\type wie
\title Wielomiany
\begin exercise
\title Wielomiany, r®wnania, granice ci©g®w
\begin text
Pierwiastek r®wnania 
       x      2x
   12Ô2  - (À)   = 2 
oraz granica ci©gu (2+4+...+2n)/(1+n+n¾/3)
                                            3   2  
s© miejscami zerowymi wielomianu   w(x) = ax -9x +4x+b. 
Wyznacz a i b.
\end text
\begin question
\globalexit
\title R®wnania wyk¬adnicze
\begin text
a) Rozwi©± r®wnanie 
\cr
       x      2x
   12Ô2  - (À)   = 2.
\cr
Podaj wszystkie pierwiastki, np. 1,2/3,-6
\end text
\points 10 
\begin answer
\length 10
\wrong 3
\correct -1
\evaluate
\end answer
\begin help
\firstfree
R®wnanie:
\half
               2x  
         x  ½1º
     12Ô2 -  È    = 2.
            ¼2»
\cr
ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
\cr
\full
\next
\lose 2
Podstawiamy
\half 
            x
     t = (À) .
\cr
\full
\next
\lose 1
Mamy 
\half
      x      -1Ôx    -1   1
     2  = (À)     = t   = È .
                          t
\cr
\full
\next
\lose 1
Otrzymujemy nast«puj©ce r®wnanie na t:
     t¿+2t-12 = 0.
\next
\lose 1
Odgadujemy jeden pierwiastek w¯r®d dzielnik®w liczby 12:
\next
\lose 1
     t = 2.
\next
\lose 2
Dzielimy wielomian przez (t-2) i dostajemy wielomian t¾+2t+6,
kt®ry nie ma miejsc zerowych.
\next
\lose 1
\half
                     x
Wracamy do x: 2 = (À) , odgadnij x.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\disabled
\title Granice ci©g®w
\begin text
b) Wyznacz granic« ci©gu
\cr
     2+4+6+...+2n
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
       1+n+n¾/3
\end text
\points 8 
\begin answer
\length 5
\wrong 3
\correct 3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Licznik to suma ci©gu arytmetycznego: wyraz pierwszy 2,
r®±nica 2, wyraz ostatni 2n (czyli ilo¯ª wyraz®w to n).
\next
\lose 1
Wz®r na sum« daje À(2+2n)n = n¾+n.
\next
\lose 1
Badamy granic« ilorazu:
\half
       n¾+n
     ÈÈÈÈÈÈÈ .
     1+n+Ân¾
\cr
\full
\next
\lose 2
Dzielimy licznik i mianownik przez n¾ i przechodzimy z n do 
niesko­czono¯ci:
\half
           1
       1 + È
           n
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
     1    1   1
     ÈÈ + È + È
     n¾   n   3
\cr
\full
\next
\lose 1
Korzystamy z tego, ±e 1/n i 1/n¾ zmierzaj© do zera, oraz z twierdze­ o 
granicy sumy i ilorazu ci©g®w zbie±nych.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title Wielomiany
\begin text
c) Liczby -1 i 3 s© miejscami zerowymi wielomianu
\cr
              3     2
     w(x) = ax  - 9x  + 4x + b.
\cr
Wyznacz a i b (wynik podaj w postaci a,b, np. 2,3).
\end text
\points 4
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 2,15
\end answer
\begin help
\lose 1
Mamy w(-1) = 0, w(3) = 0.
\next 
\lose 2
Czyli po podstawieniu -1, 3 za x otrzymujemy:
      -a+b = 13,
     27a+b = 69.
Rozwi©zujemy (bez trudu).
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Wielomiany, r®wnania, granice ci©g®w
\begin text
Pierwiastek r®wnania 
      2x     x
   3Ô2  - (À)  = 2
oraz granica ci©gu (1+3+...+(2n+1))/(1+n+2n¾)
                                               3   2
s© miejscami zerowymi wielomianu      w(x) = ax -9x +4x+b. 
Wyznacz a i b.
\end text
\begin question
\globalexit
\title R®wnania wyk¬adnicze
\begin text
a) Rozwi©± r®wnanie 
\cr
       2x     x
    3Ô2  - (À)  = 2.
