\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia - przestrze­
\begin text
Wyznacz obraz punktu X = (2,5,-1) 
w translacji o wektor u = [-1,2,3].
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Wyznacz obraz punktu X = (2,5,-1) 
w translacji o wektor u = [-1,2,3].
 
Podaj kolejno wsp®¬rz«dne obrazu, np. 1/2,-4,5
\end text
\points 4
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct 1,7,2
\end answer
\begin help
\lose 2
Mamy nast«puj©cy zwi©zek pomi«dzy wsp®¬rz«dnymi punktu X = (x,y,z),
wektora [a,b,c] i obrazu X' = (x',y',z') w translacji:
      x' = x+a,
      y' = y+b,
      z' = z+c.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
\cont
Wyznacz wsp®¬rz«dne punktu X, kt®rego obrazem w translacji o wektor u = 
[-1,2,3] jest punkt X' = (1,5,-2).
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Wyznacz wsp®¬rz«dne punktu X, kt®rego obrazem w translacji o wektor u = 
[-1,2,3] jest punkt X' = (1,5,-2).
 
Podaj kolejno wsp®¬rz«dne punktu, np. 1/2,-4,5
\end text
\points 4
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct 2,3,-5
\end answer
\begin help
\lose 2
Mamy nast«puj©cy zwi©zek pomi«dzy wsp®¬rz«dnymi punktu X = (x,y,z),
wektora [a,b,c] i obrazu X' = (x',y',z') w translacji:
      x' = x+a,
      y' = y+b,
      z' = z+c.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Wyznacz wektor taki, ±e obrazem punktu 
X = (1,-1,5) w translacji o ten wektor 
jest punkt X' = (-1,1,3).
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Wyznacz wektor taki, ±e obrazem punktu 
X = (1,-1,5) w translacji o ten wektor 
jest punkt X' = (-1,1,3).
 
Podaj kolejno wsp®¬rz«dne wektora, np. 1/2,-4,5
\end text
\points 4
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct -2,2,-2
\end answer
\begin help
\lose 2
Mamy nast«puj©cy zwi©zek pomi«dzy wsp®¬rz«dnymi punktu X = (x,y,z),
wektora [a,b,c] i obrazu X' = (x',y',z') w translacji:
      x' = x+a,
      y' = y+b,
      z' = z+c.
\end help
\end question



\end exercise




\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
\cont
Napisz r®wnanie obrazu sfery (x-2)¾+y¾+z¾ = 4 w symetrii
 wzgl«dem p¬aszczyzny OYZ.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu sfery (x-2)¾+y¾+z¾ = 4 w symetrii 
wzgl«dem p¬aszczyzny OYZ.
 
Podaj kolejno a,b,c,r dla r®wnania w postaci (x-a)¾+(y-b)¾+(z-c)¾=r¾.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct -2,0,0,2
\end answer
\begin help
\lose 2
W symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny OYZ mamy zale±no¯ª:
      x' = -x,
      y' =  y,
      z' =  z.
\next
\lose 1
Czyli zmie­ x na -x, a reszta bez zmian.
Trzeba jeszcze uporz©dkowaª:
      (-x-2)¾ ...  do postaci (x-a)¾.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
\cont
Napisz r®wnanie obrazu p¬aszczyzny x-y+3z = 2 w symetrii wzgl«dem 
p¬aszczyzny OXY.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu p¬aszczyzny x-y+3z = 2 w symetrii wzgl«dem 
p¬aszczyzny OXY.
 
Podaj kolejno b,c,d dla r®wnania w postaci x+by+cz = d.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct -1,-3,2
\end answer
\begin help
\lose 2
W symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny OXY mamy zale±no¯ª:
      x' =  x,
      y' =  y,
      z' = -z.
\next
\lose 1
Czyli zmie­ z na -z, a reszta bez zmian.
Trzeba jeszcze uporz©dkowaª.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu kuli (x+1)¾+(y+2)¾+z¾ Æ 4 
w symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny OXZ.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu kuli (x+1)¾+(y+2)¾+z¾ Æ 4 
w symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny OXZ.
 
