\type obr
\title Bry¬y obrotowe
\begin exercise
\begin params
2x4
30
45
3
9p(2+s(3))
45
30
¸(2)
4p(2+s(3))/3
\end params
\title Stereometria
\begin text
\cont
Tr®jk©t rozwartok©tny o k©tach ostrych ¶=&1², ·=&2² 
i najmniejszej wysoko¯ci &3
obraca si« dooko¬a prostej zawieraj©cej bok przeciwleg¬y do 
k©ta ·.
Oblicz obj«to¯ª otrzymanej bry¬y.
\end text
\begin question
\title Bry¬y obrotowe
\begin text
Tr®jk©t rozwartok©tny o k©tach ostrych ¶=&1², ·=&2² i najmniejszej 
wysoko¯ci &3 obraca si« dooko¬a prostej zawieraj©cej bok 
przeciwleg¬y do k©ta ·.
\cr
Oblicz obj«to¯ª otrzymanej bry¬y.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 30 
\wrong 3
\correct &4
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 4
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,1,1
\draw 0.6,0.5,1.2,0.5
\draw 0.6,0.5,0.2,0.1
\draw 0.2,0.1,1.2,0.5
\draw 0.2,0.9,1.2,0.5
\draw 0.2,0.9,0.6,0.5
\dotted
\draw 0.6,0.5,0.7,0.3
\draw 0.2,0.5,0.6,0.5
\draw 0.2,0.5,0.2,0.1
\ellipse 0.2,0.5,0.1,0.4
\text 0.2,0.5,A
\text 0.6,0.5,B
\text 1.2,0.5,C
\text 0.2,0.0,E
\text 0.2,0.9,D
\text 0.7,0.2,F
\text 0.6,0.32,h
\text 0.4,0.4,¶+· 
\text 0.32,0.13,·
\text 1.0,0.4,¶
\window 2,11,79,23
\next
\lose 2
Bry¬a jest r®±nic© dw®ch sto±k®w.
Potrzebujemy obliczyª promie­ podstawy ÏAEÏ i r®±nic« wysoko¯ci ÏBCÏ:
    V = ¹ÏAEϾÏACÏ-¹ÏAEϾÏABÏ = 
      = ¹ÏAEϾÏBCÏ.
\next
\lose 1
\half
                  &3
Obliczamy ÏBCÏ = ÈÈÈÈ = ...
                 sin¶
\cr
\full
\next
\lose 1
\half
                  &3
Obliczamy ÏEBÏ = ÈÈÈÈ = ...
                 sin· 
\cr
\full
\next
\lose 2
Obliczamy ÏAEÏ = ÏEBÏsin(¶+·) korzystaj©c ze wzoru na sinus sumy.
Mamy wszystkie sk¬adniki do wzoru na obj«to¯ª.
\end help
\end question
\end exercise
\type obr
\title Bry¬y obrotowe
\begin exercise
\begin params
3x3
2
60
9/8
3
60
27/16
4
60
9/4
\end params
\title Stereometria
\begin text
\cont
W kul« o powierzchni S=&1 wpisano sto±ek.
Tworz©ca sto±ka jest nachylona do p¬aszczyzny podstawy pod k©tem &2².
Wyznacz pole powierzchni sto±ka.
\end text
\begin question
\title Bry¬y obrotowe
\begin text
\cont
W kul« o powierzchni S=&1 wpisano sto±ek.
Tworz©ca sto±ka jest nachylona do p¬aszczyzny podstawy pod k©tem &2².
Wyznacz pole powierzchni sto±ka.
\end text
\points 14
\begin answer
\length 8 
\wrong 3
\correct &3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\ellipse 5,5,4,4
\ellipse 5,7,3.5,0.7,180,360
\dotted
\ellipse 5,7,3.5,0.7,0,180
\solid
\draw 5,1,8.5,7
\draw 5,1,1.5,7
\dotted
\draw 5,1,5,9
\draw 5,7,1.5,7
\draw 5,9,1.5,7
\solid
\ellipse 1.5,7,2,2,0,60
\text 5,4,h
\text 2.5,3.5,l
\text 3.5,6.5,r
\text 2,6,¶
\text 1,7,A
\text 5,9,B
\text 4.8,0,C
\window 2,11,79,23
\next
\lose 1
Najpierw obliczamy promie­ R kuli ze wzoru na powierzchni«:
     S = 4¹R¾. 
