\type 2fg \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny \begin text Czy punkt A = (2,-5,3) nale±y do prostej przechodz©cej przez punkt B = (4,-6,9) i r®wnoleg¬ej do wektora [1,2,-3] ? \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (2,-5,3) nale±y do prostej przechodz©cej przez punkt B = (4,-6,9) i r®wnoleg¬ej do wektora [1,2,-3] ? \end text \points 6 \begin answer \length 3 \wrong 5 \correct n \end answer \begin help \lose 2 JeŻli nale±y, to wektor AB musi byŞ r®wnoleg¬y do wektora [1,2,-3]. \next \lose 2 Pytamy wi«c, czy istnieje liczba t taka, ±e [2,-1,6] = tÔ[1,2,-3], \next \lose 1 czyli, czy istnieje t takie, ±e 2 = tÔ1, -1 = tÔ2, 6 = tÔ(-3) ? \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (-7,-1,-26) nale±y do prostej przechodz©cej przez punkt B = (1,5,-2) i r®wnoleg¬ej do wektora [4,3,12] ? \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (-7,-1,-26) nale±y do prostej przechodz©cej przez punkt B = (1,5,-2) i r®wnoleg¬ej do wektora [4,3,12] ? \end text \points 6 \begin answer \length 3 \wrong 5 \correct t \end answer \begin help \lose 2 JeŻli nale±y, to wektor AB musi byŞ r®wnoleg¬y do wektora [4,3,12]. \next \lose 2 Pytamy wi«c, czy istnieje liczba t taka, ±e [8,6,24] = tÔ[4,3,12], \next \lose 1 czyli, czy istnieje t takie, ±e 8 = tÔ4, 6 = tÔ3, 24 = tÔ12 ? \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (4,0,-1) nale±y do prostej przechodz©cej przez punkt B = (1,-3,5) i r®wnoleg¬ej do wektora [2,4,3] ? \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (4,0,-1) nale±y do prostej przechodz©cej przez punkt B = (1,-3,5) i r®wnoleg¬ej do wektora [2,4,3] ? \end text \points 6 \begin answer \length 3 \wrong 5 \correct n \end answer \begin help \lose 2 JeŻli nale±y, to wektor AB musi byŞ r®wnoleg¬y do wektora [2,4,3]. \next \lose 2 Pytamy wi«c, czy istnieje liczba t taka, ±e [-3,-3,6] = tÔ[2,4,3], \next \lose 1 czyli, czy istnieje t takie, ±e -3 = tÔ2, -3 = tÔ4, 6 = tÔ3 ? \end help \end question \end exercise \type 2fg \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Czy punkt A = (1,2,3) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (1,0,2) i r®wnoleg¬ej do wektor®w [1,1,1] i [1,-1,0] ? \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (1,2,3) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (1,0,2) i r®wnoleg¬ej do wektor®w [1,1,1] i [1,-1,0] ? \end text \points 6 \begin answer \length 3 \wrong 5 \correct n \end answer \begin help \lose 2 JeŻli nale±y, to wektor AB musi byŞ r®wnoleg¬y do kombinacji liniowej wektor®w [1,1,1] i [1,-1,0]. \next \lose 2 Pytamy wi«c, czy istniej© liczby t i s takie, ±e [0,-2,-1] = tÔ[1,1,1]+s[1,-1,0], \next \lose 1 czyli, czy istniej© t i s takie, ±e 0 = t+s, -2 = t-s, -1 = t ? \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Czy punkt A = (-3,1,-2) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (4,0,-2) i r®wnoleg¬ej do wektor®w [7,-5,1] i [3,1,-1] ? \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (-3,1,-2) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (4,0,-2) i r®wnoleg¬ej do wektor®w [7,-5,1] i [3,1,-1] ? \end text \points 6 \begin answer \length 3 \wrong 5 \correct n \end answer \begin help \lose 2 JeŻli nale±y, to wektor AB musi byŞ r®wnoleg¬y do kombinacji liniowej wektor®w [7,-5,1] i [3,1,-1]. \next \lose 2 Pytamy wi«c, czy istniej© liczby t i s takie, ±e [7,-1,0] = tÔ[7,-5,1]+s[3,1,-1], \next \lose 1 czyli, czy istniej© t i s takie, ±e 7 = 7t+3s, -1 = -5t+s, 0 = t-s ? \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Czy punkt A = (1,2,3) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (2,-1,1) i r®wnoleg¬ej do wektor®w [1,0,1] i [0,1,1] ? \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (1,2,3) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (2,-1,1) i r®wnoleg¬ej do wektor®w [1,0,1] i [0,1,1] ? \end text \points 6 \begin answer \length 3 \wrong 5 \correct t \end answer \begin help \lose 2 JeŻli nale±y, to wektor AB musi byŞ r®wnoleg¬y do kombinacji liniowej wektor®w [1,0,1] i [0,1,1]. \next \lose 2 Pytamy wi«c, czy istniej© liczby t i s takie, ±e [1,-3,-2] = tÔ[1,0,1]+s[0,1,1], \next \lose 1 czyli, czy istniej© t i s takie, ±e 1 = t, -3 = s, -2 = t+s ? \end help \end question \end exercise \type 2fg \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Czy punkt A = (3,-2,-5) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (-1,6,3) i prostopad¬ej do wektora [4,-1,3] ? \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (3,-2,-5) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (-1,6,3) i prostopad¬ej do wektora [4,-1,3] ? \end text \points 6 \begin answer \length 3 \wrong 5 \correct t \end answer \begin help \lose 3 R®wnanie p¬aszczyzny prostopad¬ej do wektora [4,-1,3] i przechodz©cej przez punkt (-1,6,3): 4Ô(x+1)-1Ô(y-6)+3Ô(z-3) = 0 czyli 4x-y+3z+1 = 0. \next \lose 2 Sprawdzamy, czy punkt A do niej nale±y, czyli, czy jego wsp®¬rz«dne spe¬niaj© r®wnanie p¬aszczyzny. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Czy punkt A = (-2,1,1) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (0,4,1) i prostopad¬ej do wektora [2,-3,-1] ? \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (-2,1,1) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (0,4,1) i prostopad¬ej do wektora [2,-3,-1] ? \end text \points 6 \begin answer \length 3 \wrong 5 \correct n \end answer \begin help \lose 3 R®wnanie p¬aszczyzny prostopad¬ej do wektora [2,-3,-1] i przechodz©cej przez punkt (0,4,1): 2Ô(x-0)-3Ô(y-4)-1Ô(z-1) = 0, czyli 2x-3y-z+13 = 0. \next \lose 2 Sprawdzamy, czy punkt A do niej nale±y, czyli, czy jego wsp®¬rz«dne spe¬niaj© r®wnanie p¬aszczyzny. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Czy punkt A = (-4,1,2) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (5,1,-3) i prostopad¬ej do wektora [1,-4,6] ? \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Czy punkt A = (-4,1,2) nale±y do p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt B = (5,1,-3) i prostopad¬ej do wektora [1,-4,6] ? \end text \points 6 \begin answer \length 3 \wrong 5 \correct n \end answer \begin help \lose 3 R®wnanie p¬aszczyzny prostopad¬ej do wektora [1,-4,6] i przechodz©cej przez punkt (5,1,-3): 1Ô(x-5)-4Ô(y-1)+6Ô(z+3) = 0, czyli x-4y+6z+17 = 0. \next \lose 2 Sprawdzamy, czy punkt A do niej nale±y, czyli czy jego wsp®¬rz«dne spe¬niaj© r®wnanie p¬aszczyzny. \end help \end question \end exercise \type 2fg \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Oblicz odleg¬oŻŞ punktu A = (2,1,4) od osi x. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Oblicz odleg¬oŻŞ punktu A = (2,1,4) od osi x. \end text \points 5 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct s(17) \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Rzut A' punktu A = (2,1,4) na oŻ x (z=0, y=0) ma wsp®¬rz«dne (2,0,0). \next \lose 1 Odleg¬oŻŞ A od A' wynosi \half ĐČČČČČČŃ Ő0+1+4ľ = ... \full \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Oblicz odleg¬oŻŞ punktu A = (2,-1,2) od osi y. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Oblicz odleg¬oŻŞ punktu A = (2,-1,2) od osi y. \end text \points 5 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct s(8) \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Rzut A' punktu A = (2,-1,2) na oŻ y (z=0, x=0) ma wsp®¬rz«dne (0,-1,0). \next \lose 1 Odleg¬oŻŞ A od A' wynosi \half ĐČČČČČČČŃ Ő2ľ+0+2ľ = ... \full \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Oblicz odleg¬oŻŞ punktu A = (-3,2,4) od osi z. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Oblicz odleg¬oŻŞ punktu A = (-3,2,4) od osi z. \end text \points 5 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct s(13) \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Rzut A' punktu A = (-3,2,4) na oŻ z (x=0, y=0) ma wsp®¬rz«dne (0,0,4). \next \lose 1 Odleg¬oŻŞ A od A' wynosi \half ĐČČČČČČČČŃ Ő3ľ+2ľ+0ľ = ... \full \end help \end question \end exercise \type 2fg \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Napisz r®wnanie p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt A = (-2,7,3) i r®wnoleg¬ej do p¬aszczyzny x-4y+5z-1 = 0. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Napisz r®wnanie p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt A = (-2,7,3) i r®wnoleg¬ej do p¬aszczyzny x-4y+5z-1 = 0. Podaj odpowied° w postaci ax+by+cz+d np. 2x+y-5x+2 \end text \points 3 \begin answer \length 20 \wrong 2 \correct x-4y+5z+15 \end answer \begin help \lose 1 Szukane r®wnanie ma te same wsp®¬czynniki przy x, y, z. \next \lose 1 Szukamy wyrazu wolnego: 1(x+2)-4(y-7)+5(z-3) = 0. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Napisz r®wnanie p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt A = (3,5,3) i r®wnoleg¬ej do p¬aszczyzny 4x-5y+3z-1 = 0. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Napisz r®wnanie p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt A = (3,5,3) i r®wnoleg¬ej do p¬aszczyzny 4x-5y+3z-1 = 0. Podaj odpowied° w postaci ax+by+cz+d np. 2x+y-5x+2 \end text \points 3 \begin answer \length 20 \wrong 2 \correct 4x-5y+3z+4 \end answer \begin help \lose 1 Szukane r®wnanie ma te same wsp®¬czynniki przy x, y, z. \next \lose 1 Szukamy wyrazu wolnego: 4(x-3)-5(y-5)+3(z-3) = 0. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Napisz r®wnanie p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt A = (1,3,-2) i r®wnoleg¬ej do p¬aszczyzny 3x-y+5z+1 = 0. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Napisz r®wnanie p¬aszczyzny przechodz©cej przez punkt A = (1,3,-2) i r®wnoleg¬ej do p¬aszczyzny 3x-y+5z+1 = 0. Podaj odpowied° w postaci ax+by+cz+d np. 2x+y-5x+2 \end text \points 3 \begin answer \length 20 \wrong 2 \correct 3x-y+5z+10 \end answer \begin help \lose 1 Szukane r®wnanie ma te same wsp®¬czynniki przy x, y, z. \next \lose 1 Szukamy wyrazu wolnego: 3(x-1)-(y-3)+5(z+2) = 0. \end help \end question \end exercise \type 2fg \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Znajd° rzuty wektor®w [2,-1,5] i [2,-6,-2] na p¬aszczyzn« xy oraz oblicz cosinus k©ta zawartego pomi«dzy tymi rzutami. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Znajd° rzuty wektor®w [2,-1,5] i [2,-6,-2] na p¬aszczyzn« xy. Oblicz cosinus k©ta zawartego pomi«dzy tymi rzutami. \end text \points 3 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct 1/s(2) \evaluate \end answer \begin help \lose 1 Rzuty te maj© trzeci© wsp®¬rz«dn© r®wn© zero: \next \lose 1 [2,-1,0], [2,-6,0]. Skorzystaj ze wzoru na cosinus k©ta pomi«dzy danymi wektorami. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Znajd° rzuty wektor®w [2,-3,4] i [-1,-2,3] na p¬aszczyzn« xy oraz oblicz cosinus k©ta zawartego pomi«dzy tymi rzutami. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Znajd° rzuty wektor®w [2,-3,4] i [-1,-2,3] na p¬aszczyzn« xy. Oblicz cosinus k©ta zawartego pomi«dzy tymi rzutami. \end text \points 3 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct 4/s(65) \evaluate \end answer \begin help \lose 1 Rzuty te maj© trzeci© wsp®¬rz«dn© r®wn© zero: \next \lose 1 [2,-3,0], [-1,-2,0]. Skorzystaj ze wzoru na cosinus k©ta pomi«dzy danymi wektorami. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text \cont Znajd° rzuty wektor®w [2,-1,3] i [-2,5,-1] na p¬aszczyzn« yz oraz oblicz cosinus k©ta zawartego pomi«dzy tymi rzutami. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Znajd° rzuty wektor®w [2,-1,3] i [-2,5,-1] na p¬aszczyzn« yz. Oblicz cosinus k©ta zawartego pomi«dzy tymi rzutami. \end text \points 3 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct -4/s(65) \evaluate \end answer \begin help \lose 1 Rzuty te maj© pierwsz© wsp®¬rz«dn© r®wn© zero: \next \lose 1 [0,-1,3], [0,5,-1]. Skorzystaj ze wzoru na cosinus k©ta pomi«dzy danymi wektorami. \end help \end question \end exercise \type 2fg \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Znajd° rzut punktu A = (3,-2,4) na p¬aszczyzn« 5x+3y-7z+1 = 0. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Znajd° rzut punktu A = (3,-2,4) na p¬aszczyzn« 5x+3y-7z+1 = 0. Podaj kolejno jego wsp®¬rz«dne, np. 1/2,-4/577,-9 (u¬amki w postaci a/b). \end text \points 12 \begin answer \length 25 \wrong 3 \correct 339/83,-112/83,206/83 \end answer \begin help \lose 2 Wektor prostopad¬y do danej p¬aszczyzny: [5,3,-7]. \next \lose 2 R®wnanie prostej przechodz©cej przez punkt A i r®wnoleg¬ej do wektora [5,3,-7]: x = 3+5t, y = -2+3t, z = 4-7t. \next \lose 3 Punkt wsp®lny tej prostej i danej p¬aszczyzny: 5(3+5t)+3(-2+3t)-7(4-7t)+1 = 0. \next \lose 3 Czyli t = 18/83. Ten punkt prostej jest rzutem punktu A na p¬aszczyzn«. Jego wsp®¬rz«dne otrzymamy podstawiaj©c wyliczon© wartoŻŞ t do r®wnania prostej. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Znajd° rzut punktu A = (0,4,-1) na p¬aszczyzn« x-y+3z+8 = 0. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Znajd° rzut punktu A = (0,4,-1) na p¬aszczyzn« x-y+3z+8 = 0. Podaj kolejno jego wsp®¬rz«dne, np. 1/2,-4/577,-9 (u¬amki w postaci a/b). \end text \points 12 \begin answer \length 25 \wrong 3 \correct -1/11,45/11,-14/11 \end answer \begin help \lose 2 Wektor prostopad¬y do danej p¬aszczyzny: [1,-1,3]. \next \lose 2 R®wnanie prostej przechodz©cej przez punkt A i r®wnoleg¬ej do wektora [1,-1,3]: x = t, y = 4-t, z = -1+3t. \next \lose 3 Punkt wsp®lny tej prostej i danej p¬aszczyzny: t-(4-t)+3(-1+3t)+8 = 0. \next \lose 3 Czyli t = -1/11. Ten punkt prostej jest rzutem punktu A na p¬aszczyzn«. Jego wsp®¬rz«dne otrzymamy podstawiaj©c wyliczon© wartoŻŞ t do r®wnania prostej. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Znajd° rzut punktu A = (4,3,10) na p¬aszczyzn« x+4y-3z+7 = 0. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text Znajd° rzut punktu A = (4,3,10) na p¬aszczyzn« x+4y-3z+7 = 0. Podaj kolejno jego wsp®¬rz«dne, np. 1/2,-4/577,-9 (u¬amki w postaci a/b). \end text \points 12 \begin answer \length 25 \wrong 3 \correct 111/26,53/13,239/26 \correct 111/26,106/26,239/26 \end answer \begin help \lose 2 Wektor prostopad¬y do danej p¬aszczyzny: [1,4,-3]. \next \lose 2 R®wnanie prostej przechodz©cej przez punkt A i r®wnoleg¬ej do wektora [1,4,-3]: x = 4+t, y = 3+4t, z = 10-3t. \next \lose 3 Punkt wsp®lny tej prostej i danej p¬aszczyzny: 4+t+4(3+4t)-3(10-3t)+7 = 0. \next \lose 3 Czyli t = 7/26. Ten punkt prostej jest rzutem punktu A na p¬aszczyzn«. Jego wsp®¬rz«dne otrzymamy podstawiaj©c wyliczon© wartoŻŞ t do r®wnania prostej. \end help \end question \end exercise \type 2fg \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie p¬aszczyzn: 4x-5y+3z-1 = 0, x-4y- z+9 = 0. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie p¬aszczyzn: 4x-5y+3z-1 = 0, x-4y- z+9 = 0. 1) P¬aszczyzny rownoleg¬e. 2) P¬aszczyzny prostopad¬e. 3) P¬aszczyzny przecinaj©ce sie, ale nie prostopad¬e. Jako odpowied° podaj jedn© z liczb: 1,2,3 \end text \points 6 \begin answer \length 1 \wrong 5 \correct 3 \end answer \begin help \lose 2 Wystarczy zbadaŞ wzajemne po¬o±enie wektor®w prostopad¬ych do danych p¬aszczyzn. \next \lose 2 Wektorem prostopad¬ym do pierwszej p¬aszczyzny jest [4,-5,3], \next \lose 1 zaŻ do drugiej - [1,-4,-1]. Jakie jest wzajemne po¬o±enie tych wektor®w? \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie p¬aszczyzn: x+2y+3z-1 = 0, 6x-9y+4z+3 = 0. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie p¬aszczyzn: x+2y+3z-1 = 0, 6x-9y+4z+3 = 0. 1) P¬aszczyzny rownoleg¬e. 2) P¬aszczyzny prostopad¬e. 3) P¬aszczyzny przecinaj©ce sie, ale nie prostopad¬e. Jako odpowied° podaj jedn© z liczb: 1,2,3 \end text \points 6 \begin answer \length 1 \wrong 5 \correct 2 \end answer \begin help \lose 2 Wystarczy zbadaŞ wzajemne po¬o±enie wektor®w prostopad¬ych do danych p¬aszczyzn. \next \lose 2 Wektorem prostopad¬ym do pierwszej p¬aszczyzny jest [1,2,3], \next \lose 1 zaŻ do drugiej - [6,-9,4]. Jakie jest wzajemne po¬o±enie tych wektor®w? \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie p¬aszczyzn: 2x-4y+6z+8 = 0, -x+2y-3z+1 = 0. \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie p¬aszczyzn: 2x-4y+6z+8 = 0, -x+2y-3z+1 = 0. 