\type 2wi
\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Dobierz parametry tak, aby nast«puj©ce wielomiany by¬y r®wne:
 
       w(x) = (x¾+2x-1)(ax+b),
       p(x) = 2x(x¾-4)+x¾+3.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Dobierz parametry tak, aby nast«puj©ce wielomiany by¬y r®wne:
 
       w(x) = (x¾+2x-1)(ax+b),
       p(x) = 2x(x¾-4)+x¾+3.
 
Podaj je kolejno: a,b np. -4,7
\end text
\points 6
\begin answer
\length 20 
\wrong 2
\correct 2,-3
\end answer
\begin help
\lose 2
M.in. musi byŖ w(0) = p(0).
\next
\lose 1
St©d -b = 3.
We°my teraz x = 1.
\next
\lose 1
      w(1) = 2Ō(a-3),
      p(1) = -2.
Wylicz a z r®wnoÆci w(1) = p(1).
\end help
\end question
\end exercise




\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Dobierz parametry tak, aby nast«puj©ce wielomiany by¬y r®wne:
 
       w(x) = a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3),
       p(x) = x¾+9x+14.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Dobierz parametry tak, aby nast«puj©ce wielomiany by¬y r®wne:
 
       w(x) = a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3),
       p(x) = x¾+9x+14.
 
Podaj je kolejno: a,b np. -4,7
\end text
\points 6
\begin answer
\length 20 
\wrong 2
\correct -2,3
\end answer
\begin help
\lose 2
M.in. musi byŖ w(-1) = p(-1).
\next
\lose 1
St©d 2b = 6.
We°my teraz x = -3.
\next
\lose 1
      w(-3) = 2a,
      p(-3) = -4.
Wylicz a z r®wnoÆci w(-3) = p(-3).
\end help
\end question
\end exercise




\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Dobierz parametry tak, aby nast«puj©ce wielomiany by¬y r®wne:
 
       w(x) = (x¾+ax+b)¾,
       p(x) = x¾(x¾-6x)+17x¾-24x+16.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Dobierz parametry tak, aby nast«puj©ce wielomiany by¬y r®wne:
 
       w(x) = (x¾+ax+b)¾,
       p(x) = x¾(x¾-6x)+17x¾-24x+16.
 
Podaj je kolejno a,b np. -4,7
\end text
\points 6
\begin answer
\length 20 
\wrong 2
\correct -3,4
\end answer
\begin help
\lose 2
Por®wnajmy wsp®¬czynniki przy tych samych pot«gach
zmiennej x w obu wielomianach.
\next
\lose 1
\half
 
          4    3   2     2       2
  w(x) = x +2ax +(a +2b)x +2abx+b ,
 
 
          4    3         2
  p(x) = x - 6x +     17x - 24x+16.
 
 
\full
\next
\lose 1
Dostajemy:
     2a = -6,
     a¾+2b = 17,
     2ab = -24,
     b¾ = 16.
\end help
\end question
\end exercise




\type 2wi
\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Wiedz©c, ±e 1 i 4 s© pierwiastkami r®wnania
 
       4   3   2
      x -8x +9x +38x-40 = 0,
 
znajd° pozosta¬e pierwiastki.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Wiedz©c, ±e 1 i 4 s© pierwiastkami r®wnania
 
       4   3   2
      x -8x +9x +38x-40 = 0,
 
znajd° pozosta¬e pierwiastki.
 
Podaj je kolejno, np. -4,7
\end text
\points 6
\begin answer
\length 20 
\wrong 2
\correct -2,5
\correct 5,-2
\end answer
\begin help
\lose 2
Dzielimy wielomian przez (x-1)(x-4) = x¾-5x+4.
\next
\lose 2
Dostajemy x¾-3x-10:
    Ä = 49, ø(Ä) = 7.
Wyliczamy dwa pierwiastki.
(W razie k¬opot®w przejd° do dzia¬u: Funkcja Kwadratowa.)
\end help
\end question
\end exercise




\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Wiedz©c, ±e 2 i 3 s© pierwiastkami r®wnania
 
        3   2
      2x +7x -73x+102 = 0,
 
znajd° pozosta¬e pierwiastki.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Wiedz©c, ±e 2 i 3 s© pierwiastkami r®wnania
 
        3   2
      2x +7x -73x+102 = 0,
 
znajd° pozosta¬e pierwiastki.
 
