x)x(x-1)(x+1) Æ 0.
\cr
\full
\next
\lose 1
Poniewa± teraz x > 0, wi«c x+1 > 0, ¸(2)+x > 0 i mo±emy obie strony 
nier®wno¯ci przez to podzieliª. Mamy nier®wno¯ª:
\half
     (¸(2)-x)(x-1) Æ 0.
\cr
\full
\next
\lose 1
\cls
\window 2,2,78,23
Rysujemy wykres funkcji (¸(2)-x)(x-1)
\window 10,3,40,13
\scale -2,-2,2,2
\squarefn -1,2.4,-1.4
\window 2,13,78,23
\next
\lose 1
Odczytujemy rozwi©zanie nier®wno¯ci (¸(2)-x)(x-1) Æ 0 z wykresu.
Uwzgl«dniaj©c zastrze±enia dla x > 0 mamy zbi®r :
    (0,1)U<¸(2),+Ö).
\next
\lose 2
\window 2,2,79,23
\cls
(2) x < 0, ÏxÏ = -x. Przenosz©c wszystko na lew© stron« i sprowadzaj©c 
do wp®lnego mianownika mamy nier®wno¯ª:
\half
     1+(x¾-1)      x¾
     ÈÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ Æ 0.
     x(x¾-1)   x(x+1)(x-1)
\cr
\full
\next
\lose 1
Dzielimy obie strony przez x¾ (>0), mno±ymy przez x (<0) zmieniaj©c kierunek,
oraz mno±ymy przez x-1 (<0) jeszcze raz zmieniaj©c kierunek.
\next
\lose 1
Zostaje
\half
      1
     ÈÈÈ Æ 0, czyli x+1 Æ 0, czyli x Æ -1.
     x+1
\cr
\full
Uwzgl«dnij zastrze±enia i zbierz razem oba przypadki.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Nier®wno¯ci wymierne
\begin text
Rozwi©± nier®wno¯ª
\cr
     1       1
  ÈÈÈÈÈÈÈ Æ ÈÈÈ .
  x(x¾-4)   ÏxÏ
\end text
\begin question
\title Nier®wno¯ci wymierne
\begin text
Rozwi©± nier®wno¯ª
\cr
     1       1
  ÈÈÈÈÈÈÈ Æ ÈÈÈ .
  x(x¾-4)   ÏxÏ
\cr
Podaj opowied° w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, 
np. (-Ö,1/4>U(¸(3),+Ö)
\end text
\points 15
\begin answer
\length 37
\wrong 3
\correct (-Ö,-2)U<-¸(3),0)U(0,2)U<¸(5),+Ö)
\correct (-Ö,-2)U<-¸(3),0)U(0,2)U<¸(5),Ö)
\end answer
\begin help
\lose 1
Najpierw za¬o±enia, aby u¬amki mia¬y sens:
\next
\lose 1
     x(x¾-4) Ë 0, ÏxÏ Ë 0,
     x Ë -2, x Ë 2, x Ë 0.
\cr
\next
\lose 1
Rozpatrujemy dwa przypadki: 1) x > 0, 2) x < 0.
\next
\lose 1
\cr
(1) ÏxÏ = x. Przenosimy wszystko na lew© stron« i sprowadzamy do 
wsp®lnego mianownika:
\next
\lose 1
\half
     1-(x¾-4)    5-x¾
     ÈÈÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈ Æ 0.
      x(x¾-4)   x(x¾-4)
\cr
\full
\next
\lose 1
Iloraz ma taki sam znak jak iloczyn, wi«c rozwi©zujemy nier®wno¯ª:
\half
   (5-x¾)x(x¾-4) Æ 0.
\cr
\full
\next
\lose 1
Rozk¬adamy dwumiany na czynniki:
\half
     (¸(5)-x)(¸(5)+x)x(x-2)(x+2) Æ 0.
\cr
\full
\next
\lose 1
Poniewa± teraz x > 0, wi«c x+2 > 0, ¸(5)+x > 0 i mo±emy obie strony 
nier®wno¯ci przez to podzieliª. Mamy nier®wno¯ª:
\half
     (¸(5)-x)(x-2) Æ 0.
\cr
\full
\next
\lose 1
\cls
\window 2,2,78,23
Rysujemy wykres funkcji (¸(5)-x)(x-2)
\window 10,3,40,13
\scale 0,-2,4,2
\squarefn -1,4.25,-4.5
\window 2,13,78,23
\next
\lose 1
Odczytujemy rozwi©zanie nier®wno¯ci (¸(5)-x)(x-2) Æ 0 z wykresu.
Uwzgl«dniaj©c zastrze±enia dla x > 0 mamy zbi®r:
    (0,2)U<¸(5),+Ö).
\next
\lose 2
\window 2,2,79,23
\cls
(2) x < 0, ÏxÏ = -x. Przenosz©c wszystko na lew© stron« i sprowadzaj©c 
do wp®lnego mianownika mamy nier®wno¯ª:
\half
     1+(x¾-4)  (x-¸(3))(x+¸(3))
     ÈÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ Æ 0.
     x(x¾-4)     x(x+2)(x-2)
\cr
\full
\next
\lose 1
Dzielimy obie strony przez x-¸(3) (<0), mno±ymy przez x (<0) oraz 
mno±ymy przez x-2 (<0) za ka±dym razem zmieniaj©c kierunek nier®wno¯ci.
\next
\lose 1
Zostaje
\half
     x+¸(3)
     ÈÈÈÈÈÈ Ç 0, czyli (x+¸(3))(x+2) Ç 0.
      x+2
\cr
\full
Rysujemy wykres jak poprzednio (funkcja "u¯miechni«ta" tym razem)
i odczytujemy rozwi©zanie pami«taj©c, ±e teraz interesuj© nas tylko x < 0.
Uwzgl«dnij zastrze±enia i zbierz razem oba przypadki.
\end help
\end question
\end exercise