Podaj kolejno a,b,c,r dla r®wnania w postaci (x-a)¾+(y-b)¾+(z-c)¾ Æ r¾.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct -1,2,0,2
\end answer
\begin help
\lose 2
W symetrii wzgl«dem OXZ mamy zale±no¯ª:
      x' =  x,
      y' = -y,
      z' =  z.
\next
\lose 1
Czyli zmie­ y na -y, a reszta bez zmian.
Trzeba jeszcze uporz©dkowaª:
      (-y+2)¾ ...  do postaci (y-b)¾.
\end help
\end question



\end exercise



\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
\cont
Napisz r®wnanie obrazu sfery (x-2)¾+y¾+z¾ = 4 w symetrii ¯rodkowej 
wzgl«dem punktu (0,0,0).
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu sfery (x-2)¾+y¾+z¾ = 4 w symetrii ¯rodkowej 
wzgl«dem punktu (0,0,0).
 
Podaj kolejno a,b,c,r dla r®wnania w postaci (x-a)¾+(y-b)¾+(z-c)¾=r¾.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct -2,0,0,2
\end answer
\begin help
\lose 2
W symetrii wzgl«dem punktu (0,0,0) mamy zale±no¯ª:
      x' = -x,
      y' = -y,
      z' = -z.
\next
\lose 1
Czyli zmie­ x na -x, itd.
Trzeba jeszcze uporz©dkowaª: np.
      (-x-1)¾ ...  do postaci (x-a)¾.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
\cont
Napisz r®wnanie obrazu p¬aszczyzny x-y+z = 1 w symetrii ¯rodkowej 
wzgl«dem punktu (0,0,0).
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu p¬aszczyzny x-y+z = 1 w symetrii ¯rodkowej 
wzgl«dem punktu (0,0,0).
 
Podaj kolejno b,c,d dla r®wnania w postaci x+by+cz = d.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct -1,1,-1
\end answer
\begin help
\lose 2
W symetrii wzgl«dem punktu (0,0,0) mamy zale±no¯ª:
      x' = -x,
      y' = -y,
      z' = -z.
\next
\lose 1
Czyli zmie­ x na -x, itd.
Trzeba jeszcze uporz©dkowaª.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu kuli (x+1)¾+(y+2)¾+(z-3)¾ Æ 9 
w symetrii ¯rodkowej wzgl«dem punktu (0,0,0).
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu kuli (x+1)¾+(y+2)¾+(z-3)¾ Æ 9 
w symetrii ¯rodkowej wzgl«dem punktu (0,0,0).
 
Podaj kolejno a,b,c,r dla r®wnania w postaci (x-a)¾+(y-b)¾+(z-c)¾ Æ r¾.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct 1,2,-3,3
\end answer
\begin help
\lose 2
W symetrii wzgl«dem punktu (0,0,0) mamy zale±no¯ª:
      x' = -x,
      y' = -y,
      z' = -z.
\next
\lose 1
Czyli zmie­ x na -x, itd.
Trzeba jeszcze uporz©dkowaª: np.
      (-x+1)¾ ...  do postaci (x-a)¾.
\end help
\end question



\end exercise



\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu sfery (x+2)¾+(y-1)¾+z¾ = 4 
w symetrii osiowej wzgl«dem osi y.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu sfery (x+2)¾+(y-1)¾+z¾ = 4 
w symetrii osiowej wzgl«dem osi y.
 
Podaj kolejno a,b,c,r dla r®wnania w postaci (x-a)¾+(y-b)¾+(z-c)¾=r¾.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct 2,1,0,2
\end answer
\begin help
\lose 2
W symetrii wzgl«dem osi y mamy zale±no¯ª:
      x' = -x,
      y' =  y,
      z' = -z.
\next
\lose 1
Czyli zmie­ x na -x, itd.
Trzeba jeszcze uporz©dkowaª: np.
      (-x+2)¾ ...  do postaci (x-a)¾.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
\cont
Napisz r®wnanie obrazu p¬aszczyzny 2x+y-z = 3 w symetrii osiowej
wzgl«dem osi x.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu p¬aszczyzny 2x+y-z = 3 w symetrii osiowej
wzgl«dem osi x.
 
Podaj kolejno b,c,d dla r®wnania w postaci x+by+cz = d.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct -1/2,1/2,3/2
\end answer
\begin help
\lose 2
W symetrii wzgl«dem osi x mamy zale±no¯ª:
      x' =  x,
      y' = -y,
      z' = -z.
\next
\lose 1
Czyli zmie­ y na -y, itd.
Trzeba jeszcze uporz©dkowaª.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu kuli (x+1)¾+(y+2)¾+(z-3)¾ Æ 9 
w symetrii osiowej wzgl«dem osi z.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Napisz r®wnanie obrazu kuli (x+1)¾+(y+2)¾+(z-3)¾ Æ 9 
w symetrii osiowej wzgl«dem osi z.
 