Podaj je kolejno, np. -4,7
\end text
\points 6
\begin answer
\length 20 
\wrong 2
\correct -17/2
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Dzielimy wielomian przez (x-2)(x-3) = x¾-5x+6.
\next
\lose 2
Dostajemy 2x+17.
Wyliczamy pierwiastek.
\end help
\end question
\end exercise




\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Wiedz©c, ±e -1 i 2 s© pierwiastkami r®wnania
 
       4   3   2
      x -3x -8x +12x+16 = 0,
 
znajd° pozosta¬e pierwiastki.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Wiedz©c, ±e -1 i 2 s© pierwiastkami r®wnania
 
       4   3   2
      x -3x -8x +12x+16 = 0,
 
znajd° pozosta¬e pierwiastki.
 
Podaj je kolejno, np. -4,7
\end text
\points 6
\begin answer
\length 20 
\wrong 2
\correct -2,4
\correct 4,-2
\end answer
\begin help
\lose 2
Dzielimy wielomian przez (x+1)(x-2) = x¾-x-2.
\next
\lose 2
Dostajemy x¾-2x-8:
    Ä = 36, ø(Ä) = 6.
Wyliczamy dwa pierwiastki.
(W razie k¬opot®w przejd° do dzia¬u: Funkcja Kwadratowa.)
\end help
\end question
\end exercise




\type 2wi
\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
       3    2 
     5x -19x -38x+40 = 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
       3    2
     5x -19x -38x+40 = 0.
 
Podaj pierwiastki w porz©dku rosn©cym; np. -4,7/9,8
(u¬amki w postaci a/b)
\end text
\points 8
\begin answer
\length 20 
\wrong 3
\correct -2,4/5,5
\end answer
\begin help
\lose 2
Szukamy pierwiastk®w wÆr®d dzielnik®w wyrazu wolnego.
\next
\lose 2
    x = -2 jest pierwiastkiem.
Dzielimy wielomian przez (x+2).
\next
\lose 1
Dostajemy
     5x¾-29x+20,
\next
\lose 2
     Ä = 441, ø(Ä) = 21, wyliczamy pierwiastki.
\end help
\end question
\end exercise








\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
       4   3    2
     6x +7x -12x -3x+2 = 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
       4   3    2
     6x +7x -12x -3x+2 = 0.
 
Podaj pierwiastki w porz©dku rosn©cym; np. -4,7/9,8
(u¬amki w postaci a/b)
\end text
\points 8
\begin answer
\length 20
\wrong 3
\correct -2,-1/2,1/3,1
\end answer
\begin help
\lose 2
Szukamy pierwiastk®w wÆr®d dzielnik®w wyrazu wolnego.
\next
\lose 1
    x = 1 jest pierwiastkiem.
Dzielimy wielomian przez (x-1).
\next
\lose 1
Dostajemy
\half
       3    2
     6x +13x +x-2.
 
\full
Szukamy pierwiastk®w wÆr®d dzielnik®w wyrazu wolnego.
\next
\lose 1
    x = -2 jest pierwiastkiem.
Dzielimy wielomian przez (x+2).
\next
\lose 1
Otrzymujemy tr®jmian 6x¾+x-1.
     Ä = 25, wyliczamy pierwiastki.
\end help
\end question
\end exercise








\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
      5  4   3   2
     x -x -3x +5x -2x = 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
      5  4   3   2
     x -x -3x +5x -2x = 0.
 
Podaj pierwiastki w porz©dku rosn©cym; np. -4,7/9,8
(u¬amki w postaci a/b)
\end text
\points 8
\begin answer
\length 20
\wrong 3
\correct -2,0,1
\end answer
\begin help
\next
\lose 1
WidaŖ, ±e x = 0 jest pierwiastkiem. Wy¬©czamy x przed nawias.
\lose 2
Dostajemy
\half
      4  3   2
     x -x -3x +5x-2.
 
\full
Szukamy pierwiastk®w wÆr®d dzielnik®w wyrazu wolnego.
\next
\lose 1
    x = 1 jest pierwiastkiem.
Dzielimy wielomian przez (x-1).
\next
\lose 1
Dostajemy
\half
      3
     x -3x+2.
 
\full
Szukamy pierwiastk®w wÆr®d dzielnik®w wyrazu wolnego.
\next
\lose 1
    x = 1 jest pierwiastkiem.
Dzielimy wielomian przez (x-1).
\next
\lose 1
Otrzymujemy tr®jmian x¾+x-2.
     Ä = 9, wyliczamy pierwiastki.
\end help
\end question
\end exercise







 
\type 2wi
\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
       4    3    
     3x -10x +10x-3 = 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
       4    3    
     3x -10x +10x-3 = 0.
 