\next
\lose 1
Wysoko¯ª sto±ka wyra±amy przez promie­ podstawy:
\next
\lose 1
     h = rtg¶.
\next
\lose 2
Rozwa±amy tr®jk©t ABC. Jest on prostok©tny, a r jest jego wysoko¯ci©.
\next
\lose 1
Mamy zwi©zek: r¾ = hÔ(2R-h). Podstawiamy wyliczone wcze¯niej h.
\next
\lose 1
Dostajemy wz®r na r:
     r =À¸(S/¹)Ôsin2¶.
\next
\lose 1
Obliczamy d¬ugo¯ª tworz©cej: 
     l = r/cos¶
\cont
i podstawiamy do wzoru na pole:
\next
\lose 1
 P = ¹r¾ + ¹rl.
\end help
\end question
\end exercise
\type obr
\title Bry¬y obrotowe
\begin exercise
\title Stereometria
\begin text
\cont
Sto±ek i walec maj© r®wne tworz©ce, r®wne pola powierzchni bocznych i r®wne 
obj«to¯ci. 
Oblicz cosinus k©ta nachylenia tworz©cej sto±ka do p¬aszczyzny podstawy.
\end text
\begin question
\title Bry¬y obrotowe
\begin text
\cont
Sto±ek i walec maj© r®wne tworz©ce, r®wne pola powierzchni bocznych i r®wne 
obj«to¯ci. 
Oblicz cosinus k©ta nachylenia tworz©cej sto±ka do p¬aszczyzny podstawy.
\end text
\points 8
\begin answer
\length 12 
\wrong 3
\correct s(7)/4
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
\window 2,2,34,10
\scale 0,0,16,10
\draw 1,7,4,1
\draw 7,7,4,1
\ellipse 4,7,3,1,180,360
\dotted
\ellipse 4,7,3,1,0,180
\draw 4,1,4,7
\draw 4,7,7,7
\solid
\ellipse 7,7,1.5,1.5,115,180
\solid
\draw 10,2,10,7
\draw 15,2,15,7
\ellipse 12.5,2,2.5,0.8
\ellipse 12.5,7,2.5,0.8,180,360
\dotted
\ellipse 12.5,7,2.5,0.8,0,180
\text 15.1,4,l
\text 5.5,3,l
\text 6,6,¶
\window 2,10,78,23
\next
\lose 1
Oznaczmy przez R,H promie­ i wysoko¯ª sto±ka, a przez r - promie­ walca.
Por®wnujemy pola powierzchni bocznej: 
\next
\lose 1
    sto±ek - ¹Rl,
    walec  - 2¹rl,   czyli r = ÀR.
\next
\lose 1
Por®wnujemy obj«to¯ci:
    sto±ek - ¹R¾H,
    walec  - ¹r¾l = ¹(ÀR)¾l,   czyli H/3 = l/4.
\next
\lose 2
Dziel©c obustronnie przez l mamy wz®r na sinus. 
Obliczamy cosinus z jedynki trygonometrycznej.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Stereometria
\begin text
\cont
Sto±ek i walec maj© r®wne tworz©ce, r®wne pola powierzchni bocznych i r®wne 
obj«to¯ci. 
Oblicz sinus k©ta nachylenia tworz©cej sto±ka do p¬aszczyzny podstawy.
\end text
\begin question
\title Bry¬y obrotowe
\begin text
\cont
Sto±ek i walec maj© r®wne tworz©ce, r®wne pola powierzchni bocznych i r®wne 
obj«to¯ci. 
Oblicz sinus k©ta nachylenia tworz©cej sto±ka do p¬aszczyzny podstawy.