Podaj kolejno a,b,c,r dla r®wnania w postaci (x-a)¾+(y-b)¾+(z-c)¾ Æ r¾.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 15 
\wrong 2
\correct 1,2,3,3
\end answer
\begin help
\lose 2
W symetrii wzgl«dem osi z mamy zale±no¯ª:
      x' = -x,
      y' = -y,
      z' =  z.
\next
\lose 1
Czyli zmie­ x na -x, itd.
Trzeba jeszcze uporz©dkowaª: np.
      (-x+1)¾ ...  do postaci (x-a)¾.
\end help
\end question



\end exercise



\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Czy dane przekszta¬cenie jest podobie­stwem?
Je¯li tak, to podaj jego skal«.
 
P(x,y,z) = (-z,y+2,-x+1).
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Czy dane przekszta¬cenie jest podobie­stwem?
Je¯li tak, to podaj jego skal«.
 
     P(x,y,z) = (-z,y+2,-x+1).
 
Jako odpowied° podaj `n' (nie) lub skal« podobie­stwa.
\end text
\points 7
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct 1
\end answer
\begin help
\lose 2
We°my dwa punkty A = (a,b,c) i B = (d,e,f).
Ich obrazy maj© wsp®¬rz«dne:
   P(A) = (-c,b+2,-a+1), 
   P(B) = (-f,e+2,-d+1).
\next
\lose 2
Obliczamy d¬ugo¯ª odcinka P(A)P(B):
\half
                ÐÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÑ
   ÏP(A)P(B)Ï = Õ(-c+f)¾+(b+2-e-2)¾+(-a+1+d-1)¾
 
\full
i patrzymy, czy istnieje liczba k taka, ±e
   ÏP(A)P(B)Ï = kÔÏABÏ ?
Przypominamy, ±e
\half
          ÐÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÑ
   ÏABÏ = Õ(a-d)¾+(b-e)¾+(c-f)¾  .
 
\full
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Czy dane przekszta¬cenie jest podobie­stwem?
Je¯li tak, to podaj jego skal«.
 
P(x,y,z) = (3x+1,3y,-3z).
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Czy dane przekszta¬cenie jest podobie­stwem?
Je¯li tak, to podaj jego skal«.
 
     P(x,y,z) = (3x+1,3y,-3z).
 
Jako odpowied° podaj `n' (nie) lub skal« podobie­stwa.
\end text
\points 7
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct 3
\end answer
\begin help
\lose 2
We°my dwa punkty A = (a,b,c) i B = (d,e,f).
Ich obrazy maj© wsp®¬rz«dne:
   P(A) = (3a+1,3b,-3c), 
   P(B) = (3d+1,3e,-3f).
\next
\lose 2
Obliczamy d¬ugo¯ª odcinka P(A)P(B):
\half
                ÐÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÑ
   ÏP(A)P(B)Ï = Õ(3a+1-3d-1)¾+(3b-3e)¾+(-3c+3f)¾
 
\full
i patrzymy, czy istnieje liczba k taka, ±e
   ÏP(A)P(B)Ï = kÔÏABÏ ?
Przypominamy, ±e
\half
          ÐÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÑ
   ÏABÏ = Õ(a-d)¾+(b-e)¾+(c-f)¾  .
 
\full
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Czy dane przekszta¬cenie jest podobie­stwem?
Je¯li tak, to podaj jego skal«.
 
P(x,y,z) = (2x,3y-1,z-3).
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Czy dane przekszta¬cenie jest podobie­stwem?
Je¯li tak, to podaj jego skal«.
 
       P(x,y,z) = (2x,3y-1,z-3).
 