Podaj w porz©dku rosn©cym pierwiastki, np. -4,7/9,8
(u¬amki w postaci a/b)
\end text
\points 8
\begin answer
\length 20
\wrong 3
\correct -1,1/3,1,3
\end answer
\begin help
\lose 2
Grupujemy wyrazy (pierwszy z czwartym)
i wy©czamy 3 i -10x przed nawias:
\next
\lose 1
\half
       4          2
    3(x -1) -10x(x -1) = 0.
 
\full
\next
\lose 2
Wy¬©czamy x¾-1 przed nawias i korzystamy ze wzoru na r®±nic« kwadrat®w:
     (x¾)¾-1 = (x¾-1)(x¾+1):
\next
\lose 1
    (x¾-1)[3(x¾+1)-10x] = 0,
    (x-1)(x+1)(3x¾-10x+3) = 0.
Musimy jeszcze roz¬o±yŖ na czynniki tr®jmian 3x¾-10x+3.
\next
\lose 1
     Ä = 64, wyliczamy pierwiastki.
\end help
\end question
\end exercise





\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
       3   2
     2x -3x -3x+2 = 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
       3   2
     2x -3x -3x+2 = 0.
 
Podaj w porz©dku rosn©cym pierwiastki, np. -4,7/9,8
(u¬amki w postaci a/b)
\end text
\points 8
\begin answer
\length 20
\wrong 3
\correct -1,1/2,2
\end answer
\begin help
\lose 2
Grupujemy wyrazy (pierwszy z czwartym)
i wy©czamy 2 i -3x przed nawias:
\next
\lose 1
\half
       3
    2(x +1) -3x(x+1) = 0.
 
\full
\next
\lose 2
Wy¬©czamy x+1 przed nawias i korzystaj©c ze wzoru:
\half
      3
     x +1 = (x+1)(x¾-x+1),
 
\full
\next
\lose 1
mamy
    (x+1)[2x¾-5x+2] = 0.
Musimy jeszcze roz¬o±yŖ na czynniki tr®jmian 2x¾-5x+2.
\next
\lose 1
     Ä = 9, wyliczamy pierwiastki.
\end help
\end question
\end exercise




\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
       3   2
    27x -9x -3x+1 = 0 .
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
 
       3   2
    27x -9x -3x+1 = 0 .
 
Podaj w porz©dku rosn©cym pierwiastki, np. -4,7/9,8
(u¬amki w postaci a/b)
\end text
\points 8
\begin answer
\length 20
\wrong 3
\correct -1/3,1/3
\end answer
\begin help
\lose 2
Grupujemy wyrazy (pierwszy z drugim)
i wy¬©czamy 9x¾ i -1 przed nawias:
\next
\lose 1
     9x¾(3x-1)-(3x-1) = 0.
\next
\lose 2
Wy©czamy 3x-1 przed nawias:
\next
\lose 1
    (3x-1)[9x¾-1] = 0.
Musimy jeszcze roz¬o±yŖ na czynniki tr®jmian 9x¾-1.
\next
\lose 1
Naj¬atwiej ze wzoru na r®±nic« kwadrat®w.
\end help
\end question
\end exercise




\type 2wi
\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Wiedz©c, ±e 2 i 3 s© pierwiastkami r®wnania
 
        3   2
      2x +mx -13x+n = 0,
 
znajd° pozosta¬e pierwiastki.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Wiedz©c, ±e 2 i 3 s© pierwiastkami r®wnania
 
        3   2
      2x +mx -13x+n = 0,
 
znajd° pozosta¬e pierwiastki.
\end text
\points 10
\begin answer
\length 20 
\wrong 4
\correct -5/2
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Podstawiamy x = 2 i x = 3 i otrzymane wyra±enia przyr®wnujemy do 0.
\next
\lose 2
    4m+n = 10,
    9m+n = -15.
Wyliczamy m i n.
\next
\lose 1
    m = -5,
    n = 30.
Mamy postaŖ r®wnania
\half
     3   2
   2x -5x -13x+30 = 0.
 
