\type 2cl
\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Zbadaj czy ci©g

        n+1
    a = ÈÈÈ , n = 1,2,3,...
     n   n
 
jest monotoniczny.
\end text
\begin question
\globalexit
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
a) Zbadaj czy ci©g

        n+1
    a = ÈÈÈ , n = 1,2,3,...
     n   n
 
jest rosn©cy.
\end text
\points 3
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 1
Wypisz kilka pierwszych wyraz®w dla orientacji.
Zbadaj r®±nic«
\half
    a    - a .
     n+1    n
 
\full
Je¯li jest dodatnia dla ka±dego n, to ci©g jest rosn©cy.
\next
\lose 1
Czyli, pytamy czy
\half
     (n+1)+1   n+1
     ÈÈÈÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ > 0 ?
       n+1      n
 
\full
\end help
\end question

\begin question
\globalexit
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
b) Zbadaj czy ci©g

        n+1
    a = ÈÈÈ , n = 1,2,3,...
     n   n
 
jest malej©cy.
\end text
\points 3
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct t
\end answer
\begin help
\lose 1
Wypisz kilka pierwszych wyraz®w dla orientacji.
Zbadaj r®±nic«
\half
    a    - a .
     n+1    n
 
\full
Je¯li jest ujemna dla ka±dego n, to ci©g jest malej©cy.
\next
\lose 1
Czyli, pytamy czy
\half
     (n+1)+1   n+1
     ÈÈÈÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ < 0 ?
       n+1      n
 
\full

\end help
\end question



\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Zbadaj czy ci©g
 
             n
    a = 1 - 4 , n = 1,2,3,...
     n
 
jest monotoniczny.
\end text
\begin question
\globalexit
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
a) Zbadaj czy ci©g
 
             n
    a = 1 - 4 , n = 1,2,3,...
     n
 
jest rosn©cy.
\end text
\points 3
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 1
Wypisz kilka pierwszych wyraz®w dla orientacji.
Zbadaj r®±nic«
\half
    a    - a .
     n+1    n
 
\full
Je¯li jest dodatnia dla ka±dego n, to ci©g jest rosn©cy.
\next
\lose 1
Czyli, pytamy czy
\half
         n+1       n
    1 - 4    - (1-4 ) > 0 ?
 
\full
\end help
\end question

\begin question
\globalexit
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
b) Zbadaj czy ci©g
 
             n
    a = 1 - 4 , n = 1,2,3,...
     n
 
jest malej©cy.
\end text
\points 3
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct t
\end answer
\begin help
\lose 1
Wypisz kilka pierwszych wyraz®w dla orientacji.
Zbadaj r®±nic«
\half
    a    - a .
     n+1    n
 
\full
Je¯li jest ujemna dla ka±dego n, to ci©g jest malej©cy.
\next
\lose 1
Czyli, pytamy czy
\half
         n+1     n
    1 - 4   -(1-4 ) < 0 ?
 
\full

\end help
\end question



\end exercise






\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Zbadaj czy ci©g
            n
        (-1)
    a = ÈÈÈÈ , n = 1,2,3,...
     n   n
 
jest monotoniczny.
\end text
\begin question
\globalexit
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
a) Zbadaj czy ci©g
            n
        (-1)
    a = ÈÈÈÈ , n = 1,2,3,...
     n    n
 
jest rosn©cy.
\end text
\points 3
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 2
Wypisz kilka pierwszych wyraz®w dla orientacji.
Czy ci©g, kt®rego kolejne wyrazy zmieniaj© znak
mo±e byª monotoniczny?
\end help
\end question

\begin question
\globalexit
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
b) Zbadaj czy ci©g
            n
        (-1)
    a = ÈÈÈÈ , n = 1,2,3,...
     n    n
 
jest malej©cy.
\end text
\points 3
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct n
\end answer
\begin help
\lose 2
Wypisz kilka pierwszych wyraz®w dla orientacji.
Czy ci©g, kt®rego kolejne wyrazy zmieniaj© znak
mo±e byª monotoniczny?
\end help
\end question