\end text
\points 8
\begin answer
\length 12 
\wrong 3
\correct 3/4
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
\window 2,2,34,10
\scale 0,0,16,10
\draw 1,7,4,1
\draw 7,7,4,1
\ellipse 4,7,3,1,180,360
\dotted
\ellipse 4,7,3,1,0,180
\draw 4,1,4,7
\draw 4,7,7,7
\solid
\ellipse 7,7,1.5,1.5,115,180
\solid
\draw 10,2,10,7
\draw 15,2,15,7
\ellipse 12.5,2,2.5,0.8
\ellipse 12.5,7,2.5,0.8,180,360
\dotted
\ellipse 12.5,7,2.5,0.8,0,180
\text 15.1,4,l
\text 5.5,3,l
\text 6,6,¶
\window 2,10,78,23
\next
\lose 1
Oznaczmy przez R,H promie­ i wysoko¯ª sto±ka, a przez r promie­ walca.
Por®wnujemy pola powierzchni bocznej: 
\next
\lose 1
    sto±ek - ¹Rl,
    walec  - 2¹rl,   czyli r = ÀR.
\next
\lose 1
Por®wnujemy obj«to¯ci:
    sto±ek - ¹R¾H,
    walec  - ¹r¾l = ¹(ÀR)¾l,   czyli H/3 = l/4.
\next
\lose 2
Dziel©c obustronnie przez l mamy wz®r na sinus. 
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Stereometria
\begin text
\cont
Sto±ek i walec maj© r®wne tworz©ce, r®wne pola powierzchni bocznych i r®wne 
obj«to¯ci. 
Oblicz tangens k©ta nachylenia tworz©cej sto±ka do p¬aszczyzny podstawy.
\end text
\begin question
\title Bry¬y obrotowe
\begin text
\cont
Sto±ek i walec maj© r®wne tworz©ce, r®wne pola powierzchni bocznych i r®wne 
obj«to¯ci. 
Oblicz tangens k©ta nachylenia tworz©cej sto±ka do p¬aszczyzny podstawy.
\end text
\points 8
\begin answer
\length 12 
\wrong 3
\correct 3/s(7)
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
\window 2,2,34,10
\scale 0,0,16,10
\draw 1,7,4,1
\draw 7,7,4,1
\ellipse 4,7,3,1,180,360
\dotted
\ellipse 4,7,3,1,0,180
\draw 4,1,4,7
\draw 4,7,7,7
\solid
\ellipse 7,7,1.5,1.5,115,180
\solid
\draw 10,2,10,7
\draw 15,2,15,7
\ellipse 12.5,2,2.5,0.8
\ellipse 12.5,7,2.5,0.8,180,360
\dotted
\ellipse 12.5,7,2.5,0.8,0,180
\text 15.1,4,l
\text 5.5,3,l
\text 6,6,¶
\window 2,10,78,23
\next
\lose 1
Oznaczmy przez R,H promie­ i wysoko¯c sto±ka, a przez r promie­ walca.
Por®wnujemy pola powierzchni bocznej: 
\next
\lose 1
    sto±ek - ¹Rl,
    walec  - 2¹rl,   czyli r = ÀR.
\next
\lose 1
Por®wnujemy obj«to¯ci:
    sto±ek - ¹R¾H,
    walec  - ¹r¾l = ¹(ÀR)¾l,   czyli H/3 = l/4.
\next
\lose 2
Dziel©c obustronnie przez l mamy wz®r na sinus. 
Obliczamy cosinus z jedynki trygonometrycznej.
\end help
\end question
\end exercise
\type obr
\title Bry¬y obrotowe
\begin exercise
\title Stereometria
\begin text
\cont
Stosunek pola powierzchni bocznej sto±ka do jego pola powierzchni 
ca¬kowitej r®wna si« 2/3.
Znajd° k©t, jaki tworzy wysoko¯ª tego sto±ka z tworz©c©.
\end text
\begin question
\title Bry¬y obrotowe
\begin text
\cont
Stosunek pola powierzchni bocznej sto±ka do jego pola powierzchni 
ca¬kowitej r®wna si« 2/3.