\full
\next
\lose 1
Dzielimy wielomian przez (x-2)(x-3).
\next
\lose 1
Otrzymujemy 2x+5.
Wyliczamy pozosta¬y pierwiastek.
\end help
\end question
\end exercise






\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Wiedz©c, ±e -1 i 1 s© pierwiastkami r®wnania
 
       4   3   2
      x -3x +bx +ax+b = 0,
 
znajd° pozosta¬e pierwiastki.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Wiedz©c, ±e -1 i 1 s© pierwiastkami r®wnania
 
       4   3   2
      x -3x +bx +ax+b = 0
 
znajd° pozosta¬e pierwiastki.
Podaj tylko mniejszy z nich.
\end text
\points 10
\begin answer
\length 20 
\wrong 4
\correct (3-s(7))/2
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Podstawiamy x = -1 i x = 1 i otrzymane wyra±enia przyr®wnujemy do 0.
\next
\lose 2
    a+2b = 2,
    -a+2b = -4.
Wyliczamy a i b.
\next
\lose 1
    b = -Ą,
    a = 3.
Mamy postaŖ r®wnania
\half
    4   3   2
   x -3x -Ąx +3x-Ą = 0.
 
\full
\next
\lose 1
Dzielimy wielomian przez (x-1)(x+1) = x¾-1.
\next
\lose 1
Otrzymujemy x¾-3x+Ą.
     Ä = 7,
wyliczamy pozosta¬e pierwiastki. Wybieramy mniejszy.
\end help
\end question
\end exercise




\type 2wi
\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ:
 
      3     2    
     x (x-2) (x-3) Ę 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ:
 
      3     2    
     x (x-2) (x-3) Ę 0.
 
Odpowied° podaj w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, u¬amki w 
postaci a/b, pierwiastek z nawiasem ø(3),
np. (-Ö,-3/4)U(ø(2),8>
\end text
\points 8
\begin answer
\length 30 
\wrong 3
\correct <0,3>
\end answer
\begin help
\window 2,2,79,23
\lose 2
Funkcja po lewej stronie nier®wnoÆci ma miejsca zerowe w 0, 2, 3.
\next
\lose 2
Szkicujemy wykres zmiany znaku 
i z wykresu odczytujemy rozwi©zanie nier®wnoÆci.
\next
\lose 3
\window 2,12,22,22
\scale -4,-8,4,8
\poly6 1,-7,16,-12,0,0,0
\end help
\end question
\end exercise






\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ:
 
          3         
     (2-x) (x+3/2) < 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ:
 
          3         
     (2-x) (x+3/2) < 0.
 
Odpowied° podaj w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, u¬amki w 
postaci a/b, pierwiastek z nawiasem ø(3),
np. (-Ö,-3/4)U(ø(2),8>
\end text
\points 8
\begin answer
\length 30 
\wrong 3
\correct (-Ö,-3/2)U(2,+Ö)
\correct (-Ö,-3/2)U(2,Ö)
\end answer
\begin help
\window 2,2,79,23
\lose 2
Funkcja po lewej stronie nier®wnoÆci ma miejsca zerowe w -3/2, 2.
\next
\lose 2
Szkicujemy wykres zmiany znaku 
i z wykresu odczytujemy rozwi©zanie nier®wnoÆci.
\next
\lose 3
\window 2,12,22,22
\scale -4,-4,4,18
\poly6 0,0,-1,4.5,-3,-10,12
\end help
\end question
\end exercise






\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ:
 
          2    
     (x+3) (4-x)(2x-7) > 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ:
 
          2    
     (x+3) (4-x)(2x-7) > 0.
 
Odpowied° podaj w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, u¬amki w 
postaci a/b, pierwiastek z nawiasem ø(3),
np. (-Ö,-3/4)U(ø(2),8>
\end text
\points 8
\begin answer
\length 30 
\wrong 3
\correct (7/2,4)
\end answer
\begin help
\window 2,2,79,23
\lose 2
Funkcja po lewej stronie nier®wnoÆci ma miejsca zerowe w -3, 7/2, 4.
\next
\lose 2
Szkicujemy wykres zmiany znaku 
i z wykresu odczytujemy rozwi©zanie nier®wnoÆci.
\next
\lose 3
\window 2,12,22,22
\scale -5,-260,5,24
\poly6 0,0,-2,3,44,-33,-252
\end help
\end question
\end exercise






\type 2wi
\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ
 
      4    2    
     x -29x +100 > 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ
 
      4    2    
     x -29x +100 > 0.
 