\cr
Podaj wszystkie pierwiastki, np. 1,2/3,-6
\end text
\points 10 
\begin answer
\length 10
\wrong 3
\correct 0
\evaluate
\end answer
\begin help
\firstfree
R®wnanie:
\half
                x  
        2x   ½1º
     3Ô2   -  È    = 2.
             ¼2»
\cr
ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ
\cr
\full
\next
\lose 2
Podstawiamy
\half 
          x
     t = 2 .
\cr
\full
\next
\lose 1
Mamy 
\half
       x   1    1     2x       2    2
    (À)  = ÈÈ = È,   2   = (2×)  = t .
           2×   t
\cr
\full
\next
\lose 1
Otrzymujemy nast«puj©ce r®wnanie na t:
     3t¿-2t-1 = 0.
\next
\lose 1
Odgadujemy jeden pierwiastek w¯r®d dzielnik®w wyrazu wolnego:
\next
\lose 1
     t = 1.
\next
\lose 2
Dzielimy wielomian przez (t-1) i dostajemy wielomian 3t¾+3t+1,
kt®ry nie ma miejsc zerowych.
\next
\lose 1
\half
                   x
Wracamy do x: 1 = 2 , odgadnij x.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\disabled
\title Granice ci©g®w
\begin text
b) Wyznacz granic« ci©gu
\cr
     1+3+5+...+(2n+1)
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
          1+n+2n¾
\end text
\points 8 
\begin answer
\length 5
\wrong 3
\correct 1/2
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Licznik to suma ci©gu arytmetycznego: wyraz pierwszy 1,
r®±nica 2, wyraz ostatni 2n+1 (ilo¯ª wyraz®w to n+1).
\next
\lose 1
Wz®r na sum« daje À(1+2n+1)(n+1) = (n+1)¾.
\next
\lose 1
Badamy granic« ilorazu:
\half
     n¾+2n+1
     ÈÈÈÈÈÈÈ .
     1+n+2n¾
\cr
\full
\next
\lose 2
Dzielimy licznik i mianownik przez n¾ i przechodzimy z n do 
niesko­czono¯ci:
\half
         2    1
     1 + È + ÈÈ
         n   n¾
     ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
     1    1   
     ÈÈ + È + 2
     n¾   n   
\cr
\full
\next
\lose 1
Korzystamy z tego, ±e 1/n i 1/n¾ zmierzaj© do zera, oraz z twierdze­ o 
granicy sumy i ilorazu ci©g®w zbie±nych.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title Wielomiany
\begin text
c) Liczby 0 i 1/2 s© miejscami zerowymi wielomianu
\cr
              3     2
     w(x) = ax  - 9x  + 4x + b.
\cr
Wyznacz a i b (wynik podaj w postaci a,b, np. 2,3).
\end text
\points 4
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 2,0
\end answer
\begin help
\lose 1
Mamy w(0) = 0, w(1/2) = 0.
\next 
\lose 2
Czyli po podstawieniu 0, 1/2 za x otrzymujemy:
     b = 0,
     (1/8)a-9/4+2 = 0.
Rozwi©zujemy (bez trudu).
\end help
\end question
\end exercise
\type wie
\begin exercise
\title Zadania na ekstremum
\begin text
Znajd° najwi«ksz© i najmniejsz© warto¯ª funkcji 
\cr
    3  2
   x -x -x
w przedziale <-À,2>.
\end text
\begin question
\title Zadania na ekstremum 
\begin text
Podaj kolejno liczby z przedzia¬u <-À,2>, w kt®rych funkcja
\cr
           3  2
   f(x) = x -x -x
\cr
przyjmuje najmniejsz© i najwi«ksz© warto¯ª.
\end text
\points 10
\begin answer
\length 20
\wrong 2
\correct 1,2
\end answer
\begin help
\lose 1
Najpierw dziedzina funkcji: nie ma ogranicze­. 
\next
\lose 1
Obliczamy warto¯ci na ko­cach przedzia¬u: f(-À), f(2).
Pytanie, czy mo±e w ¯rodku przyjmowaª warto¯ª mniejsz© (wi«ksz©).
\next
\lose 1
Tak mo±e byª tylko wtedy, gdy funkcja ma ekstremum lokalne w tym przedziale.