Znajd° k©t, jaki tworzy wysoko¯ª tego sto±ka z tworz©c©.
\par
\cr
\cr
Podaj sinus tego k©ta.
\end text
\points 7
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 1/2
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\draw 2,7,5,1
\draw 8,7,5,1
\ellipse 5,7,3,1,180,360
\dotted
\ellipse 5,7,3,1,0,180
\draw 5,1,5,7
\draw 5,7,8,7
\solid
\ellipse 5,1,2,2,270,295
\text 4.2,4,h
\text 5.1,1.8,¶
\text 6.6,3.5,l
\text 6,6.9,r
\window 2,10,78,23
\next
\lose 2
Oznaczmy stosunek powierzchni przez k.
Mamy:
\half
          ¹rl
     k = ÈÈÈÈÈÈÈ .
         ¹rl+¹r¾
\cr
\full
\next
\lose 2
Interesuje nas sinus k©ta, wi«c dzielimy licznik i mianownik u¬amka 
przez l¾, aby dostaª r/l (upraszczamy te± przez ¹):
\half
       r
       È
       l           1
      ÈÈÈÈÈÈ =  ÈÈÈÈÈÈÈÈ = k.
      r   r¾    1 + sin¶
      È + È
      l   l¾
\cr
Wyliczamy sin ¶.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Stereometria
\begin text
\cont
Stosunek pola powierzchni bocznej sto±ka do jego pola powierzchni 
ca¬kowitej r®wna si« 4/5.
Znajd° k©t, jaki tworzy wysoko¯ª tego sto±ka z tworz©c©.
\end text
\begin question
\title Bry¬y obrotowe
\begin text
\cont
Stosunek pola powierzchni bocznej sto±ka do jego pola powierzchni 
ca¬kowitej r®wna si« 4/5.
Znajd° k©t, jaki tworzy wysoko¯ª tego sto±ka z tworz©c©.
\par
\cr
\cr
Podaj cosinus tego k©ta.
\end text
\points 7
\begin answer
\length 10 
\wrong 2
\correct s(15)/4
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\draw 2,7,5,1
\draw 8,7,5,1
\ellipse 5,7,3,1,180,360
\dotted
\ellipse 5,7,3,1,0,180
\draw 5,1,5,7
\draw 5,7,8,7
\solid
\ellipse 5,1,2,2,270,295
\text 4.2,4,h
\text 5.1,1.8,¶
\text 6.6,3.5,l
\text 6,6.9,r
\window 2,10,78,23
\next
\lose 2
Oznaczmy stosunek powierzchni przez k.
Mamy:
\half
           ¹rl
     k = ÈÈÈÈÈÈÈ .
         ¹rl+¹r¾
\cr
\full
\next
\lose 2
Dzielimy licznik i mianownik u¬amka przez l¾ aby dostaª r/l 
(upraszczamy te± przez ¹):
\half
        r
        È
        l          1
      ÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈÈ = k.
      r   r¾   1 + sin¶
      È + È
      l   l¾
\cr
\full
Wyliczamy sin ¶, a potem z jedynki trygonometrycznej, cosinus.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Stereometria
\begin text
\cont
Stosunek pola powierzchni bocznej sto±ka do jego pola powierzchni 
ca¬kowitej r®wna si« 3/4.
Znajd° k©t, jaki tworzy wysoko¯ª tego sto±ka z tworz©c©.
\end text
\begin question
\title Bry¬y obrotowe
\begin text
\cont
Stosunek pola powierzchni bocznej sto±ka do jego pola powierzchni 
ca¬kowitej r®wna si« 3/4.
Znajd° k©t, jaki tworzy wysoko¯ª tego sto±ka z tworz©c©.
\par
\cr
\cr
Podaj sinus tego k©ta.