\end exercise




\type 2cl
\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Pierwszy wyraz ci©gu wynosi 3/2.
Ci©g jest zadany wzorem rekurencyjnym:
 
    a  = 3a   .
     n     n-1
 
Oblicz wyraz pi©ty.
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Pierwszy wyraz ci©gu wynosi 3/2.
Ci©g jest zadany wzorem rekurencyjnym:
 
    a  = 3a   .
     n     n-1
 
Oblicz wyraz pi©ty.
\end text
\points 4
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct 121.5
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Wyraz drugi aÊ, to 3ÔaÉ, oblicz go.
I tak dalej do wyrazu pi©tego.
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Pierwszy wyraz ci©gu wynosi 2.
Ci©g jest zadany wzorem rekurencyjnym:
 
    a  = a    + 3.
     n    n-1
 
Oblicz wyraz sz®sty.
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Pierwszy wyraz ci©gu wynosi 2.
Ci©g jest zadany wzorem rekurencyjnym:
 
    a  = a   + 3.
     n    n-1
 
Oblicz wyraz sz®sty.
\end text
\points 4
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct 17
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Wyraz drugi aÊ, to aÉ+3, oblicz go.
I tak dalej do wyrazu sz®stego.
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Pierwszy wyraz ci©gu wynosi 1/2.
Ci©g jest zadany wzorem rekurencyjnym:
 
    a  = -2a    + 1.
     n      n-1
 
Oblicz wyraz si®dmy.
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Pierwszy wyraz ci©gu wynosi 1/2.
Ci©g jest zadany wzorem rekurencyjnym:
 
    a  = -2a    + 1.
     n      n-1
 
Oblicz wyraz si®dmy.
\end text
\points 4
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct 11
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Wyraz drugi aÊ, to -2ÔaÉ+1, oblicz go.
I tak dalej do wyrazu si®dmego.
\end help
\end question

\end exercise




\type 2cl
\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Ile liczb wi«kszych od 3000 zapisanych za 
pomoc© r®±nych cyfr mo±na utworzyª z {1,2,3,4} ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Ile liczb wi«kszych od 3000 zapisanych za 
pomoc© r®±nych cyfr mo±na utworzyª z {1,2,3,4} ?
\end text
\points 6
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct 12
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Te liczby musz© si« zaczynaª na 3 lub 4.
\next
\lose 2
W ka±dym przypadku pozosta¬e mo±na ustawiª na 3! sposob®w.
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Ile liczb wi«kszych od 30000 zapisanych za 
pomoc© r®±nych cyfr mo±na utworzyª z {1,2,3,4,5} ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Ile liczb wi«kszych od 30000 zapisanych za 
pomoc© r®±nych cyfr mo±na utworzyª z {1,2,3,4,5} ?
\end text
\points 6
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct 72
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Te liczby musz© si« zaczynaª na 3, 4 lub 5.
\next
\lose 2
W ka±dym przypadku pozosta¬e mo±na ustawiª na 4! sposob®w.
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Ile liczb wi«kszych od 2000 zapisanych za 
pomoc© r®±nych cyfr mo±na utworzyª z {1,2,3,4} ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Ile liczb wi«kszych od 2000 zapisanych za 
pomoc© r®±nych cyfr mo±na utworzyª z {1,2,3,4} ?
\end text
\points 6
\begin answer
\length 5 
\wrong 2
\correct 18
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Te liczby musz© si« zaczynaª na 2, 3 lub 4.
\next
\lose 2
W ka±dym przypadku pozosta¬e mo±na ustawiª na 3! sposob®w.
\end help
\end question

\end exercise




\type 2cl
\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Liczba permutacji z n+2 element®w 
jest 42 razy wi«ksza ni± liczba permutacji z n element®w.
 
Ile wynosi n ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Liczba permutacji z n+2 element®w 
jest 42 razy wi«ksza ni± liczba permutacji z n element®w.
 