Jako odpowied° podaj `n' (nie) lub skal« podobie­stwa.
\end text
\points 7
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 2
We°my dwa punkty A = (a,b,c) i B = (d,e,f).
Ich obrazy maj© wsp®¬rz«dne:
   P(A) = (2a,3b-1,c-3), 
   P(B) = (2d,3e-1,f-3).
\next
\lose 2
Obliczamy d¬ugo¯ª odcinka P(A)P(B):
\half
                ÐÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÑ
   ÏP(A)P(B)Ï = Õ(2a-2d)¾+(3b-1-3e+1)¾+(c-3-f+3)¾
 
\full
i patrzymy, czy istnieje liczba k taka, ±e
   ÏP(A)P(B)Ï = kÔÏABÏ ?
Przypominamy, ±e
\half
          ÐÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÑ
   ÏABÏ = Õ(a-d)¾+(b-e)¾+(c-f)¾  .
 
\full
\end help
\end question



\end exercise



\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Znajd° punkt maj©cy jednakow© odleg¬o¯ª od punkt®w
A = (-3,2,6), B = (4,5,-2) i le±©cy na osi z.
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Znajd° punkt maj©cy jednakow© odleg¬o¯ª od punkt®w
A = (-3,2,6), B = (4,5,-2) i le±©cy na osi z.
 
Podaj jego trzeci© wsp®¬rz«dn©.
\end text
\points 7
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct 1/4
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Szukamy punktu postaci X = (0,0,z).
\next
\lose 1
\half
    ÈÕ                ÈÕ
    AX = [3,-2,z-6],  BX = [-4,-5,z+2].
 
\next
\lose 2
Ma byª
     
     ÈÕ     ÈÕ
    ÏAXÏ = ÏBXÏ.
 
\full
\next
\lose 1
Czyli 
   9+4+(z-6)¾ = 16+25+(z+2)¾.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Znajd° punkt maj©cy jednakow© odleg¬o¯ª od punkt®w
A = (2,-2,4), B = (-4,1,3) i le±©cy na osi x.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Znajd° punkt maj©cy jednakow© odleg¬o¯ª od punkt®w
A = (2,-2,4), B = (-4,1,3) i le±©cy na osi x.
 
Podaj jego pierwsz© wsp®¬rz«dn©.
\end text
\points 7
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct -1/6
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Szukamy punktu postaci X = (x,0,0).
\next
\lose 1
\half
    ÈÕ                ÈÕ
    AX = [x-2,2,-4],  BX = [x+4,-1,-3].
 
\next
\lose 2
Ma byª
     
     ÈÕ     ÈÕ
    ÏAXÏ = ÏBXÏ.
 
\full
\next
\lose 1
Czyli 
   (x-2)¾+4+16 = (x+4)¾+1+9.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Znajd° punkt maj©cy jednakow© odleg¬o¯ª od punkt®w
A = (2,3,5), B = (4,5,-3) i le±©cy na osi y.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Znajd° punkt maj©cy jednakow© odleg¬o¯ª od punkt®w
A = (2,3,5), B = (4,5,-3) i le±©cy na osi y.
 
Podaj jego drug© wsp®¬rz«dn©.
\end text
\points 7
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct 3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Szukamy punktu postaci X = (0,y,0).
\next
\lose 1
\half
    ÈÕ                 ÈÕ
    AX = [-2,y-3,-5],  BX = [-4,y-5,3].
 
\next
\lose 2
Ma byª
     
     ÈÕ     ÈÕ
    ÏAXÏ = ÏBXÏ.
 
\full
\next
\lose 1
Czyli 
   4+(y-3)¾+25 = 16+(y-5)¾+9.
\end help
\end question



\end exercise



\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Wyznacz obraz punktu A = (4,-6,2) w symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny x = 1.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Wyznacz obraz punktu A = (4,-6,2) w symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny x = 1.
 
Podaj kolejno jego wsp®¬rz«dne, u¬amki w postaci a/b, np. -1/2,5,-7
\end text
\points 10
\begin answer
\length 25 
\wrong 3
\correct -2,-6,2
\end answer
\begin help
\lose 2
Wybieramy wektor prostopad¬y do p¬aszczyzny, np. [1,0,0].
\next
\lose 2
R®wnanie prostej r®wnoleg¬ej do [1,0,0] i przechodz©cej przez A:
   x = 4+t,
   y = -6,
   z = 2.
\next
\lose 2
Punkt wsp®lny tej prostej i p¬aszczyzny: dla t = -3,
    O = (1,-6,2).
\next
\lose 1
Punkt O jest ¯rodkiem odcinka AA', gdzie A' = (x,y,z)
 jest szukanym punktem.
\next
\lose 1
    (x+4)/2 = 1,
    (y-6)/2 = -6,
    (z+2)/2 = 2.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Wyznacz obraz punktu A = (2,1,-4) w symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny 
3x-2y+1 = 0.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Wyznacz obraz punktu A = (2,1,-4) w symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny 
3x-2y+1 = 0.
 