Liczymy pochodn©, aby to zbadaª:
\next
\lose 1
     f'(x) = 3x¾-2x-1 = 0,
\next
\lose 1
     Ä = 4+12 = 16. xÉ=-Â, xÊ = 1.
\next
\lose 1
Rysuj©c wykres pochodnej widzimy, ±e w punkcie -Â zmienia znak z 
dodatniego na ujemny, czyli funkcja ma maksimum lokalne.
Podobnie widzimy, ±e f ma w punkcie 1 minimum lokalne.
\next
\lose 1
Por®wnujemy warto¯ª f(-Â) z warto¯ciami na ko­cach przedzia¬u i wybieramy 
najwi«ksz© z nich:
     f(-Â) = 5/27, f(-À) = 1/8, f(2) = 2.
\next
\lose 1
Por®wnujemy f(1) z f(-À), f(2).
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Zadania na ekstremum
\begin text
Znajd° najwi«ksz© i najmniejsz© warto¯ª funkcji 
\cr
    3  
   x -3x-2
w przedziale <-2,0>.
\end text
\begin question
\title Zadania na ekstremum 
\begin text
Podaj kolejno liczby z przedzia¬u <-2,0>, w kt®rych funkcja
\cr
           3  
   f(x) = x -3x-2
\cr
przyjmuje najmniejsz© i najwi«ksz© warto¯ª.
\end text
\points 10
\begin answer
\length 20
\wrong 2
\correct -2,-1
\end answer
\begin help
\lose 1
Najpierw dziedzina funkcji: nie ma ogranicze­. 
\next
\lose 1
Obliczamy warto¯ci na ko­cach przedzia¬u: f(-2), f(0).
Pytanie, czy mo±e w ¯rodku przyjmowaª warto¯ª mniejsz© (wi«ksz©).
\next
\lose 1
Tak mo±e byª tylko wtedy, gdy funkcja ma ekstremum lokalne w tym przedziale.
Liczymy pochodn© aby to zbadaª:
\next
\lose 1
     f'(x) = 3x¾-3 = 0,
\next
\lose 1
     xÉ = -1, xÊ = 1.
\next
\lose 2
Rysuj©c wykres pochodnej widzimy, ±e w punkcie -1 zmienia znak z 
dodatniego na ujemny, czyli funkcja ma maksimum lokalne. Punkt 1 nas nie 
interesuje, bo le±y poza przedzia¬em.
\next
\lose 1
Por®wnujemy warto¯ª f(-1) z warto¯ciami na ko­cach przedzia¬u i wybieramy 
najwi«ksz© z nich:
     f(-2) = -4, f(0) = -2, f(-1) = 0.
\next
\lose 1
Dla znalezienia warto¯ci najmniejszej rozpatrujemy tylko ko­ce przedzia¬u.
\end help
\end question
\end exercise
\type wie
\begin exercise
\title Pochodna wielomianu
\begin text
Wykres funkcji 
          3
 f(x) = ax +cx+d
przecina o¯ OY w punkcie (0,-2). Wsp®¬czynnik kierunkowy 
stycznej do wykresu w tym punkcie wynosi -3. Dla x = -1
funkcja osi©ga ekstremum. Oblicz a,c,d.
\end text
\begin question
\globalexit
\title Pochodna wielomianu
\begin text
Wykres funkcji 
          3
 f(x) = ax +cx+d
przecina o¯ OY w punkcie (0,-2). Wsp®¬czynnik kierunkowy 
stycznej do wykresu w tym punkcie wynosi -3. Dla x = -1
funkcja osi©ga ekstremum. Oblicz a,c,d.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 1,-3,-2
\end answer
\begin help
\lose 1
Wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,-2), wi«c f(0) = -2.
\next
\lose 1
Podstawiamy: f(0) = d = -2.
Obliczamy pochodn©
\next
\lose 1
     f'(x) = 3ax¾+c.
Wsp®¬czynnik kierunkowy stycznej do wykresu to warto¯ª pochodnej:
\next
\lose 1
     f'(0) = c = -3.
Pochodna zeruje si« w -1, f'(-1) = 0. Wylicz a.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Pochodna wielomianu
\begin text
Wykres funkcji 
          3
 f(x) = ax +cx+d
przecina o¯ OY w punkcie (0,-1). Wsp®¬czynnik kierunkowy 
stycznej do wykresu w tym punkcie wynosi 3. Dla x = 1
funkcja osi©ga ekstremum. Oblicz a,c,d.