Ile wynosi n ?
\end text
\points 8
\begin answer
\length 5 
\wrong 3
\correct 5
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Z tematu zadania mamy (n+2)! = 42Ôn!
\next
\lose 2
     (n+2)! = (n+2)(n+1)n!,
\next
\lose 2
czyli (n+2)(n+1) = 42.
Rozwi©zujemy r®wnanie kwadratowe pami«taj©c, ±e interesuj© nas rozwi©zania 
naturalne.
Mo±na te± zgadn©ª rozwi©zanie.
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Liczba permutacji z n+3 element®w 
jest 60 razy wi«ksza ni± liczba permutacji z n element®w.
 
Ile wynosi n ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Liczba permutacji z n+3 element®w 
jest 60 razy wi«ksza ni± liczba permutacji z n element®w.
 
Ile wynosi n ?
\end text
\points 8
\begin answer
\length 5 
\wrong 3
\correct 2
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Z tematu zadania mamy (n+3)! = 60Ôn!
\next
\lose 2
     (n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)n!,
\next
\lose 2
czyli (n+3)(n+2)(n+1) = 60.
Rozwi©zujemy r®wnanie pami«taj©c, ±e interesuj© nas rozwi©zania naturalne.
Mo±na te± zgadn©ª rozwi©zanie.
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Liczba permutacji z n+2 element®w 
jest 30 razy wi«ksza ni± liczba permutacji z n element®w.
 
Ile wynosi n ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Liczba permutacji z n+2 element®w 
jest 30 razy wi«ksza ni± liczba permutacji z n element®w.
 
Ile wynosi n ?
\end text
\points 8
\begin answer
\length 5 
\wrong 3
\correct 4
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Z tematu zadania mamy (n+2)! = 40Ôn!
\next
\lose 2
     (n+2)! = (n+2)(n+1)n!,
\next
\lose 2
czyli (n+2)(n+1) = 30.
Rozwi©zujemy r®wnanie kwadratowe pami«taj©c, ±e interesuj© nas rozwi©zania 
naturalne.
Mo±na te± zgadn©ª rozwi©zanie.
\end help
\end question

\end exercise




\type 2cl
\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Korzystaj©c ze wzoru Newtona wylicz wsp®¬czynnik 
 
                  2   6                    8
wyst«puj©cy przy x Ô y  w rozwini«ciu (x+y) .
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Korzystaj©c ze wzoru Newtona wylicz wsp®¬czynnik 
 
                  2   6                    8
wyst«puj©cy przy x Ô y  w rozwini«ciu (x+y) .
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5 
\wrong 3
\correct 28
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Wsp®¬czynnik ten r®wna si«
     ½8º
     ¼6»
\next
\lose 1
\half
czyli   8Ô7
        ÈÈÈ .
        1Ô2
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Korzystaj©c ze wzoru Newtona wylicz wsp®¬czynnik 
 
                  6                    11
wyst«puj©cy przy x  w rozwini«ciu (1-x)  .
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Korzystaj©c ze wzoru Newtona wylicz wsp®¬czynnik 
 
                  6                    11
wyst«puj©cy przy x  w rozwini«ciu (1-x)  .
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5 
\wrong 3
\correct 462
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Wsp®¬czynnik ten r®wna si«
     ½11º
     ¼ 6»
\next
\lose 1
\half
czyli   11Ô10Ô9Ô8Ô7Ô6
        ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ .
          1Ô2Ô3Ô4Ô5Ô6
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Korzystaj©c ze wzoru Newtona wylicz wsp®¬czynnik 
 
                  9   3                    12
wyst«puj©cy przy x Ô y  w rozwini«ciu (x+y) .
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Korzystaj©c ze wzoru Newtona wylicz wsp®¬czynnik 
 
                  9   3                    12
wyst«puj©cy przy x Ô y  w rozwini«ciu (x+y) .
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5 
\wrong 3
\correct 220
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Wsp®¬czynnik ten r®wna si«
     ½12º
     ¼ 3»
\next
\lose 1
\half
czyli   12Ô11Ô10
        ÈÈÈÈÈÈÈÈ .
          1Ô2Ô3
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\type 2cl
\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu arytmetycznym mamy dane:
wyraz pierwszy = 2, r®±nica = -3.
Ile wynosi wyraz sz®sty ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu arytmetycznym mamy dane:
wyraz pierwszy = 2, r®±nica = -3.
Ile wynosi wyraz sz®sty ?
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5
\wrong 3
\correct -13
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
Korzystamy ze wzoru:
\half
 