Odpowied° podaj w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, u¬amki w 
postaci a/b, pierwiastek z nawiasem ø(3),
np. (-Ö,-3/4)U(ø(2),8>
\end text
\points 12
\begin answer
\length 30 
\wrong 4
\correct (-Ö,-5)U(-2,2)U(5,+Ö)
\correct (-Ö,-5)U(-2,2)U(5,Ö)
\end answer
\begin help
\window 2,2,79,23
\lose 2
Podstawiamy x¾ = t.
\next
\lose 3
Rozk¬adamy na czynniki lew© stron« nier®wnoÆci t¾-29t+100:
    Ä = 441, ø(Ä) =21,
\next
\lose 1
   tÉ = 4, tŹ = 25, czyli t¾-29t+100 = (t-4)(t-25).
Wracamy do zmiennej x.
\next
\lose 2
    (x¾-4)(x¾-25) > 0.
Rozk¬adamy na czynniki:
\next
\lose 1
    (x-2)(x+2)(x-5)(x+5) > 0.
Szkicujemy wykres zmiany znaku funkcji, kt®rej zerami s© -5, -2, 2, 5
i z wykresu odczytujemy rozwi©zanie nier®wnoÆci.
\window 2,12,22,22
\scale -6,-110,6,105
\poly6 0,0,1,0,-29,0,100
\end help
\end question
\end exercise





\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ
 
      4   2    
     x -2x -3 < 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ
 
      4   2    
     x -2x -3 < 0.
 
Odpowied° podaj w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, u¬amki w 
postaci a/b, pierwiastek z nawiasem ø(3),
np. (-Ö,-3/4)U(ø(2),8>
\end text
\points 12
\begin answer
\length 30 
\wrong 4
\correct (-ø(3),ø(3))
\end answer
\begin help
\window 2,2,79,23
\lose 2
Podstawiamy x¾ = t.
\next
\lose 3
Rozk¬adamy na czynniki lew© stron« nier®wnoÆci t¾-2t-3:
    Ä = 16, ø(Ä) = 4,
\next
\lose 1
   tÉ = -1, tŹ = 3, czyli t¾-2t-3 = (t+1)(t-3).
Wracamy do zmiennej x.
\next
\lose 2
    (x¾+1)(x¾-3) < 0.
Rozk¬adamy na czynniki:
\next
\lose 1
    (x¾+1)(x-ø(3))(x+ø(3)) < 0.
Szkicujemy wykres zmiany znaku funkcji, kt®rej zerami s© -ø(3), ø(3)
i z wykresu odczytujemy rozwi©zanie nier®wnoÆci.
\window 2,12,22,22
\scale -6,-6,6,6
\poly6 0,0,1,0,-2,0,-3
\end help
\end question
\end exercise





\begin exercise
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ
 
       5    3    
     4x -37x +9x < 0.
\end text
\begin question
\title Wielomiany
\begin text
Rozwi©± nier®wnoÆŖ
 
      5    3    
    4x -37x +9x < 0.
 
Odpowied° podaj w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, u¬amki w 
postaci a/b, pierwiastek z nawiasem ø(3),
np. (-Ö,-3/4)U(ø(2),8>
\end text
\points 12
\begin answer
\length 30 
\wrong 4
\correct (-Ö,-3)U(-1/2,0)U(1/2,3)
\end answer
\begin help
\window 2,2,79,23
\lose 4
\half
                             4    2
Wy©czamy x prxed nawias: x(4x -37x +9) < 0.
 
\full
Wyra±enie w nawiasie rozk¬adamy na czynniki podstawiaj©c x¾ = t.
\next
\lose 3
    4t¾-37t+9,   Ä = 1225, ø(Ä) = 35,
\next
\lose 1
   tÉ = 1/4, tŹ = 9, czyli 4t¾-37t+9 = 4(t-1/4)(t-9).
Wracamy do zmiennej x:
\next
\lose 2
    4x(x¾-1/4)(x¾-9) < 0. Rozk¬adamy na czynniki:
\next
\lose 1
    x(x-1/2)(x+1/2)(x-3)(x+3) < 0.
Szkicujemy wykres zmiany znaku funkcji, o zerach -3, -1/2, 0, 1/2, 3
i z wykresu odczytujemy rozwi©zanie nier®wnoÆci.
\window 2,12,22,22
\scale -6,-160,6,160
\poly6 0,4,0,-37,0,9,0
\end help
\end question
\end exercise