Podaj kolejno jego wsp®¬rz«dne, u¬amki w postaci a/b, np. -1/2,5,-7
\end text
\points 10
\begin answer
\length 25 
\wrong 3
\correct -4/13,33/13,-4
\end answer
\begin help
\lose 2
Wybieramy wektor prostopad¬y do p¬aszczyzny, np. [3,-2,0].
\next
\lose 2
R®wnanie prostej r®wnoleg¬ej do [3,-2,0] i przechodz©cej przez A:
   x = 2+3t,
   y = 1-2t,
   z = -4.
\next
\lose 2
Punkt wsp®lny tej prostej i p¬aszczyzny: dla t = -5/13,
    O = (11/13,23/13,-4).
\next
\lose 1
Punkt O jest ¯rodkiem odcinka AA', gdzie A' = (x,y,z)
 jest szukanym punktem.
\next
\lose 1
    (x+2)/2 = 11/13,
    (y+1)/2 = 23/13,
    (z-4)/2 = -4.
\end help
\end question



\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Wyznacz obraz punktu A = (-1,2,4) w symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny 
2x-3y+4z-66 = 0.
\end text
\begin question 
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Wyznacz obraz punktu A = (-1,2,4) w symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny 
2x-3y+4z-66 = 0.
 
Podaj kolejno jego wsp®¬rz«dne, u¬amki w postaci a/b, np. -1/2,5,-7
\end text
\points 10
\begin answer
\length 25 
\wrong 3
\correct 7,-10,20
\end answer
\begin help
\lose 2
Wybieramy wektor prostopad¬y do p¬aszczyzny, np. [2,-3,4].
\next
\lose 2
R®wnanie prostej r®wnoleg¬ej do [2,-3,4] i przechodz©cej przez A:
   x = -1+2t,
   y = 2-3t,
   z = 4+4t.
\next
\lose 2
Punkt wsp®lny tej prostej i p¬aszczyzny: dla t = 2,
    O = (3,-4,12).
\next
\lose 1
Punkt O jest ¯rodkiem odcinka AA', gdzie A' = (x,y,z)
 jest szukanym punktem.
\next
\lose 1
    (x-1)/2 = 3,
    (y+2)/2 = -4,
    (z+4)/2 = 12.
\end help
\end question



\end exercise



\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (3,2,1) nale±y do
obrazu prostej l poprzez translacj« o wektor [2,2,1] ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (3,2,1) nale±y do
obrazu prostej l poprzez translacj« o wektor [2,2,1] ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 5
Obrazem prostej x = a+pt,
                y = b+qt,
                z = c+rt,
przy translacji o wektor [u,v,w] jest prosta
                x = a+u+pt,
                y = b+v+qt,
                z = c+w+rt
(poniewa± translacje zachowuj© r®wnoleg¬o¯ª wektor®w).
\next
\lose 2
W naszym przypadku obraz prostej ma r®wnanie
                x = 4+t,
                y = 3+t,
                z =  3t.
\next
\lose 3
Aby sprawdziª, czy punkt (3,2,1) nale±y do tej prostej, nale±y
znale°ª taki parametr t, dla kt®rego:
                3 = 4+t,
                2 = 3+t,
                1 = 3t.
\end help
\end question
\end exercise


\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,3)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,-1,2]. Czy punkt (6,1,6) nale±y do
obrazu prostej l poprzez translacj« o wektor [3,1,1] ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,3)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,-1,2]. Czy punkt (6,1,6) nale±y do
obrazu prostej l poprzez translacj« o wektor [3,1,1] ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 5
Obrazem prostej x = a+pt,
                y = b+qt,
                z = c+rt,
przy translacji o wektor [u,v,w] jest prosta
                x = a+u+pt,
                y = b+v+qt,
                z = c+w+rt
(poniewa± translacje zachowuj© r®wnoleg¬o¯ª wektor®w).
\next
\lose 2
W naszym przypadku obraz prostej ma r®wnanie
                x = 5+t,
                y = 2-t,
                z = 4+2t.
\next
\lose 3
Aby sprawdziª, czy punkt (6,1,6) nale±y do tej prostej, nale±y
znale°ª taki parametr t, dla kt®rego:
                6 = 5+t,
                1 = 2-t,
                6 = 4+2t.
\end help
\end question
\end exercise