     a  = aÉ + (n-1)Ôr.
      n
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu arytmetycznym mamy dane:
wyraz pi©ty = 9/2, r®±nica = 1.
Ile wynosi wyraz pierwszy ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu arytmetycznym mamy dane:
wyraz pi©ty = 9/2, r®±nica = 1.
Ile wynosi wyraz pierwszy ?
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5
\wrong 3
\correct 1/2
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
Korzystamy ze wzoru:
\half
 
     a  = aÉ + (n-1)Ôr.
      n
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu arytmetycznym mamy dane:
wyraz n-ty = -4, wyraz pierwszy = 7/2, r®±nica = -3/2.
Ile wynosi n ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu arytmetycznym mamy dane:
wyraz n-ty = -4, wyraz pierwszy = 7/2, r®±nica = -3/2.
Ile wynosi n ?
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5
\wrong 3
\correct 6
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
Korzystamy ze wzoru:
\half
 
     a  = aÉ + (n-1)Ôr.
      n
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu arytmetycznym mamy dane:
wyraz pierwszy = 3, wyraz pi©ty = 6.
Ile wynosi r®±nica ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu arytmetycznym mamy dane:
wyraz pierwszy = 3, wyraz pi©ty = 6.
Ile wynosi r®±nica ?
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5
\wrong 3
\correct 0.75
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
Korzystamy ze wzoru:
\half
 
     a  = aÉ + (n-1)Ôr.
      n
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\type 2cl
\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu geometrycznym mamy dane:
wyraz pierwszy = 1/2, iloraz = 1/3.
Ile wynosi wyraz pi©ty ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu geometrycznym mamy dane:
wyraz pierwszy = 1/2, iloraz = 1/3.
Ile wynosi wyraz pi©ty ?
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5 
\wrong 3
\correct 1/162
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
Korzystamy ze wzoru:
\half
               n-1
     a  = aÉ Ôq   .
      n
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu geometrycznym mamy dane:
wyraz pierwszy = 2, wyraz n-ty = 2/243, iloraz = 1/3.
Ile wynosi n ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu geometrycznym mamy dane:
wyraz pierwszy = 2, wyraz n-ty = 2/243, iloraz = 1/3.
Ile wynosi n ?
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5 
\wrong 3
\correct 6
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
Korzystamy ze wzoru:
\half
               n-1
     a  = aÉ Ôq   .
      n
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu geometrycznym mamy dane:
wyraz pierwszy = 1/4, wyraz czwarty = 27/4.
Ile wynosi iloraz ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu geometrycznym mamy dane:
wyraz pierwszy = 1/4, wyraz czwarty = 27/4.
Ile wynosi iloraz ?
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5 
\wrong 3
\correct 3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
Korzystamy ze wzoru:
\half
               n-1
     a  = aÉ Ôq   .
      n
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu geometrycznym mamy dane:
wyraz pi©ty = 3/16, iloraz = 1/2.
Ile wynosi wyraz pierwszy ?
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
W ci©gu geometrycznym mamy dane:
wyraz pi©ty = 3/16, iloraz = 1/2.
Ile wynosi wyraz pierwszy ?
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5 
\wrong 3
\correct 3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 3
Korzystamy ze wzoru:
\half
               n-1
     a  = aÉ Ôq   .
      n
 
\full
\end help
\end question

\end exercise




\type 2cl
\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
U¬amek okresowy 0.2(13) przedstaw w postaci a/b.
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
U¬amek okresowy 0.2(13) przedstaw w postaci a/b.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 10 
\wrong 3
\correct 211/990
\end answer
\begin help
\lose 3
Mamy 0.2 + 0.0(13).
Do obliczenia tego drugiego sk¬adnika
korzystamy ze wzoru na sum« post«pu geometrycznego:
\half
          aÉ 
     s = ÈÈÈÈ .
         1-q
 
