\type 12fw \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Wykres funkcji f(x) = 1/x przesuni«to o wektor [2,3]. Napisz wz®r powsta¬ej funkcji i narysuj jej wykres. \end text \begin question \globalexit \disabled \title Funkcje wymierne \begin text a) Wykres funkcji f(x) = 1/x przesuni«to o wektor [2,3]. Napisz wz®r powsta¬ej funkcji w postaci (bx+c)/(x+d). Podaj liczby b,c,d. \end text \points 6 \begin answer \length 20 \wrong 2 \correct 3,-5,-2 \end answer \begin help \lose 2 Najpierw przesuwamy wykres o wektor [2,0]. Przesuni«cie o 2 w prawo oznacza zast©pienie x przez x-2. \next \lose 1 Nowa funkcja: \half 1 ÈÈÈ . x-2 \full Teraz przesuni«cie o wektor [0,3]. Przesuni«cie o 3 w g®r« oznacza dodanie 3. \next \lose 1 Otrzymujemy funkcj«: \half 1 ÈÈÈ + 3. x-2 \full \next \lose 1 Trzeba sprowadziª do wsp®lnego mianownika. \end help \end question \begin question \globalexit \title Funkcje wymierne \begin text b) Wykres funkcji f(x) = 1/x przesuni«to o wektor [2,3]. Narysuj wykres powsta¬ej funkcji. Podaj numer rysunku. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct 3 \end answer \begin pictures \scale -6,-6,6,6 \window 1,2,21,10 \text -6,-6,1 \sqroversqr 0,1,-2,0,3,-2 \window 30,2,50,10 \text -6,-6,2 \sqroversqr 0,2,-1,0,2,-3 \window 59,2,79,10 \text -6,-6,3 \sqroversqr 0,3,-5,0,1,-2 \window 1,15,21,23 \text -6,-6,4 \sqroversqr 0,3,-2,0,1,2 \window 30,15,50,23 \text -6,-6,5 \sqroversqr 0,2,-5,0,2,-2 \window 59,15,79,23 \text -6,-6,6 \sqroversqr 0,1,4,0,1,-1 \end pictures \begin help \lose 2 Oblicz miejsce zerowe: 3x-5 = 0. \next \lose 1 Wykres ma asymptot« pionow© tam, gdzie mianownik si« zeruje. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Wykres funkcji f(x) = -1/x przesuni«to o wektor [-1,2]. Napisz wz®r powsta¬ej funkcji i narysuj jej wykres. \end text \begin question \globalexit \disabled \title Funkcje wymierne \begin text a) Wykres funkcji f(x) = -1/x przesuni«to o wektor [-1,2]. Napisz wz®r powsta¬ej funkcji w postaci (bx+c)/(x+d). Podaj liczby b,c,d. \end text \points 6 \begin answer \length 20 \wrong 2 \correct 2,1,1 \end answer \begin help \lose 2 Najpierw przesuwamy wykres o wektor [-1,0]. Przesuni«cie o 1 w lewo oznacza zast©pienie x przez x+1. \next \lose 1 Nowa funkcja: \half -1 ÈÈÈ . x+1 \full Teraz przesuni«cie o wektor [0,2]. Przesuni«cie o 2 w g®r« oznacza dodanie 2. \next \lose 1 Otrzymujemy funkcj«: \half -1 ÈÈÈ + 2. x+1 \full \next \lose 1 Trzeba sprowadziª do wsp®lnego mianownika. \end help \end question \begin question \globalexit \title Funkcje wymierne \begin text b) Wykres funkcji f(x) = -1/x przesuni«to o wektor [-1,2]. Narysuj wykres powsta¬ej funkcji. Podaj numer rysunku. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct 5 \end answer \begin pictures \scale -6,-6,6,6 \window 1,2,21,10 \text -6,-6,1 \sqroversqr 0,1,2,0,1,1 \window 30,2,50,10 \text -6,-6,2 \sqroversqr 0,2,2,0,2,-2 \window 59,2,79,10 \text -6,-6,3 \sqroversqr 0,1,-1,0,1,-2 \window 1,15,21,23 \text -6,-6,4 \sqroversqr 0,2,-2,0,1,2 \window 30,15,50,23 \text -6,-6,5 \sqroversqr 0,2,1,0,1,1 \window 59,15,79,23 \text -6,-6,6 \sqroversqr 0,2,1,0,-1,-1 \end pictures \begin help \lose 2 Oblicz miejsce zerowe: 2x+1 = 0. \next \lose 1 Wykres ma asymptot« pionow© tam, gdzie mianownik si« zeruje. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Wykres funkcji f(x) = 3/x przesuni«to o wektor [4,-5]. Napisz wz®r powsta¬ej funkcji i narysuj jej wykres. \end text \begin question \globalexit \disabled \title Funkcje wymierne \begin text a) Wykres funkcji f(x) = 3/x przesuni«to o wektor [4,-5]. Napisz wz®r powsta¬ej funkcji w postaci (bx+c)/(x+d). Podaj liczby b,c,d. \end text \points 6 \begin answer \length 20 \wrong 2 \correct -5,23,-4 \end answer \begin help \lose 2 Najpierw przesuwamy wykres o wektor [4,0]. Przesuni«cie o 4 w prawo oznacza zast©pienie x przez x-4. \next \lose 1 Nowa funkcja: \half 3 ÈÈÈ . x-4 \full Teraz przesuni«cie o wektor [0,-5]. Przesuni«cie o 5 w d®¬ oznacza odj«cie 5. \next \lose 1 Otrzymujemy funkcj«: \half 3 ÈÈÈ - 5. x-4 \full \next \lose 1 Trzeba sprowadziª do wsp®lnego mianownika. \end help \end question \begin question \globalexit \title Funkcje wymierne \begin text b) Wykres funkcji f(x) = 3/x przesuni«to o wektor [4,-5]. Narysuj wykres powsta¬ej funkcji. Podaj numer rysunku. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct 2 \end answer \begin pictures \scale -8,-8,8,8 \window 1,2,21,10 \text -8,-8,1 \sqroversqr 0,1,-4,0,1,-2 \window 30,2,50,10 \text -8,-8,2 \sqroversqr 0,-5,23,0,1,-4 \window 59,2,79,10 \text -8,-8,3 \sqroversqr 0,3,-10,0,1,-2 \window 1,15,21,23 \text -8,-8,4 \sqroversqr 0,5,23,0,1,-2 \window 30,15,50,23 \text -8,-8,5 \sqroversqr 0,5,23,0,-1,4 \window 59,15,79,23 \text -8,-8,6 \sqroversqr 0,1,4,0,1,-1 \end pictures \begin help \lose 2 Oblicz miejsce zerowe: -5x+23 = 0. \next \lose 1 Wykres ma asymptot« pionow© tam, gdzie mianownik si« zeruje. \end help \end question \end exercise \type 12fw \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Wykres funkcji g(x) = (-3x+5)/(x-1) jest wynikiem przesuni«cia wykresu funkcji f(x) = a/x o wektor [p,q]. Wyznacz a, p, q i narysuj wykres funkcji g. \end text \begin question \globalexit \disabled \title Funkcje wymierne \begin text a) Wykres funkcji g(x) = (-3x+5)/(x-1) jest wynikiem przesuni«cia wykresu funkcji f(x) = a/x o wektor [p,q]. Wyznacz a, p, q. Podaj je kolejno, np. 3,-5,7 \end text \points 6 \begin answer \length 20 \wrong 2 \correct 2,1,-3 \end answer \begin help \lose 2 Przekszta¬camy licznik do postaci c(x-1)+d. \next \lose 1 Mamy: \half -3(x-1)+2 ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ . x-1 \full \next \lose 1 Teraz rozbijamy na sum« u¬amk®w i upraszczamy x-1. \end help \end question \begin question \globalexit \title Funkcje wymierne \begin text b) Wykres funkcji g(x) = (-3x+5)/(x-1) jest wynikiem przesuni«cia wykresu funkcji f(x) = a/x o wektor [p,q]. Narysuj wykres funkcji g. Podaj numer rysunku. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct 1 \end answer \begin pictures \scale -6,-6,6,6 \window 1,2,21,10 \text -6,-6,1 \sqroversqr 0,-3,5,0,1,-1 \window 30,2,50,10 \text -6,-6,2 \sqroversqr 0,-3,5,0,1,1 \window 59,2,79,10 \text -6,-6,3 \sqroversqr 0,3,-5,0,1,-1 \window 1,15,21,23 \text -6,-6,4 \sqroversqr 0,3,-2,0,1,-1 \window 30,15,50,23 \text -6,-6,5 \sqroversqr 0,2,-5,0,2,-2 \window 59,15,79,23 \text -6,-6,6 \sqroversqr 0,-1,4,0,1,-1 \end pictures \begin help \lose 2 Oblicz miejsce zerowe: -3x+5 = 0. \next \lose 1 Wykres ma asymptot« pionow© tam, gdzie mianownik si« zeruje. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Wykres funkcji g(x) = (-x-6)/(x+3) jest wynikiem przesuni«cia wykresu funkcji f(x) = a/x o wektor [p,q]. Wyznacz a, p, q i narysuj wykres funkcji g. \end text \begin question \globalexit \disabled \title Funkcje wymierne \begin text a) Wykres funkcji g(x) = (-x-6)/(x+3) jest wynikiem przesuni«cia wykresu funkcji f(x) = a/x o wektor [p,q]. Wyznacz a, p, q. Podaj je kolejno, np. 3,-5,7 \end text \points 6 \begin answer \length 20 \wrong 2 \correct -3,-3,-1 \end answer \begin help \lose 2 Przekszta¬camy licznik do postaci c(x+3)+d. \next \lose 1 Mamy: \half -(x+3)-3 ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ . x+3 \full \next \lose 1 Teraz rozbijamy na sum« u¬amk®w i upraszczamy x+3. \end help \end question \begin question \globalexit \title Funkcje wymierne \begin text b) Wykres funkcji g(x) = (-x-6)/(x+3) jest wynikiem przesuni«cia wykresu funkcji f(x) = a/x o wektor [p,q]. Narysuj wykres funkcji g. Podaj numer rysunku. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct 4 \end answer \begin pictures \scale -8,-8,8,8 \window 1,2,21,10 \text -8,-8,1 \sqroversqr 0,-3,2,0,1,-1 \window 30,2,50,10 \text -8,-8,2 \sqroversqr 0,-1,5,0,1,3 \window 59,2,79,10 \text -8,-8,3 \sqroversqr 0,1,6,0,1,3 \window 1,15,21,23 \text -8,-8,4 \sqroversqr 0,-1,-6,0,1,3 \window 30,15,50,23 \text -8,-8,5 \sqroversqr 0,2,-5,0,1,3 \window 59,15,79,23 \text -8,-8,6 \sqroversqr 0,-1,4,0,1,-1 \end pictures \begin help \lose 2 Oblicz miejsce zerowe: -x-6 = 0. \next \lose 1 Wykres ma asymptot« pionow© tam, gdzie mianownik si« zeruje. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Wykres funkcji g(x) = (2x-5)/(x-3) jest wynikiem przesuni«cia wykresu funkcji f(x) = a/x o wektor [p,q]. Wyznacz a, p, q i narysuj wykres funkcji g. \end text \begin question \globalexit \disabled \title Funkcje wymierne \begin text a) Wykres funkcji g(x) = (2x-5)/(x-3) jest wynikiem przesuni«cia wykresu funkcji f(x) = a/x o wektor [p,q]. Wyznacz a, p, q. Podaj je kolejno, np. 3,-5,7 \end text \points 6 \begin answer \length 20 \wrong 2 \correct 1,3,2 \end answer \begin help \lose 2 Przekszta¬camy licznik do postaci c(x-3)+d. \next \lose 1 Mamy: \half 2(x-3)+1 ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ . x-3 \full \next \lose 1 Teraz rozbijamy na sum« u¬amk®w i upraszczamy x-3. \end help \end question \begin question \globalexit \title Funkcje wymierne \begin text b) Wykres funkcji g(x) = (2x+5)/(x-3) jest wynikiem przesuni«cia wykresu funkcji f(x) = a/x o wektor [p,q]. Narysuj wykres funkcji g. Podaj numer rysunku. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct 2 \end answer \begin pictures \scale -6,-6,6,6 \window 1,2,21,10 \text -6,-6,1 \sqroversqr 0,-2,5,0,1,-2 \window 30,2,50,10 \text -6,-6,2 \sqroversqr 0,2,-5,0,1,-3 \window 59,2,79,10 \text -6,-6,3 \sqroversqr 0,2,-5,0,-1,3 \window 1,15,21,23 \text -6,-6,4 \sqroversqr 0,3,-2,0,1,-2 \window 30,15,50,23 \text -6,-6,5 \sqroversqr 0,2,-5,0,1,-2 \window 59,15,79,23 \text -6,-6,6 \sqroversqr 0,-1,4,0,1,-1 \end pictures \begin help \lose 2 Oblicz miejsce zerowe: 2x-5 = 0. \next \lose 1 Wykres ma asymptot« pionow© tam, gdzie mianownik si« zeruje. \end help \end question \end exercise \type 12fw \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± r®wnanie 4x+4 x¾+2x+1 ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈ . 5x-5 1+x¾ \end text \begin question \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± r®wnanie 4x+4 x¾+2x+1 ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈ . 5x-5 1+x¾ Podaj w porz©dku rosn©cym pierwiastki; np. -3,-2,1/3 \end text \points 8 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct -3,-1,3 \end answer \begin help \lose 2 Zak¬adamy, ±e x Ë 1. Mno±ymy obustronnie przez 5(x-1)(x¾+1). \next \lose 2 Dostajemy \half 3 2 -x -x +9x+9 = 0. \full \next \lose 1 Grupujemy i wy¬©czamy przed nawias: -x¾(x+1)+9(x+1) = (x+1)(-x¾+9) = 0. \next \lose 1 Wyznaczamy pierwiastki z r®wna­: x+1 = 0, -x¾+9 = 0. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± r®wnanie 7x-3 ÈÈÈÈ = x¾. 3x-7 \end text \begin question \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± r®wnanie 7x-3 ÈÈÈÈ = x¾. 3x-7 Podaj w porz©dku rosn©cym pierwiastki; np. -3,-2,1/3 \end text \points 8 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct -1,1/3,3 \end answer \begin help \lose 2 Zak¬adamy, ±e x Ë 7/3. Mno±ymy obustronnie przez 3x-7. \next \lose 2 Dostajemy \half 3 2 3x -7x -7x+3 = 0. \full \next \lose 1 Grupujemy (pierwszy z czwartym) i wy¬©czamy przed nawias: \half 3 2 2 3(x +1) -7x(x+1) = 3(x+1)(x -x+1) - 7x(x+1) = (x+1)(3x -10x+3) = 0. \full \next \lose 1 Wyznaczamy pierwiastki z r®wna­: x+1 = 0, 3x¾-10x+3 = 0. \end help \end question \end exercise \type 12fw \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª 9 5 1 ÈÈÈÈÈ + ÈÈ < ÈÈÈÈÈÈÈÈ . 8x-40 32 8x-x¾-15 \end text \begin question \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª 9 5 1 ÈÈÈÈÈ + ÈÈ < ÈÈÈÈÈÈÈÈ . 8x-40 32 8x-x¾-15 Podaj rozwi©zanie w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w. \end text \points 9 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct (-1/5,1)U(3,5) \end answer \begin help \window 1,2,79,23 \lose 2 Zak¬adamy, ±e x Ë 3, x Ë 5. Przenosimy na jedn© stron« i sprowadzamy do wsp®lnego mianownika. \next \lose 2 Dostajemy \half 5x¾-4x-1 ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ- < 0. 32(x-5)(x-3) \full \next \lose 1 Rozk¬adamy licznik na czynniki: Ä = 36, xÉ = -1/5, xÊ = 1. \next \lose 1 Iloraz ma taki sam znak, jak iloczyn wi«c rozwi©zujemy nier®wno¯ª: (x+1/5)(x-1)(x-5)(x-3) < 0. \next \lose 2 Szkicujemy wykres zmiany znaku funkcji z lewej strony i odczytujemy rozwi©zanie nier®wno¯ci. Miejsca zerowe to -1/5, 1, 3, 5. \window 2,12,22,22 \scale -8,-16,8,8 \poly6 0,0,1,-8.8,21.2,-10.4,-3 \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª x¾-7x+6 ÈÈÈÈÈÈÈÈ Æ 2. x¾-8x+15 \end text \begin question \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª x¾-7x+6 ÈÈÈÈÈÈÈÈ Æ 2. x¾-8x+15 Podaj rozwi©zanie w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w. \end text \points 9 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct (-Ö,3)U(5,+Ö) \correct (-Ö,3)U(5,Ö) \end answer \begin help \window 1,2,79,23 \lose 2 Zak¬adamy, ±e x Ë 3, x Ë 5. Przenosimy na jedn© stron« i sprowadzamy do wsp®lnego mianownika. \next \lose 2 Dostajemy: \half -x¾+9x-24 ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ- Æ 0. (x-5)(x-3) \full \next \lose 1 Badamy licznik: Ä = 81-4Ô24 < 0. Licznik jest zawsze mniejszy od zera. \next \lose 1 Rozwi©zujemy nier®wno¯ª (x-5)(x-3) Ç 0. \next \lose 2 Szkicujemy wykres zmiany znaku funkcji z lewej strony i odczytujemy rozwi©zanie nier®wno¯ci. Miejsca zerowe to 3, 5. \window 2,12,22,22 \scale -8,-2,8,8 \poly6 0,0,0,0,1,-8,15 \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª x(x¾-x)+9x-6 ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ Æ -1. x¾-5x+6 \end text \begin question \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª x(x¾-x)+9x-6 ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ Æ -1. x¾-5x+6 Podaj rozwi©zanie w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w. \end text \points 9 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct (-Ö,0>U(2,3) \end answer \begin help \window 1,2,79,23 \lose 2 Zak¬adamy, ±e x Ë 2, x Ë 3. Przenosimy na jedn© stron« i sprowadzamy do wsp®lnego mianownika. \next \lose 2 Dostajemy \half x(x¾+4) ÈÈÈÈÈÈÈÈÈ- Æ 0. (x-3)(x-2) \full \next \lose 1 Wyra±enie x¾+4 jest zawsze dodatnie, wi«c mo±emy je zaniedbaª. \next \lose 1 Iloraz ma taki sam znak, jak iloczyn wi«c rozwi©zujemy nier®wno¯ª: x(x-3)(x-2) Æ 0. \next \lose 2 Szkicujemy wykres zmiany znaku funkcji z lewej strony i odczytujemy rozwi©zanie nier®wno¯ci. Miejsca zerowe to 0, 2, 3. \window 2,12,22,22 \scale -6,-6,6,6 \poly6 0,0,0,1,-5,6,0 \end help \end question \end exercise \type 12fw \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± r®wnanie x+2 ÈÈÈÈÈ = 2x+3. Ïx+1Ï \end text \begin question \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± r®wnanie x+2 ÈÈÈÈÈ = 2x+3. Ïx+1Ï Podaj pierwiastki kolejno, np. -3,-2,1/3 \end text \points 12 \begin answer \length 20 \wrong 4 \correct -1+s(2)/2 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Zak¬adamy, ±e x Ë -1. Rozpatrujemy przypadek x > -1. \next \lose 2 Wtedy Ïx+1Ï = x+1. Mno±ymy obustronnie przez x+1. \next \lose 1 Mamy r®wnanie: -2x¾-4x-1 = 0, \next \lose 2 Ä = 8, xÉ = -1+¸(2)/2, xÊ = -1-¸(2)/2. \next \lose 2 xÊ nie spe¬nia za¬o±enia x > -1, wiec zostaje xÉ. Teraz badamy przypadek x < -1. \next \lose 1 Ïx+1Ï = -x-1. Dostajemy r®wnanie 2x¾+6x+5 = 0. Ä < 0. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± r®wnanie 6x¾-16 Ï2xÏ ÈÈÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ = -1. 3x+4 3x+4 \end text \begin question \title Funkcje wymierne \begin text Rozwi©± r®wnanie 6x¾-16 Ï2xÏ ÈÈÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ = -1. 3x+4 3x+4 Podaj najmniejszy z pierwiastk®w. \end text \points 12 \begin answer \length 20 \wrong 4 \correct (-5-s(313))/12 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Zak¬adamy, ±e x Ë -4/3. Mamy Ï2xÏ = 2ÏxÏ. Rozpatrujemy przypadek x Ç 0. \next \lose 2 Wtedy ÏxÏ = x. Mno±ymy obustronnie przez 3x+4. \next \lose 1 Mamy r®wnanie: 6x¾+x-12 = 0, \next \lose 2 Ä = 289, ¸(Ä) = 17, xÉ = -18/12, xÊ = 16/12 = 4/3. \next \lose 2 xÉ nie spe¬nia za¬o±enia x Ç 0, wiec zostaje xÊ. Teraz badamy przypadek x < 0, \next \lose 1 ÏxÏ = -x. Dostajemy r®wnanie 6x¾+5x-12 = 0. Ä =313, xÉ = (-5-¸(313)/12, xÊ = (-5+¸(313))/12. xÊ nie spe¬nia za¬o±enia x < 0. \end help \end question \end exercise