\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(1,0,3)
i r®wnoleg¬© do wektora [2,1,1]. Czy punkt (0,3,4) nale±y do
obrazu prostej l poprzez translacj« o wektor [-3,2,0] ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(1,0,3)
i r®wnoleg¬© do wektora [2,1,1]. Czy punkt (0,3,4) nale±y do
obrazu prostej l poprzez translacj« o wektor [-3,2,0] ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct t
\end answer
\begin help
\lose 5
Obrazem prostej x = a+pt,
                y = b+qt,
                z = c+rt,
przy translacji o wektor [u,v,w] jest prosta
                x = a+u+pt,
                y = b+v+qt,
                z = c+w+rt
(poniewa± translacje zachowuj© r®wnoleg¬o¯ª wektor®w).
\next
\lose 2
W naszym przypadku obraz prostej ma r®wnanie
                x = -2+2t,
                y =  2+t,
                z =  3+t.
\next
\lose 3
Aby sprawdziª, czy punkt (0,3,4) nale±y do tej prostej, nale±y
znale°ª taki parametr t, dla kt®rego:
                0 = -2+2t,
                3 =  2+t,
                4 =  3+t.
\end help
\end question
\end exercise
\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(-1,2,1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,2,2]. Czy punkt (-1,6,5) nale±y do
obrazu prostej l poprzez jednok¬adno¯ª o skali 2
i ¯rodku w punkcie (0,0,0) ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(-1,2,1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,2,2]. Czy punkt (-1,6,5) nale±y do
obrazu prostej l poprzez jednok¬adno¯ª o skali 2
i ¯rodku w punkcie (0,0,0) ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 5
Obrazem prostej x = a+pt,
                y = b+qt,
                z = c+rt,
przy jednok¬adno¯ci o skali k i ¯rodku (u,v,w) jest prosta
                x = u+k(a-u)+pt,
                y = v+k(b-v)+qt,
                z = w+k(c-w)+rt
(poniewa± jednok¬adno¯ci zachowuj© r®wnoleg¬o¯ª wektor®w).
\next
\lose 2
W naszym przypadku obraz prostej ma r®wnanie
                x = -2+t,
                y =  4+2t,
                z =  2+2t.
\next
\lose 3
Aby sprawdziª, czy punkt (-1,6,5) nale±y do tej prostej, nale±y
znale°ª taki parametr t, dla kt®rego:
               -1 = -2+t,
                6 =  4+2t,
                5 =  2+2t.
\end help
\end question
\end exercise

\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(-1,2,1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,2,2]. Czy punkt (1,6,5) nale±y do
obrazu prostej l poprzez jednok¬adno¯ª o skali 2
i ¯rodku w punkcie A ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(-1,2,1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,2,2]. Czy punkt (1,6,5) nale±y do
obrazu prostej l poprzez jednok¬adno¯ª o skali 2
i ¯rodku w punkcie A ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct t
\end answer
\begin help
\lose 5
Obrazem prostej x = a+pt,
                y = b+qt,
                z = c+rt,
przy jednok¬adno¯ci o skali k i ¯rodku (u,v,w) jest prosta
                x = u+k(a-u)+pt,
                y = v+k(b-v)+qt,
                z = w+k(c-w)+rt
(poniewa± jednok¬adno¯ci zachowuj© r®wnoleg¬o¯ª wektor®w).
\next
\lose 2
W naszym przypadku obraz prostej ma r®wnanie
                x = -1+t,
                y =  2+2t,
                z =  1+2t.
\next
\lose 3
Aby sprawdziª, czy punkt (1,6,5) nale±y do tej prostej, nale±y
znale°ª taki parametr t, dla kt®rego:
                1 = -1+t,
                6 =  2+2t,
                5 =  1+2t.
\end help
\end question
\end exercise