\end text
\points 7
\begin answer
\length 10 
\wrong 2
\correct 1/3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\draw 2,7,5,1
\draw 8,7,5,1
\ellipse 5,7,3,1,180,360
\dotted
\ellipse 5,7,3,1,0,180
\draw 5,1,5,7
\draw 5,7,8,7
\solid
\ellipse 5,1,2,2,270,295
\text 4.2,4,h
\text 5.1,1.8,¶
\text 6.6,3.5,l
\text 6,6.9,r
\window 2,10,78,23
\next
\lose 2
Oznaczmy stosunek powierzchni przez k.
Mamy
\half
          ¹rl
     k = ÈÈÈÈÈÈÈ .
         ¹rl+¹r¾
\cr
\full
\next
\lose 2
Interesuje nas sinus k©ta, wi«c dzielimy licznik i mianownik u¬amka 
przez l¾ aby dostaª r/l (upraszczamy te± przez ¹):
\half
        r
        È
        l          1
      ÈÈÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈÈ = k.
      r   r¾   1 + sin¶
      È + È
      l   l¾
\cr
Wyliczamy sin ¶.
\end help
\end question
\end exercise
\type obr
\title Bry¬y obrotowe
\begin exercise
\begin params
3x4
60
30
2
2p
60
45
2
4p/(2-s(3))
45
30
1
p/(6*(2-s(3)))
\end params
\title Stereometria
\begin text
\cont
Dwa sto±ki, jeden wewn©trz drugiego, maj© wsp®ln© podstaw«.
K©t mi«dzy wysoko¯ci© i tworz©c© ma miar« &1² dla ni±szego
i &2² dla wy±szego sto±ka. R®±nica wysoko¯ci wynosi &3.
Znajd° obj«to¯ª bry¬y ograniczonej powierzchniami bocznymi sto±k®w.
\end text
\begin question
\title Bry¬y obrotowe
\begin text
\cont
Dwa sto±ki, jeden wewn©trz drugiego, maj© wsp®ln© podstaw«.
K©t mi«dzy wysoko¯ci© i tworz©c© ma miar« &1² dla ni±szego
i &2² dla wy±szego sto±ka. R®±nica wysoko¯ci wynosi &3.
Znajd° obj«to¯ª bry¬y ograniczonej powierzchniami bocznymi sto±k®w.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 15 
\wrong 3
\correct &4
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\draw 2,7,5,1
\draw 8,7,5,1
\ellipse 5,7,3,1,180,360
\dotted
\ellipse 5,7,3,1,0,180
\draw 5,1,5,7
\draw 5,7,8,7
\solid
\draw 5,5,8,7
\draw 5,5,2,7
\ellipse 5,1,2,2,270,295
\ellipse 5,5,1.2,1.2,270,330
\text 5.1,5.1,¶
\text 4.2,3,h
\text 5.1,1.8,·
\text 6.6,3.5,l
\text 6,6.8,r
\window 2,10,78,23
Obj«to¯ª bry¬y jest r®±nic© obj«to¯ci sto±k®w.
Oznaczmy ich wysoko¯ci przez hÉ i hÊ.
\next
\lose 2
     V = VÊ-VÉ = ¹r¾hÊ-¹r¾hÉ = ¹r¾(hÊ-hÉ) = ¹r¾h.
\next
\lose 2
\half
     r            r
     ÈÈ = tg¶,   ÈÈÈÈ = tg·;
     hÉ          hÉ+h
\cr
\full
\next
\lose 1
Wyliczamy hÉ z pierwszej r®wno¯ci i podstawiamy do drugiej.
Otrzymujemy r®wnanie na r.
\next
\lose 3
Wyliczamy:
\half
             h
     r = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ   i podstawiamy do wzoru na obj«to¯ª.
         ctg·-ctg¶
\end help
\end question
\end exercise
\type obr
\title Bry¬y obrotowe
\begin exercise
\begin params
3x4
1
120
9p/4
3p/8
2
120
9p
3p
3
120
81p/4
81p/8
\end params
\title Stereometria
\begin text
\cont
W kul« o promieniu &1 wpisano sto±ek, kt®rego tworz©ca jest widoczna ze 
¯rodka kuli pod k©tem &2².
Wyznacz obj«to¯ª i pole powierzchni ca¬kowitej sto±ka.