\full
\next
\lose 1
Dane: aÉ = 13/1000,
       q = 1/100.
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
U¬amek okresowy 0.54(3) przedstaw w postaci a/b.
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
U¬amek okresowy 0.54(3) przedstaw w postaci a/b.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 10 
\wrong 3
\correct 163/300
\end answer
\begin help
\lose 3
Mamy 0.54 + 0.00(3).
Do obliczenia tego drugiego sk¬adnika
korzystamy ze wzoru na sum« post«pu geometrycznego:
\half
          aÉ 
     s = ÈÈÈÈ .
         1-q
 
\full
\next
\lose 1
Dane: aÉ = 3/1000,
       q = 1/10.
\end help
\end question

\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
U¬amek okresowy 0.1(1) przedstaw w postaci a/b.
\end text
\begin question
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
U¬amek okresowy 0.1(1) przedstaw w postaci a/b.
\end text
\points 5
\begin answer
\length 10 
\wrong 3
\correct 1/9
\end answer
\begin help
\lose 3
Mamy 0.1 + 0.0(1).
Do obliczenia tego drugiego sk¬adnika
korzystamy ze wzoru na sum« post«pu geometrycznego:
\half
          aÉ 
     s = ÈÈÈÈ .
         1-q
 
\full
\next
\lose 1
Dane: aÉ = 1/100,
       q = 1/10.
\end help
\end question

\end exercise




\type 2cl
\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Jakie granice (przy n -> +Ö) maj© ci©gi:

    3n¾    n¾+4n
    ÈÈÈÈ , ÈÈÈÈÈ .
    n¾+4    n+3
 
\end text
\begin question
\globalexit
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
a) Jak© granic« ma ci©g
 
    3n¾
    ÈÈÈÈ .
    n¾+4
 
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct 3
\end answer
\begin help
\lose 2
Dzielimy licznik i mianownik przez n¾.
\next
\lose 1
\half
       3
     ÈÈÈÈÈ .
        4
     1+ ÈÈ
        n¾
 
\full
\next
\lose 1
Korzystamy z tego, ±e 4/n¾ zmierza do zera
oraz z twierdze­ o granicy sumy i ilorazu.
\end help
\end question

\begin question
\globalexit
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
b) Jak© granic« ma ci©g:
 
    n¾+4n
    ÈÈÈÈÈ .
     n+3
 
\end text
\points 4
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct Ö
\correct +Ö
\end answer
\begin help
\lose 2
Stopie­ licznika jest wi«kszy od stopnia mianownika i to powinno Ci
wystarczyª.
\next
\lose 1
Mo±emy te± podzieliª licznik i mianownik przez n¾.
Wtedy licznik zmierza do 1, a mianownik do 0 (i jest dodatni).
Ca¬o¯ª ...
\end help
\end question



\end exercise




\begin exercise
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
Jakie granice (przy n -> +Ö) maj© ci©gi:

    n¾+4    2n+1
    ÈÈÈÈÈ , ÈÈÈÈ .
    7-3n¾   n¾-4
 
\end text
\begin question
\globalexit
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
a) Jak© granic« ma ci©g
 
    n¾+4
    ÈÈÈÈ .
    7-3n¾
 
\end text
\points 5
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct -1/3
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Dzielimy licznik i mianownik przez n¾.
\next
\lose 1
\half
         4
     1 + ÈÈ
         n¾
     ÈÈÈÈÈÈ .
     7
     ÈÈ - 3
     n¾
 
\full
\next
\lose 1
Korzystamy z tego, ±e 4/n¾ i 7/n¾ zmierzaj© do zera
oraz z twierdze­ o granicy sumy i ilorazu.
\end help
\end question

\begin question
\globalexit
\title Ci©gi liczbowe
\begin text
b) Jak© granic« ma ci©g:
 
    2n+1
    ÈÈÈÈ .
    n¾-4
 
\end text
\points 4
\begin answer
\length 5
\wrong 2
\correct 0
\evaluate
\end answer
\begin help
\lose 2
Stopie­ licznika jest mniejszy od stopnia mianownika i to powinno Ci
wystarczyª.
\next
\lose 1
Mo±emy te± podzieliª licznik i mianownik przez n¾.
Wtedy licznik zmierza do 0, a mianownik do 1.
Ca¬o¯ª ...
\end help
\end question



\end exercise