\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(-1,2,1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,2,2]. Czy punkt (-2,3,2) nale±y do
obrazu prostej l poprzez jednok¬adno¯ª o skali 2
i ¯rodku w punkcie (1,3,2) ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(-1,2,1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,2,2]. Czy punkt (-2,3,2) nale±y do
obrazu prostej l poprzez jednok¬adno¯ª o skali 2
i ¯rodku w punkcie (1,3,2) ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct t
\end answer
\begin help
\lose 5
Obrazem prostej x = a+pt,
                y = b+qt,
                z = c+rt,
przy jednok¬adno¯ci o skali k i ¯rodku (u,v,w) jest prosta
                x = u+k(a-u)+pt,
                y = v+k(b-v)+qt,
                z = w+k(c-w)+rt
(poniewa± jednok¬adno¯ci zachowuj© r®wnoleg¬o¯ª wektor®w).
\next
\lose 2
W naszym przypadku obraz prostej ma r®wnanie
                x = -3+t,
                y =  1+2t,
                z =    2t.
\next
\lose 3
Aby sprawdziª, czy punkt (-2,3,2) nale±y do tej prostej, nale±y
znale°ª taki parametr t, dla kt®rego:
               -2 = -3+t,
                3 =  1+2t,
                2 =    2t.
\end help
\end question
\end exercise

\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (-4,3,5) nale±y do
obrazu prostej l w symetrii p¬aszczyznowej
wzgl«dem p¬aszczyzny OYZ ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (-4,3,5) nale±y do
obrazu prostej l w symetrii p¬aszczyznowej
wzgl«dem p¬aszczyzny OYZ ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct t
\end answer
\begin help
\lose 5
Prosta l ma r®wnanie
    x =  2+t,
    y =  1+t,
    z = -1+3t.
Przy symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny OYZ mamy:
    x' = -x,
    y' =  y,
    z' =  z.
Aby znale°ª obraz prostej l wzgl«dem tej symetrii, wystarczy
znale±ª obrazy dw®ch dowolnie wybranych (r®±nych) punkt®w le±©cych
na prostej.
\next
\lose 1
Niech to b«d© punkty (2,1,-1) i (3,2,2).
Ich obrazy to (-2,1,-1) i (-3,2,2).
\next
\lose 4
Zatem prosta l przechodzi na prost©:
    x = -2-t,
    y =  1+t,
    z = -1+3t.
Teraz wystarczy sprawdziª, czy istnieje parametr t, dla kt®rego
   -4 = -2-t,
    3 =  1+t,
    5 = -1+3t.
\end help
\end question
\end exercise

\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (-3,2,1) nale±y do
obrazu prostej l w symetrii p¬aszczyznowej
wzgl«dem p¬aszczyzny OXY ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (-3,2,1) nale±y do
obrazu prostej l w symetrii p¬aszczyznowej
wzgl«dem p¬aszczyzny OYZ ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 5
Prosta l ma r®wnanie
    x =  2+t,
    y =  1+t,
    z = -1+3t.
Przy symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny OXY mamy:
    x' =  x,
    y' =  y,
    z' = -z.
Aby znale°ª obraz prostej l wzgl«dem tej symetrii, wystarczy
znale±ª obrazy dw®ch dowolnie wybranych (r®±nych) punkt®w le±©cych
na prostej.
\next
\lose 1
Niech to b«d© punkty (2,1,-1) i (3,2,2).
Ich obrazy to (2,1,1) i (-3,2,-2).
\next
\lose 4
Zatem prosta l przechodzi na prost©:
    x = 2-5t,
    y = 1+ t,
    z = 1-3t.
Teraz wystarczy sprawdziª, czy istnieje parametr t, dla kt®rego
   -3 = 2-5t,
    2 = 1+ t,
    1 = 1-3t.
\end help
\end question
\end exercise



\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (7,-6,14) nale±y do
obrazu prostej l w symetrii p¬aszczyznowej
wzgl«dem p¬aszczyzny OXZ ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (7,-6,14) nale±y do
obrazu prostej l w symetrii p¬aszczyznowej
wzgl«dem p¬aszczyzny OYZ ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct t
\end answer
\begin help
\lose 5
Prosta l ma r®wnanie
    x =  2+t,
    y =  1+t,
    z = -1+3t.
Przy symetrii wzgl«dem p¬aszczyzny OYZ mamy:
    x' =  x,
    y' = -y,
    z' =  z.
Aby znale°ª obraz prostej l wzgl«dem tej symetrii, wystarczy
znale±ª obrazy dw®ch dowolnie wybranych (r®±nych) punkt®w le±©cych
na prostej.
\next
\lose 1
Niech to b«d© punkty (2,1,-1) i (3,2,2).
Ich obrazy to (2,-1,-1) i (3,-2,2).
\next
\lose 4
Zatem prosta l przechodzi na prost©:
    x =  2+t,
    y = -1-t,
    z = -1+3t.
Teraz wystarczy sprawdziª, czy istnieje parametr t, dla kt®rego
    7 =  2+t,
   -6 = -1-t,
   14 = -1+3t.
\end help
\end question
\end exercise