\end text
\begin question
\globalexit
\disabled
\title Bry¬y obrotowe
\begin text
\cont
W kul« o promieniu &1 wpisano sto±ek, kt®rego tworz©ca jest widoczna ze 
¯rodka kuli pod k©tem &2².
\par
\cr
\cr
a) Wyznacz pole powierzchni ca¬kowitej sto±ka.
\end text
\points 11
\begin answer
\length 15 
\wrong 3
\correct &3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 4
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\ellipse 5,5,4,4
\draw 5,1,1.5,7
\draw 5,1,8.5,7
\ellipse 5,7,3.5,0.8,180,360
\dotted
\ellipse 5,7,3.5,0.8,0,180
\solid
\draw 5,1,5,5
\draw 5,5,8.5,7
\dotted 
\draw 5,5,5,7
\draw 5,7,8.5,7
\draw 5,5,6.7,4.1
\solid
\ellipse 5,5,1.2,1.2,330,90
\text 7,3.5,l
\text 4.5,2.5,R
\text 5.2,4.2,¶
\text 6.8,6.8,r
\window 2,10,78,23
\next
\lose 1
Szukamy r i tworz©cej sto±ka l.
\next
\lose 2
\half
     Àl
     ÈÈ = cos(90²-À¶) = sin(À¶),   wyliczamy l.
      R
\cr
\full
\next
\lose 2
     r = Rsin¶.
Podstawiamy do wzoru na pole:
\next
\lose 1
     P = ¹r¾+¹rl.
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title Stereometria, bry¬y obrotowe
\begin text
\cont
W kul« o promieniu &1 wpisano sto±ek, kt®rego tworz©ca jest widoczna ze 
¯rodka kuli pod k©tem &2².
\par
\cr
\cr
b) Wyznacz obj«to¯ª sto±ka.
\end text
\points 4
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct &4
\evaluate
\end answer
\begin help
\firstfree
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\ellipse 5,5,4,4
\draw 5,1,1.5,7
\draw 5,1,8.5,7
\ellipse 5,7,3.5,0.8,180,360
\dotted
\ellipse 5,7,3.5,0.8,0,180
\solid
\draw 5,1,5,5
\draw 5,5,8.5,7
\dotted 
\draw 5,5,5,7
\draw 5,7,8.5,7
\draw 5,5,6.7,4.1
\solid
\ellipse 5,5,1.2,1.2,330,90
\text 4.5,2.5,R
\text 5.2,4.2,¶
\text 6.8,6.8,r
\text 7,3.5,l
\window 2,10,78,23
\next
\lose 2
W punkcie a) wyliczyli¯my r i l.
     h¾ = l¾-r¾.
\next
\lose 1
Podstawiamy do wzoru na obj«to¯ª:
     V = ¹r¾h.
\end help
\end question
\end exercise
\type obr
\title Bry¬y obrotowe
\begin exercise
\title Zadania na ekstremum
\begin text
\cont
W p®¬kul« o promieniu R wpisano sto±ek, kt®rego wierzcho¬ek le±y w ¯rodku 
kuli, a podstawa jest r®wnoleg¬a do podstawy p®¬kuli.
Jaka jest maksymalna obj«to¯ª sto±ka?
\end text
\begin question
\title Zadania na ekstremum 
\begin text
W p®¬kul« o promieniu R wpisano sto±ek, kt®rego wierzcho¬ek 
le±y w ¯rodku kuli, a podstawa jest r®wnoleg¬a do podstawy p®¬kuli.
Jaka jest maksymalna obj«to¯ª sto±ka?
\cr 
Podaj wynik dla R = 1.
\end text
\points 10
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 2p/9s(3)
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\ellipse 5,7,3,3,0,180
\ellipse 5,7,3,1,180,360
\dotted
\ellipse 5,7,3,1,0,180
\solid
\draw 5,7,8,7
\draw 5,7,7.12,4.88
\draw 5,7,2.88,4.88
\ellipse 5,4.88,2.12,0.4,180,360
\dotted
\ellipse 5,4.88,2.12,0.4,0,180
\draw 5,7,5,4.88
\draw 5,4.88,7.12,4.88
\text 5.5,4.2,r
\text 4.5,5.4,h
\window 2,10,78,23
\next
\lose 1
Oznaczmy przez r promie­ podstawy sto±ka, a przez h - wysoko¯ª sto±ka.
     r¾ = R¾-h¾.