\end text
\begin question
\globalexit
\title Pochodna wielomianu
\begin text
Wykres funkcji 
          3
 f(x) = ax +cx+d
przecina o¯ OY w punkcie (0,-1). Wsp®¬czynnik kierunkowy 
stycznej do wykresu w tym punkcie wynosi 3. Dla x = 1
funkcja osi©ga ekstremum. Oblicz a,c,d.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct -1,3,-1
\end answer
\begin help
\lose 1
Wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,-1), wi«c f(0) = -1.
\next
\lose 1
Podstawiamy: f(0) = d = -1.
Obliczamy pochodn©
\next
\lose 1
     f'(x) = 3ax¾+c.
Wsp®¬czynnik kierunkowy stycznej do wykresu to warto¯ª pochodnej:
\next
\lose 1
     f'(0) = c = 3.
Pochodna zeruje si« w 1, f'(1) = 0. Wylicz a.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Pochodna wielomianu
\begin text
Wykres funkcji 
          3
 f(x) = ax +cx+d
przecina o¯ OY w punkcie (0,2). Wsp®¬czynnik kierunkowy 
stycznej do wykresu w tym punkcie wynosi -1. Dla x = 1/3
funkcja osi©ga ekstremum. Oblicz a,c,d.
\end text
\begin question
\globalexit
\title Pochodna wielomianu
\begin text
Wykres funkcji 
          3
 f(x) = ax +cx+d
przecina o¯ OY w punkcie (0,2). Wsp®¬czynnik kierunkowy 
stycznej do wykresu w tym punkcie wynosi -1. Dla x = 1/3
funkcja osi©ga ekstremum. Oblicz a,c,d.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 3,-1,2
\end answer
\begin help
\lose 1
Wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,2), wi«c f(0) = 2.
\next
\lose 1
Podstawiamy: f(0) = d = 2.
Obliczamy pochodn©
\next
\lose 1
     f'(x) = 3ax¾+c.
Wsp®¬czynnik kierunkowy stycznej do wykresu to warto¯ª pochodnej:
\next
\lose 1
     f'(0) = c = -1.
Pochodna zeruje si« w 1/3, f'(1/3) = 0. Wylicz a.
\end help
\end question
\end exercise
\type wie
\begin exercise
\title R®wnanie wy±szego stopnia z modu¬em
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
\cr
      4          3
     x  + 3 - Ï3x + xÏ = 0.
\end text
\begin question
\title R®wnanie wy±szego stopnia z modu¬em
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
\cr
      4          3
     x  + 3 - Ï3x + xÏ = 0.
\cr
Podaj odpowiedzi kolejno w postaci np. -2/3,3,5 
\end text
\points 14
\begin answer
\length 30
\wrong 3
\correct -3,-1,1,3
\end answer
\begin help
\lose 1
Rozpatrujemy dwa przypadki w zale±no¯ci od znaku wyra±enia pod modu¬em.
\next
\lose 2
\half
           3                    3
      1) 3x +x Ç 0    lub  2) 3x +x < 0,
\cr
\full
czyli 1) x(3x¾+1) Ç 0 lub  2) x(3x¾+1) < 0.
\cr
\next
\lose 1
Ale 3x¾+1 jest zawsze wi«ksze od zera, wi«c mamy przypadki
      1) x Ç 0  lub  2) x < 0.
\cr
\next
\lose 1
ad 1) Mamy r®wnanie:
\half
      4    3
     x - 3x - x + 3 = 0.
\cr
\full
\next
\lose 2
Przekszta¬camy lew© stron«: 
\half
      3                        3
     x (x-3) - (x-3) = (x-3)Ô(x -1).
\cr
\full
\next
\lose 1
Korzystamy ze wzoru na r®±nic« sze¯cian®w i dostajemy r®wnanie:
     (x-3)(x-1)(x¾+x+1) = 0.
\next
\lose 1
Rozwi©zania to 1 oraz 3 (x¾+x+1 jest zawsze r®±ne od zera).