\type 12jp3
\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (3,-2,12) nale±y do
obrazu prostej l w symetrii ¯rodkowej o ¯rodku (1,-2,1) ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (3,-2,12) nale±y do
obrazu prostej l w symetrii ¯rodkowej o ¯rodku (1,-2,1) ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct t
\end answer
\begin help
\lose 5
Obrazem prostej x = a+pt,
                y = b+qt,
                z = c+rt,
w symetrii ¯rodkowej o ¯rodku w punkcie (u,v,w) jest prosta
                x = 2u-a+pt,
                y = 2v-b+qt,
                z = 2w-c+rt
(poniewa± symetrie ¯rodkowe zachowuj© r®wnoleg¬o¯ª wektor®w).
\next
\lose 2
W naszym przypadku obraz prostej ma r®wnanie
                x =  t,
                y = -5+t,
                z =  3+3t.
\next
\lose 3
Aby sprawdziª, czy punkt (3,-2,12) nale±y do tej prostej, nale±y
znale°ª taki parametr t, dla kt®rego:
                3 =  t,
               -2 = -5+t,
               12 =  3+3t.

\end help
\end question
\end exercise

\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (-7,4,4) nale±y do
obrazu prostej l w symetrii ¯rodkowej o ¯rodku (-3,2,2) ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (-7,4,4) nale±y do
obrazu prostej l w symetrii ¯rodkowej o ¯rodku (-3,2,2) ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 5
Obrazem prostej x = a+pt,
                y = b+qt,
                z = c+rt,
w symetrii ¯rodkowej o ¯rodku w punkcie (u,v,w) jest prosta
                x = 2u-a+pt,
                y = 2v-b+qt,
                z = 2w-c+rt
(poniewa± symetrie ¯rodkowe zachowuj© r®wnoleg¬o¯ª wektor®w).
\next
\lose 2
W naszym przypadku obraz prostej ma r®wnanie
                x = -8+t,
                y =  3+t,
                z =  5+3t.
\next
\lose 3
Aby sprawdziª, czy punkt (-7,4,4) nale±y do tej prostej, nale±y
znale°ª taki parametr t, dla kt®rego:
               -7 = -8+t,
                4 =  3+t,
                4 =  5+3t.
\end help
\end question
\end exercise


\begin exercise
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (5,-10,-24) nale±y 
do obrazu prostej l w symetrii ¯rodkowej o ¯rodku (1,0,1) ?
\end text
\begin question
\title Przekszta¬cenia w przestrzeni
\begin text
Niech l oznacza prost© przechodz©c© przez punkt A=(2,1,-1)
i r®wnoleg¬© do wektora [1,1,3]. Czy punkt (5,-10,-24) nale±y 
do obrazu prostej l w symetrii ¯rodkowej o ¯rodku (1,0,1) ?
 
Jako odpowied° podaj 't' lub 'n'.
\end text
\points 12
\begin answer
\length 1
\wrong 11
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 5
Obrazem prostej x = a+pt,
                y = b+qt,
                z = c+rt,
w symetrii ¯rodkowej o ¯rodku w punkcie (u,v,w) jest prosta
                x = 2u-a+pt,
                y = 2v-b+qt,
                z = 2w-c+rt
(poniewa± symetrie ¯rodkowe zachowuj© r®wnoleg¬o¯ª wektor®w).
\next
\lose 2
W naszym przypadku obraz prostej ma r®wnanie
                x =  t,
                y = -1+t,
                z =  3+3t.
\next
\lose 3
Aby sprawdziª, czy punkt (5,-10,-24) nale±y do tej prostej, nale±y
znale°ª taki parametr t, dla kt®rego:
                5 =  t,
              -10 = -1+t,
              -24 =  3+3t.


\end help
\end question
\end exercise