\next
\lose 2
Wz®r na obj«to¯ª: 
     V(h) = ¹r¾h = ¹(R¾-h¾)h.
Szukamy maksimum tej funkcji.
\next
\lose 1
Obliczamy pochodn©:
     V'(h) = ¹R¾-¹h¾,
\next
\lose 1
     V'(h) = 0  gdy h = ...
Spawdzamy, czy na pewno pochodna zmienia znak w tym punkcie z dodatniego na 
ujemny (rysujemy wykres funkcji -¹h¾+¹R¾).
\next
\lose 1
Obliczamy warto¯ª funkcji V w punkcie R/¸(3) dla R = 1.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Zadania na ekstremum
\begin text
\cont
W kul« o promieniu R wpisano sto±ek.
Przy jakiej wysoko¯ci obj«to¯ª sto±ka jest maksymalna?
\end text
\begin question
\title Zadania na ekstremum 
\begin text
W kul« o promieniu R wpisano sto±ek.
Przy jakiej wysoko¯ci obj«to¯ª sto±ka jest maksymalna?
\cr
Podaj maksymaln© obj«to¯ª dla R = 1.
\end text
\points 10
\begin answer
\length 10
\wrong 2
\correct 32p/81
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\ellipse 5,5,4,4
\draw 5,1,7.8,7.8
\draw 5,1,2.2,7.8
\dotted 
\draw 7.8,7.8,2.2,7.8
\draw 5,1,5,9
\dotted
\draw 7.8,7.8,5,9
\ellipse 5,7.8,2.8,0.5,0,180
\solid
\ellipse 5,7.8,2.8,0.5,180,360
\text 4.5,0,C
\text 7.8,7.8,B
\text 5,9,E
\text 5.1,7.8,D
\window 2,10,78,23
\next
\lose 2
Z podobie­stwa tr®jk©t®w EBC i CDB mamy:
     ÏDBϾ = ÏCDÏÔÏDEÏ.
\next
\lose 2
Oznaczmy h = ÏCDÏ. Mamy ÏDEÏ = 2R-h.
Wz®r na obj«to¯ª: 
     V(h) = ¹ÏDBϾh = ¹(2R-h)hÔh.
Szukamy maksimum tej funkcji. Podstawmy R = 1.
\next
\lose 1
Obliczamy pochodn©:
     V'(h) = ¹(4h-3h¾).
\next
\lose 1
     V'(h) = 0  gdy h = 0 (tu V = 0) lub h = ...
Spawdzamy, czy na pewno pochodna zmienia znak w tym punkcie z dodatniego na 
ujemny (rysujemy wykres funkcji -¹h¾+(4/3)¹h).
\next
\lose 1
Obliczamy warto¯ª funkcji V w punkcie 4/3.
\end help
\end question
\end exercise
\type obr
\title Bry¬y obrotowe
\begin exercise
\title Zadania na ekstremum
\begin text
\cont
Podaj promie­ walca wpisanego w kul« o promieniu R tak, 
aby jego obj«to¯ª by¬a najwi«ksza.
\end text
\begin question
\title Zadania na ekstremum 
\begin text
Podaj promie­ walca wpisanego w kul« o promieniu R tak, 
aby jego obj«to¯ª by¬a najwi«ksza.