1) P¬aszczyzny rownoleg¬e. 2) P¬aszczyzny prostopad¬e. 3) P¬aszczyzny przecinaj©ce sie, ale nie prostopad¬e. Jako odpowied° podaj jedn© z liczb: 1,2,3 \end text \points 6 \begin answer \length 1 \wrong 5 \correct 1 \end answer \begin help \lose 2 Wystarczy zbadaŞ wzajemne po¬o±enie wektor®w prostopad¬ych do danych p¬aszczyzn. \next \lose 2 Wektorem prostopad¬ym do pierwszej p¬aszczyzny jest [2,-4,6], \next \lose 1 zaŻ do drugiej - [-1,2,-3]. Jakie jest wzajemne po¬o±enie tych wektor®w? \end help \end question \end exercise \type 2fg \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie prostych p i q, gdzie prosta p przechodzi przez punkty (1,7,5), (3,8,9), prosta q przechodzi przez punkty (6,-1,0), (3,1,-1). \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie prostej p przechodz©cej przez (1,7,5), (3,8,9) i prostej q przez (6,-1,0), (3,1,-1). 1) Proste rownoleg¬e. 2) Przecinaj©ce si« i prostopad¬e. 3) Przecinaj©ce si«, ale nie prostopad¬e. 4) SkoŻne. Podaj jedn© z liczb:1,2,3,4 \end text \points 12 \begin answer \length 1 \wrong 11 \correct 3 \end answer \begin help \lose 2 Na wst«pie badamy wzajemne po¬o±enie wektor®w r®wnoleg¬ych do danych prostych. \next \lose 1 Wektorem r®wnoleg¬ym do prostej p jest [2,1,4], zaŻ do prostej q - [-3,2,-1]. \next \lose 2 Wektory te nie s© ani r®wnoleg¬e, ani prostopad¬e. Zatem pozostaj© mo±liwoŻci 3) lub 4). \next \lose 1 Trzeba sprawdziŞ, czy proste przecinaj© si«, czy te± nie. \next \lose 2 Prosta p ma r®wnanie Prosta q ma r®wnanie x = 1+2t, x = 6-3s, y = 7+ t, y = -1+2s, z = 5+4t. z = -s. \next \lose 2 Pozostaje wi«c do rozwi©zania uk¬ad r®wna­: 1+2t = 6-3s, 7+ t = -1+2s, 5+4t = -s. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie prostych p i q, gdzie prosta p przechodzi przez punkty (1,2,-3), (5,-4,6), prosta q przechodzi przez punkty (2,-5,3), (0,-2,-3/2). \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie prostej p przechodz©cej przez (1,2,-3), (5,-4,6) i prostej q przez (2,-5,3), (0,-2,-3/2). 1) Proste rownoleg¬e. 2) Przecinaj©ce si« i prostopad¬e. 3) Przecinaj©ce si«, ale nie prostopad¬e. 4) SkoŻne. Podaj 1,2,3 lub 4. \end text \points 12 \begin answer \length 1 \wrong 11 \correct 1 \end answer \begin help \lose 2 Na wst«pie badamy wzajemne po¬o±enie wektor®w r®wnoleg¬ych do danych prostych. \next \lose 3 Wektorem r®wnoleg¬ym do prostej p jest [4,-6,9], zaŻ do prostej q - [-2,3,-9/2]. Jakie jest ich wzajemne po¬o±enie? \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie prostych p i q, gdzie prosta p przechodzi przez punkty (1,-1,2), (2,2,1), prosta q przechodzi przez punkty (3,2,1), (2,0,2). \end text \begin question \title Proste i p¬aszczyzny w przestrzeni \begin text OkreŻl wzajemne po¬o±enie prostej p przechodz©cej przez (1,-1,2), (2,2,1) i prostej q przez (3,2,1), (2,0,2). 1) Proste rownoleg¬e. 2) Przecinaj©ce si« i prostopad¬e. 3) Przecinaj©ce si«, ale nie prostopad¬e. 4) SkoŻne. Podaj jedn© z liczb:1,2,3,4 \end text \points 12 \begin answer \length 1 \wrong 11 \correct 4 \end answer \begin help \lose 2 Na wst«pie badamy wzajemne po¬o±enie wektor®w r®wnoleg¬ych do danych prostych. \next \lose 1 Wektorem r®wnoleg¬ym do prostej p jest [1,3,-1], zaŻ do prostej q - [-1,-2,1]. \next \lose 2 Wektory te nie s© ani r®wnoleg¬e, ani prostopad¬e. Zatem pozostaj© mo±liwoŻci 3) lub 4). \next \lose 1 Trzeba sprawdziŞ, czy proste przecinaj© si«, czy te± nie. \next \lose 2 Prosta p ma r®wnanie Prosta q ma r®wnanie x = 1+ t, x = 3- s, y = -1+3t, y = 2-2s, z = 2- t. z = 1+ s. \next \lose 2 Pozostaje wi«c do rozwi©zania uk¬ad r®wna­: 1+ t = 3- s, -1+3t = 2-2s, 2- t = 1+ s. \end help \end question \end exercise