\next
\lose 1
\cr
ad 2) Mamy r®wnanie (zmiana znaku wyra±enia pod modu¬em)
\half
      4     3
     x  + 3x + x + 3 = 0,
\cr
\full
kt®re rozwi©zujemy podobnie jak to z punktu 1).
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title R®wnanie wy±szego stopnia z modu¬em
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
\cr
      4          3
     x  + 2 - Ï2x + xÏ = 0.
\end text
\begin question
\title R®wnanie wy±szego stopnia z modu¬em
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
\cr
      4          3
     x  + 2 - Ï2x + xÏ = 0.
\cr
Podaj odpowiedzi kolejno w postaci np. -2/3,3,5 
\end text
\points 14
\begin answer
\length 30
\wrong 3
\correct -2,-1,1,2
\end answer
\begin help
\lose 1
Rozpatrujemy dwa przypadki w zale±no¯ci od znaku wyra±enia pod modu¬em.
\next
\lose 2
\half
           3                     3
      1) 2x +x Ç 0    lub   2) 2x +x < 0,
\cr
\full
czyli 1) x(2x¾+1) Ç 0 lub   2) x(2x¾+1) < 0.
\cr
\next
\lose 1
Ale 2x¾+1 jest zawsze wi«ksze od zera, wi«c mamy przypadki
      1) x Ç 0 lub  2) x < 0.
\cr
\next
\lose 1
ad 1) Mamy r®wnanie
\half
      4    3
     x - 2x - x + 2 = 0.
\cr
\full
\next
\lose 2
Przekszta¬camy lew© stron«: 
\half
      3                        3
     x (x-2) - (x-2) = (x-2)Ô(x -1) .
\cr
\full
\next
\lose 1
Korzystamy ze wzoru na r®±nic« sze¯cian®w i dostajemy r®wnanie
     (x-2)(x-1)(x¾+x+1) = 0.
\next
\lose 1
Rozwi©zania to 1 oraz 2 (x¾+x+1 jest zawsze r®±ne od zera).
\next
\lose 1
\cr
ad 2) Mamy r®wnanie (zmiana znaku wyra±enia pod modu¬em)
\half
      4     3
     x  + 2x + x + 2 = 0,
\cr
\full
kt®re rozwi©zujemy podobnie jak to z punktu 1).
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title R®wnanie wy±szego stopnia z modu¬em
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
\cr
      4         3
     x  + 1 - Ïx + xÏ = 0.
\end text
\begin question
\title R®wnanie wy±szego stopnia z modu¬em
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
\cr
      4         3
     x  + 1 - Ïx + xÏ = 0.
\cr
Podaj odpowiedzi kolejno w postaci np. -2/3,3,5 
\end text
\points 14
\begin answer
\length 30
\wrong 3
\correct -1,1
\end answer
\begin help
\lose 1
Rozpatrujemy dwa przypadki w zale±no¯ci od znaku wyra±enia pod modu¬em.
\next
\lose 2
\half
          3                   3
      1) x +x Ç 0    lub  2) x +x < 0,
\cr
\full
czyli 1) x(x¾+1) Ç 0 lub  2) x(x¾+1) < 0.
\cr
\next
\lose 1
Ale x¾+1 jest zawsze wi«ksze od zera, wi«c mamy przypadki
      1) x Ç 0 lub  2) x < 0.
\cr
\next
\lose 1
ad 1) Mamy r®wnanie
\half
      4   3
     x - x - x + 1 = 0.
\cr
\full
\next
\lose 2
Przekszta¬camy lew© stron«: 
\half
      3                        3
     x (x-1) - (x-1) = (x-1)Ô(x -1).
\cr
\full
\next
\lose 1
Korzystamy ze wzoru na r®±nic« sze¯cian®w i dostajemy r®wnanie
     (x-1)(x-1)(x¾+x+1) = 0.
\next
\lose 1
Rozwi©zanie to 1 (x¾+x+1 jest zawsze r®±ne od zera).
\next
\lose 1
\cr
ad 2) Mamy r®wnanie (zmiana znaku wyra±enia pod modu¬em)
\half
      4    3
     x  + x + x + 1 = 0,
\cr
\full
kt®re rozwi©zujemy podobnie jak to z punktu 1).
\end help
\end question
\end exercise