\cr
Podaj odpowied° dla R = 3.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 15
\wrong 3
\correct 3s(2)/s(3)
\evaluate   
\end answer
\begin help
\lose 2
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\ellipse 5,5,4,4
\draw 5,5,7.8,2.2
\draw 7.8,2.2,7.8,7.8
\draw 2.2,2.2,2.2,7.8
\draw 5,2.2,7.8,2.2
\dotted
\draw 5,2.2,5,7.8
\solid
\ellipse 5,2.2,2.8,0.5,180,360
\ellipse 5,7.8,2.8,0.5,180,360
\dotted
\ellipse 5,2.2,2.8,0.5,0,180
\ellipse 5,7.8,2.8,0.5,0,180
\text 6,1.5,x
\text 6.4,3.6,R
\text 8,4.5,h
\window 2,10,78,23
\next
\lose 2
Z twierdzenia Pitagorasa mamy: h¾ = (2R)¾-(2x)¾.
\next
\lose 1
Wyliczamy h (ograniczamy si« do x < R)
\half
          ÐÈÈÈÈÈÑ
     h= 2 ÕR¾-x¾
\cr
i podstawiamy do wzoru na obj«to¯ª walca.
\next
\lose 1
\cr
                       ÐÈÈÈÈÈÑ
     V(x) = ¹x¾h = 2¹x¾ÕR¾-x¾ .
\cr
\next
\lose 2
\cls
Obliczamy pochodn©:
\cr
             4¹R¾x-6¹x¿
     V'(x) = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
              ÐÈÈÈÈÈÑ
              ÕR¾-x¾
\cr
\next
\lose 1
Kiedy V'(x) = 0 ? Wybieramy kandydat®w na ekstremum z przedzia¬u (0,R).
\next
\lose 2
\cr
S© trzy miejsca zerowe pochodnej, z kt®rych jedno spe¬nia warunek.
\cr
     x = 0, x = -¸(2/3)ÔR, x = ¸(2/3)ÔR.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\title Zadania na ekstremum
\begin text
\cont
Podaj promie­ walca wpisanego w kul« o promieniu R tak, 
aby pole jego powierzchni bocznej by¬o najwi«ksze.
\end text
\begin question
\title Zadania na ekstremum 
\begin text
Podaj promie­ walca wpisanego w kul« o promieniu R tak, 
aby pole jego powierzchni bocznej by¬o najwi«ksze.
\cr
Podaj odpowied° dla R = 2.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 15
\wrong 3
\correct 2/s(2)
\evaluate   
\end answer
\begin help
\lose 2
\window 2,2,22,10
\scale 0,0,10,10
\ellipse 5,5,4,4
\draw 5,5,7.8,2.2
\draw 7.8,2.2,7.8,7.8
\draw 2.2,2.2,2.2,7.8
\draw 5,2.2,7.8,2.2
\dotted
\draw 5,2.2,5,7.8
\solid
\ellipse 5,2.2,2.8,0.5,180,360
\ellipse 5,7.8,2.8,0.5,180,360
\dotted
\ellipse 5,2.2,2.8,0.5,0,180
\ellipse 5,7.8,2.8,0.5,0,180
\text 6,1.5,x
\text 6.4,3.6,R
\text 8,4.5,h
\window 2,10,78,23
\next
\lose 2
Z twierdzenia Pitagorasa mamy: h¾ = (2R)¾-(2x)¾.
\next
\lose 1
Wyliczamy h (ograniczamy si« do x < R)
\half
          ÐÈÈÈÈÈÑ
     h= 2 ÕR¾-x¾
\cr
i podstawiamy do wzoru na pole powierzchni bocznej walca.
\next
\lose 1
\cr
                       ÐÈÈÈÈÈÑ
     P(x) = 2¹xÔh = 4¹xÕR¾-x¾ .
\cr
\next
\lose 2
\cls
Obliczamy pochodn©:
\cr
             4¹R¾-8¹x¾
     P'(x) = ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
              ÐÈÈÈÈÈÑ
              ÕR¾-x¾
\cr
\next
\lose 1
Kiedy P'(x) = 0 ? Wybieramy kandydat®w na ekstremum z przedzia¬u (0,R).
\next
\lose 2
\cr
S© dwa miejsca zerowe pochodnej, z kt®rych jedno spe¬nia warunek.
\cr
     x = -R/¸(2), x = R/¸(2).
\end help
\end question
\end exercise