\type 1lr \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podany zbi®r jest ograniczony od g®ry? A = zbi®r pot«g naturalnych liczby 3. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podany zbi®r jest ograniczony od g®ry? A = zbi®r pot«g naturalnych liczby 3. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct n \end answer \begin help \lose 1 Zbi®r jest ograniczony od g®ry je¯li znajdziemy liczb«, kt®ra jest wi«ksza od wszystkich liczb z danego zbioru. \next \lose 1 Czy istnieje liczba M taka, ±e \half n 3 Æ M dla ka±dego n ? \full \next \lose 1 Np. sprawd° czy M = 100 jest tak© liczb©. Do jakiej pot«gi n trzeba podnie¯ª 3 aby \half n 3 > 100. \full \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podany zbi®r jest ograniczony od do¬u? A = zbi®r pot«g naturalnych liczby -2. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podany zbi®r jest ograniczony od do¬u? A = zbi®r pot«g naturalnych liczby -2. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct n \end answer \begin help \lose 1 Zbi®r jest ograniczony od do¬u je¯li znajdziemy liczb«, kt®ra jest mniejsza od wszystkich liczb z danego zbioru. \next \lose 1 Czy istnieje liczba M taka, ±e \half n M Æ (-2) dla ka±dego n ? \full \next \lose 1 Np. sprawd° czy M = -1000 jest tak© liczb©. Do jakiej pot«gi n trzeba podnie¯ª -2 aby \half n -1000 > (-2) \full (zastan®w si« nad znaczeniem parzysto¯ci liczby n). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podany zbi®r jest ograniczony od g®ry? 1 A = zbi®r liczb postaci 2 + È , n = 1,2,3... . n \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podany zbi®r jest ograniczony od g®ry? 1 A = zbi®r liczb postaci 2 + È , n = 1,2,3... . n \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct t \end answer \begin help \lose 1 Zbi®r jest ograniczony od g®ry je¯li znajdziemy liczb«, kt®ra jest wi«ksza od wszystkich liczb z danego zbioru. \next \lose 1 Czy istnieje liczba M taka, ±e \half 1 2 + È Æ M dla ka±dego n ? n \full \next \lose 1 Np. sprawd° czy M = 2.5 jest tak© liczb©. Dla jakich n jest °le, tzn. \half 1 2 + È > 2.5. n \full Popraw liczb« M tak, aby by¬o dobrze. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podany zbi®r jest ograniczony od do¬u? A = zbi®r pot«g naturalnych liczby 3. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podany zbi®r jest ograniczony od do¬u? A = zbi®r pot«g naturalnych liczby 3. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct t \end answer \begin help \lose 1 Zbi®r jest ograniczony od do¬u je¯li znajdziemy liczb«, kt®ra jest mniejsza od wszystkich liczb z danego zbioru. \next \lose 1 Czy istnieje liczba M taka, ±e \half n M Æ 3 dla ka±dego n ? \full \next \lose 1 Np. sprawd° czy M = 10 jest tak© liczb©. Je¯li nie to szukaj dalej. Proponuj« sprawdzenie nast«puj©cych kandydat®w: -3, 100, 0. \end help \end question \end exercise \type 1lr \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podane zbiory maj© kresy g®rne w zbiorze liczb wymiernych? a) A = {x³W : 2 Æ x¾ Æ 3}, b) B = {x³W : 2 Æ x¾ Æ 4}. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Czy podany zbi®r ma kres g®rny w zbiorze liczb wymiernych? A = {x³W : 2 Æ x¾ Æ 3}. \end text \points 5 \begin answer \length 5 \wrong 4 \correct n \end answer \begin help \lose 1 Kres g®rny to najmniejsza z liczb ograniczaj©cych dany zbi®r od g®ry. \next \lose 1 Kandydatem jest ¸3, ale nie jest to liczba wymierna. \next \lose 1 Liczba wymierna mniejsza od ¸3 nie ogranicza zbioru od g®ry. \next \lose 1 Liczba wymierna wi«ksza od ¸3, ¸3 < p, ogranicza zbi®r od g®ry, ale nie jest najmniejsza, gdy± zawsze znajd« liczb« wymiern© q tak©, ±e ¸3 < q < p. \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Czy podany zbi®r ma kres g®rny w zbiorze liczb wymiernych? B = {x³W : 2 Æ x¾ Æ 4}. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct t \end answer \begin help \lose 1 Kres g®rny to najmniejsza z liczb ograniczaj©cych dany zbi®r od g®ry. \next \lose 1 Kandydatem jest 2. Czy je¯li x³B to x Æ 2? (czyli: czy 2 ogranicza zbi®r od g®ry?) \next \lose 1 Czy liczba mniejsza od 2 ogranicza B od g®ry? (je¯li nie, to 2 jest najmniejszym ograniczeniem) \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podane zbiory maj© kresy g®rne w zbiorze liczb wymiernych? a) A = {x³W : 2 Æ x¾ Æ 16}, b) B = {x³W : 2 Æ x¾ < 16}. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Czy podany zbi®r ma kres g®rny w zbiorze liczb wymiernych? A = {x³W : 2 Æ x¾ Æ 16}. \end text \points 5 \begin answer \length 5 \wrong 4 \correct t \end answer \begin help \lose 1 Kres g®rny to najmniejsza z liczb ograniczaj©cych dany zbi®r od g®ry. \next \lose 1 Kandydatem jest 4. To, czy kandydat nale±y do zbioru czy te± nie, nie ma znaczenia. Czy je¯li x³A to x Æ 4? (czyli: czy 4 ogranicza zbi®r od g®ry?) \next \lose 1 Czy liczba mniejsza od 4 ogranicza A od g®ry? (je¯li nie, to 4 jest najmniejszym ograniczeniem) \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Czy podany zbi®r ma kres g®rny w zbiorze liczb wymiernych? B = {x³W : 2 Æ x¾ < 16}. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct t \end answer \begin help \lose 1 Kres g®rny to najmniejsza z liczb ograniczaj©cych dany zbi®r od g®ry. \next \lose 1 Kandydatem jest 4. Czy je¯li x³B to x Æ 4? (czyli: czy 4 ogranicza zbi®r od g®ry?) \next \lose 1 Czy liczba mniejsza od 4 ogranicza B od g®ry? (je¯li nie, to 4 jest najmniejszym ograniczeniem) To, czy kandydat nale±y do zbioru czy te± nie, nie ma znaczenia. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podane zbiory maj© kresy dolne w zbiorze liczb wymiernych? a) A = {x³W : 0 Æ x¾ Æ 3}, b) B = {x³W : 0 Æ x¾ Æ 4}. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Czy podany zbi®r ma kres dolny w zbiorze liczb wymiernych? A = {x³W : 0 Æ x¾ Æ 3}. \end text \points 5 \begin answer \length 5 \wrong 4 \correct n \end answer \begin help \lose 1 Kres dolny to najwi«kza z liczb ograniczaj©cych dany zbi®r od do¬u. \next \lose 1 Je¯li masz na my¯li 0 to znaczy, ±e zapomnia¬e¯ o liczbach ujemnych. Kandydatem jest -¸3, ale nie jest to liczba wymierna. \next \lose 1 Liczba wymierna wi«ksza od -¸3 nie ogranicza zbioru od do¬u. \next \lose 1 Liczba wymierna mniejsza od -¸3, p < -¸3, ogranicza zbi®r od do¬u, ale nie jest najwi«ksz©, gdy± zawsze znajd« liczb« wymiern© q tak©, ±e p < q < -¸3. \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Czy podany zbi®r ma kres dolny w zbiorze liczb wymiernych? B = {x³W : 0 Æ x¾ Æ 4}. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct t \end answer \begin help \lose 1 Kres dolny to najwi«ksza z liczb ograniczaj©cych dany zbi®r od do¬u. \next \lose 1 Je¯li masz na my¯li 0 to znaczy, ±e zapomnia¬e¯ o liczbach ujemnych. Kandydatem jest -2. Czy je¯li x³B to -2 Æ x? (czyli: czy -2 ogranicza zbi®r od do¬u?) \next \lose 1 Czy liczba wi«ksza od -2 ogranicza B od do¬u? (je¯li nie, to -2 jest najwi«kszym ograniczeniem) To, czy kandydat nale±y do zbioru czy te± nie, nie ma znaczenia. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Czy podane zbiory maj© kresy dolne w zbiorze liczb wymiernych? a) A = {x³W : 1 Æ x¾ Æ 9}, b) B = {x³W : 0 Æ x¾ < 9}. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Czy podany zbi®r ma kres dolny w zbiorze liczb wymiernych? A = {x³W : 1 Æ x¾ Æ 9}. \end text \points 5 \begin answer \length 5 \wrong 4 \correct t \end answer \begin help \lose 1 Kres dolny to najwi«ksza z liczb ograniczaj©cych dany zbi®r od do¬u. \next \lose 1 Je¯li masz na my¯li 1 to znaczy, ±e zapomnia¬e¯ o liczbach ujemnych. Kandydatem jest -3. \next \lose 1 Czy je¯li x³A to -3 Æ x? (czyli: czy -3 ogranicza zbi®r od do¬u?) \next \lose 1 Czy liczba wi«ksza od -3 ogranicza A od do¬u? (je¯li nie, to -3 jest najmniejszym ograniczeniem) \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Czy podany zbi®r ma kres dolny w zbiorze liczb wymiernych? B = {x³W : 0 Æ x¾ < 9}. \end text \points 4 \begin answer \length 5 \wrong 3 \correct t \end answer \begin help \lose 1 Kres dolny to najwi«ksza z liczb ograniczaj©cych dany zbi®r od do¬u. \next \lose 1 Je¯li masz na my¯li 0 to znaczy, ±e zapomnia¬e¯ o liczbach ujemnych. Kandydatem jest -3. Czy je¯li x³B to -3 Æ x? (czyli: czy -3 ogranicza zbi®r od do¬u?) \next \lose 1 Czy liczba wi«ksza od -3 ogranicza B od do¬u? (je¯li nie, to -3 jest najmniejszym ograniczeniem) To, czy kandydat nale±y do zbioru czy te± nie, nie ma znaczenia. \end help \end question \end exercise \type 1lr \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Podaj najwi«kszy i najmniejszy element zbioru (o ile istniej©) A = {x³R : x > 0 i 4 < x¾ < 10}. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Podaj najwi«kszy element zbioru A = {x³R : x > 0 i 4 < x¾ < 10}, a je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 3 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct - \end answer \begin help \lose 2 Kandydatem jest ¸(10), ale czy ta liczba nale±y do zbioru? \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Podaj najmniejszy element zbioru A = {x³R : x > 0 i 4 < x¾ < 10}, a je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 3 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct - \end answer \begin help \lose 2 Kandydatem jest 2, ale czy nale±y do zbioru? \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Podaj najwi«kszy i najmniejszy element zbioru (o ile istniej©) A = {x³R : x > 0 i 4 < x¾ Æ 10}. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Podaj najwi«kszy element zbioru A = {x³R : x > 0 i 4 < x¾ Æ 10}, a je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 3 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct ¸(10) \end answer \begin help \lose 2 Kandydatem jest ¸(10), ale czy ta liczba nale±y do zbioru? \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Podaj najmniejszy element zbioru A = {x³R : x > 0 i 4 < x¾ Æ 10}, a je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 3 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct - \end answer \begin help \lose 2 Kandydatem jest 2, ale czy nale±y do zbioru?. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Podaj najwi«kszy i najmniejszy element zbioru (o ile istniej©) A = {x³R : x > 0 i 4 Æ x¾ < 10}. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Podaj najwi«kszy element zbioru A = {x³R : x > 0 i 4 Æ x¾ < 10}, a je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 3 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct - \end answer \begin help \lose 2 Kandydatem jest ¸(10), ale czy ta liczba nale±y do zbioru? \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Podaj najmniejszy element zbioru A = {x³R : x > 0 i 4 Æ x¾ < 10}, a je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 3 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct 2 \end answer \begin help \lose 2 Kandydatem jest 2, ale czy nale±y do zbioru? \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Podaj najwi«kszy i najmniejszy element zbioru (o ile istniej©) A = {x³R : x > 0 i 4 Æ x¾ Æ 10}. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Podaj najwi«kszy element zbioru A = {x³R : x > 0 i 4 Æ x¾ Æ 10}, a je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 3 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct ¸(10) \end answer \begin help \lose 2 Kandydatem jest ¸(10), ale czy ta liczba nale±y do zbioru? \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Podaj najmniejszy element zbioru A = {x³R : x > 0 i 4 Æ x¾ Æ 10}, a je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 3 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct 2 \end answer \begin help \lose 2 Kandydatem jest 2, ale czy nale±y do zbioru? \end help \end question \end exercise \type 1lr \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Podaj kres g®rny i kres dolny zbioru (o ile istniej©) 1 A = { 3 - È : n³N i n Ç 2}. n \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Podaj kres dolny zbioru (o ile istnieje) 1 A = { 3 - È : n³N i n Ç 2}. n Je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 4 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct 2.5 \correct 5/2 \correct 2,5 \end answer \begin help \lose 2 Wypisz kilka element®w zbioru (np. dla n = 2,3,4,5). \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Podaj kres g®rny zbioru (o ile istnieje) 1 A = { 3 - È : n³N i n Ç 2}. n Je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 5 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct 3 \end answer \begin help \lose 2 Wypisz kilka element®w zbioru (np. dla n = 2,3,4,5). \next \lose 1 Jakie liczby ograniczaj© zbi®r od g®ry? Wyznacz najmniejsz©. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Podaj kres g®rny i kres dolny zbioru (o ile istniej©) 1 A = { 4 + È : n³N i n Ç 2}. n \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Podaj kres dolny zbioru (o ile istnieje) 1 A = { 4 + È : n³N i n Ç 2}. n Je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 5 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct 4 \end answer \begin help \lose 2 Wypisz kilka element®w zbioru (np. dla n = 2,3,4,5). \next \lose 1 Jakie liczby ograniczaj© zbi®r od do¬u? Wyznacz najwi«ksz©. \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Podaj kres g®rny zbioru (o ile istnieje) 1 A = { 4 + È : n³N i n Ç 2}. n Je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 4 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct 4.5 \correct 9/2 \correct 4,5 \end answer \begin help \lose 2 Wypisz kilka element®w zbioru (np. dla n = 2,3,4,5). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Podaj kres g®rny i kres dolny zbioru (o ile istniej©) 1 A = { 5 + È : n³N i n Ç 2}. n¾ \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Podaj kres dolny zbioru (o ile istnieje) 1 A = { 5 + È : n³N i n Ç 2}. n¾ Je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 5 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct 5 \end answer \begin help \lose 2 Wypisz kilka element®w zbioru (np. dla n = 2,3,4,5). \next \lose 1 Jakie liczby ograniczaj© zbi®r od do¬u? Wyznacz najwi«ksz©. \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Podaj kres g®rny zbioru (o ile istnieje) 1 A = { 5 + È : n³N i n Ç 2}. n¾ Je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 4 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct 5.25 \correct 21/4 \correct 5,25 \end answer \begin help \lose 2 Wypisz kilka element®w zbioru (np. dla n = 2,3,4,5). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Podaj kres g®rny i kres dolny zbioru (o ile istniej©) 1 A = { - È : n³N i n Ç 2}. n \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Podaj kres dolny zbioru (o ile istnieje) 1 A = { - È : n³N i n Ç 2}. n Je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 4 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct -0.5 \correct -1/2 \correct -0,5 \correct -(1/2) \end answer \begin help \lose 2 Wypisz kilka element®w zbioru (np. dla n = 2,3,4,5). \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Podaj kres g®rny zbioru (o ile istnieje) 1 A = { - È : n³N i n Ç 2}. n Je¯li nie istnieje, to podaj jako odpowied°: - \end text \points 5 \begin answer \length 7 \wrong 2 \correct 0 \end answer \begin help \lose 2 Wypisz kilka element®w zbioru (np. dla n = 2,3,4,5). \next \lose 1 Jakie liczby ograniczaj© zbi®r od g®ry? Wyznacz najmniejsz©. \end help \end question \end exercise \type 1lr \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Zapisz zbi®r w postaci przedzia¬u i zaznacz go na osi liczbowej: A = {x³R : -4 < x Æ 2 lub 1 < x Æ 3 }. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Zapisz w postaci przedzia¬u zbi®r A = {x³R : -4 < x Æ 2 lub 1 < x Æ 3 }. \end text \points 3 \begin answer \length 10 \wrong 1 \correct (-4,3> \end answer \begin help \lose 1 Zastan®w si«, czy liczby z przedzia¬®w (-4,1), (1,2), (2,3) nale±© do zbioru A. Czy 1 i 2 nale±© do A? Uwaga na ko­ce: -4 i 3. \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Zaznacz na osi liczbowej zbi®r A = {x³R : -4 < x Æ 2 lub 1 < x Æ 3 }. Podaj numer obrazka. \end text \points 3 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 3 \end answer \begin pictures \scale -5,-5,5,5 \window 1,2,21,10 \text -5,-5,1 \axis \segment [-4,3] \window 30,2,50,10 \text -5,-5,2 \axis \segment (2,8) \window 59,2,79,10 \text -5,-5,3 \axis \segment (-4,3] \window 1,15,21,23 \text -5,-5,4 \axis \segment (-4,3) \window 30,15,50,23 \text -5,-5,5 \axis \segment [-4,2) \window 59,15,79,23 \text -5,-5,6 \axis \segment [1,3) \end pictures \begin help \lose 2 Je¯li koniec nale±y do przedzia¬u, to zaznaczamy to kropk©, a jak nie, to ma¬ym k®¬eczkiem. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Zapisz zbi®r w postaci przedzia¬u i zaznacz go na osi liczbowej: A = {x³R : -4 < x Æ 2 i 1 < x Æ 3 }. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Zapisz w postaci przedzia¬u zbi®r A = {x³R : -4 < x Æ 2 i 1 < x Æ 3 }. \end text \points 3 \begin answer \length 10 \wrong 1 \correct (1,2> \end answer \begin help \lose 1 Zastan®w si«, czy liczby z przedzia¬®w (-4,1), (1,2), (2,3) nale±© do zbioru A. Czy 1 i 2 nale±© do A? \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Zaznacz na osi liczbowej zbi®r A = {x³R : -4 < x Æ 2 i 1 < x Æ 3 }. Podaj numer obrazka. \end text \points 3 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 5 \end answer \begin pictures \scale -5,-5,5,5 \window 1,2,21,10 \text -5,-5,1 \axis \segment (-4,3] \window 30,2,50,10 \text -5,-5,2 \axis \segment (2,3) \window 59,2,79,10 \text -5,-5,3 \axis \segment (1,3] \window 1,15,21,23 \text -5,-5,4 \axis \segment (-4,3) \window 30,15,50,23 \text -5,-5,5 \axis \segment (1,2] \window 59,15,79,23 \text -5,-5,6 \axis \segment [1,2) \end pictures \begin help \lose 2 Je¯li koniec nale±y do przedzia¬u, to zaznaczamy to kropk©, a jak nie, to ma¬ym k®¬eczkiem. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Zapisz zbi®r w postaci przedzia¬u i zaznacz go na osi liczbowej: A = {x³R : 1 < x Æ 2 lub -1 < x Æ 3 }. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Zapisz w postaci przedzia¬u zbi®r A = {x³R : 1 < x Æ 2 lub -1 < x Æ 3 }. \end text \points 3 \begin answer \length 10 \wrong 1 \correct (-1,3> \end answer \begin help \lose 1 Zastan®w si«, czy liczby z przedzia¬®w (-1,1), (1,2), (2,3) nale±© do zbioru A. Czy -1, 1, 2, 3 nale±© do A? \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Zanacz na osi liczbowej zbi®r A = {x³R : 1 < x Æ 2 lub -1 < x Æ 3 }. Podaj numer obrazka. \end text \points 3 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 1 \end answer \begin pictures \scale -5,-5,5,5 \window 1,2,21,10 \text -5,-5,1 \axis \segment (-1,3] \window 30,2,50,10 \text -5,-5,2 \axis \segment (2,3] \window 59,2,79,10 \text -5,-5,3 \axis \segment (-2,3] \window 1,15,21,23 \text -5,-5,4 \axis \segment (1,2) \window 30,15,50,23 \text -5,-5,5 \axis \segment (-1,3) \window 59,15,79,23 \text -5,-5,6 \axis \segment [1,3) \end pictures \begin help \lose 2 Je¯li koniec nale±y do przedzia¬u, to zaznaczamy to kropk©, a jak nie, to ma¬ym k®¬eczkiem. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Zapisz zbi®r w postaci przedzia¬u i zaznacz go na osi liczbowej: A = {x³R : 1 < x Æ 2 i -1 < x Æ 3 }. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Zapisz w postaci przedzia¬u zbi®r A = {x³R : 1 < x Æ 2 i -1 < x Æ 3 }. \end text \points 3 \begin answer \length 10 \wrong 1 \correct (1,2> \end answer \begin help \lose 1 Zastan®w si«, czy liczby z przedzia¬®w (-1,1), (1,2), (2,3) nale±© do zbioru A. Czy liczby -1, 1, 2, 3 nale±© do A? \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Zaznacz na osi liczbowej zbi®r A = {x³R : 1 < x Æ 2 i -1 < x Æ 3 }. Podaj numer obrazka. \end text \points 3 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 2 \end answer \begin pictures \scale -5,-5,5,5 \window 1,2,21,10 \text -5,-5,1 \axis \segment [-1,3] \window 30,2,50,10 \text -5,-5,2 \axis \segment (1,2] \window 59,2,79,10 \text -5,-5,3 \axis \segment (-1,3] \window 1,15,21,23 \text -5,-5,4 \axis \segment (-1,3) \window 30,15,50,23 \text -5,-5,5 \axis \segment [-1,2) \window 59,15,79,23 \text -5,-5,6 \axis \segment [1,3) \end pictures \begin help \lose 2 Je¯li koniec nale±y do przedzia¬u, to zaznaczamy to kropk© a jak nie, to ma¬ym k®¬eczkiem. \end help \end question \end exercise \type 1lr \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Zapisz zbi®r w postaci przedzia¬u i zaznacz go na osi liczbowej: A = {x³R : Ïx-1Ï Æ 2 }. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Zapisz w postaci przedzia¬u zbi®r A = {x³R : Ïx-1Ï Æ 2 }. \end text \points 8 \begin answer \length 10 \wrong 3 \correct <-1,3> \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy dwa przypadki: x-1 Ç 0 lub x-1 < 0. \next \lose 2 Gdy x-1 Ç 0, czyli x Ç 1 to Ïx-1Ï = x-1. \next \lose 1 Rozwi©zujemy nier®wno¯ª x-1 Æ 2, otrzymujemy x Æ 3 ale uwzgl«dniaj©c, ±e rozwa±amy tylko x Ç 1 otrzymujemy 1 Æ x Æ 3. \next \lose 1 Drugi przypadek: x-1 < 0, czyli x < 1. Wtedy Ïx-1Ï = -(x-1) = -x+1 i rozwi©zujemy nier®wno¯ª -x+1 Æ 2. \next \lose 1 Jej rozwi©zanie to x Ç -1 czyli w drugim przypadku mamy -1 Æ x < 1. Sumujemy zbiory otrzymane w obu przypadkach. \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Zaznacz na osi liczbowej zbi®r A = {x³R : Ïx-1Ï Æ 2 }. Podaj numer obrazka. \end text \points 3 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 6 \end answer \begin pictures \scale -5,-5,5,5 \window 1,2,21,10 \text -5,-5,1 \axis \segment [-1,2] \window 30,2,50,10 \text -5,-5,2 \axis \segment [-1,8) \window 59,2,79,10 \text -5,-5,3 \axis \segment (-1,3] \window 1,15,21,23 \text -5,-5,4 \axis \segment (0,3] \window 30,15,50,23 \text -5,-5,5 \axis \segment [1,3] \window 59,15,79,23 \text -5,-5,6 \axis \segment [-1,3] \end pictures \begin help \lose 2 Je¯li koniec nale±y do przedzia¬u, to zaznaczamy to kropk©, a jak nie, to ma¬ym k®¬eczkiem. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Zapisz zbi®r w postaci przedzia¬u i zaznacz go na osi liczbowej: A = {x³R : Ïx+1Ï Æ 2 }. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Zapisz w postaci przedzia¬u zbi®r A = {x³R : Ïx+1Ï Æ 2 }. \end text \points 8 \begin answer \length 10 \wrong 3 \correct <-3,1> \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy dwa przypadki: x+1 Ç 0 lub x+1 < 0. \next \lose 2 Gdy x+1 Ç 0, czyli x Ç -1 to Ïx+1Ï = x+1. \next \lose 1 Rozwi©zujemy nier®wno¯ª x+1 Æ 2, otrzymujemy x Æ 1, ale uwzgl«dniaj©c to, ±e rozwa±amy tylko x Ç -1 otrzymujemy -1 Æ x Æ 1. \next \lose 1 Drugi przypadek: x+1 < 0, czyli x < -1. Wtedy Ïx+1Ï = -(x+1) = -x-1 i rozwi©zujemy nier®wno¯ª -x-1 Æ 2. \next \lose 1 Jej rozwi©zanie to x Ç -3, czyli w drugim przzypadku mamy -3 Æ x < -1. Sumujemy zbiory otrzymane w obu przypadkach. \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Zaznacz na osi liczbowej zbi®r A = {x³R : Ïx+1Ï Æ 2 }. Podaj numer obrazka. \end text \points 3 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 1 \end answer \begin pictures \scale -5,-5,5,5 \window 1,2,21,10 \text -5,-5,1 \axis \segment [-3,1] \window 30,2,50,10 \text -5,-5,2 \axis \segment [-1,3] \window 59,2,79,10 \text -5,-5,3 \axis \segment (-1,3] \window 1,15,21,23 \text -5,-5,4 \axis \segment (0,3] \window 30,15,50,23 \text -5,-5,5 \axis \segment [1,3] \window 59,15,79,23 \text -5,-5,6 \axis \segment [-1,3) \end pictures \begin help \lose 2 Je¯li koniec nale±y do przedzia¬u, to zaznaczamy to kropk©, a jak nie, to ma¬ym k®¬eczkiem. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Zapisz zbi®r w postaci przedzia¬u i zaznacz go na osi liczbowej: A = {x³R : Ïx-1Ï < 2 }. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Zapisz w postaci przedzia¬u zbi®r A = {x³R : Ïx-1Ï < 2 }. \end text \points 8 \begin answer \length 10 \wrong 3 \correct (-1,3) \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy dwa przypadki: x-1 Ç 0 lub x-1 < 0. \next \lose 2 Gdy x-1 Ç 0, czyli x Ç 1, to Ïx-1Ï = x-1. \next \lose 1 Rozwi©zujemy nier®wno¯ª x-1 < 2, otrzymujemy x < 3, ale uwzgl«dniaj©c, ±e rozwa±amy tylko x Ç 1 otrzymujemy 1 Æ x < 3. \next \lose 1 Drugi przypadek: x-1 < 0, czyli x < 1. Wtedy Ïx-1Ï = -(x-1) = -x+1 i rozwi©zujemy nier®wno¯ª -x+1 < 2. \next \lose 1 Jej rozwi©zanie to x > -1, czyli w drugim przzypadku mamy -1 < x < 1. Sumujemy zbiory otrzymane w obu przypadkach. \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Zaznacz na osi liczbowej zbi®r A = {x³R : Ïx-1Ï < 2 }. Podaj numer obrazka. \end text \points 3 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 6 \end answer \begin pictures \scale -5,-5,5,5 \window 1,2,21,10 \text -5,-5,1 \axis \segment (-1,2) \window 30,2,50,10 \text -5,-5,2 \axis \segment (-1,8) \window 59,2,79,10 \text -5,-5,3 \axis \segment (-1,3] \window 1,15,21,23 \text -5,-5,4 \axis \segment (0,3) \window 30,15,50,23 \text -5,-5,5 \axis \segment [-1,3] \window 59,15,79,23 \text -5,-5,6 \axis \segment (-1,3) \end pictures \begin help \lose 2 Je¯li koniec nale±y do przedzia¬u, to zaznaczamy to kropk©, a jak nie, to ma¬ym k®¬eczkiem. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Zapisz zbi®r w postaci przedzia¬u i zaznacz go na osi liczbowej: A = {x³R : Ïx+1Ï < 2 }. \end text \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text a) Zapisz w postaci przedzia¬u zbi®r A = {x³R : Ïx+1Ï < 2 }. \end text \points 8 \begin answer \length 10 \wrong 3 \correct (-3,1) \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy dwa przypadki: x+1 Ç 0 lub x+1 < 0. \next \lose 2 Gdy x+1 Ç 0, czyli x Ç -1, to Ïx+1Ï = x+1. \next \lose 1 Rozwi©zujemy nier®wno¯ª x+1 < 2, otrzymujemy x < 1, ale uwzgl«dniaj©c to, ±e rozwa±amy tylko x Ç -1 otrzymujemy -1 Æ x < 1. \next \lose 1 Drugi przypadek: x+1 < 0, czyli x < -1. Wtedy Ïx+1Ï = -(x+1) = -x-1 i rozwi©zujemy nier®wno¯ª -x-1 < 2. \next \lose 1 Jej rozwi©zanie to x > -3, czyli w drugim przzypadku mamy -3 < x < -1. Sumujemy zbiory otrzymane w obu przypadkach. \end help \end question \begin question \globalexit \title Liczby rzeczywiste \begin text b) Zaznacz na osi liczbowej zbi®r A = {x³R : Ïx+1Ï < 2 }. Podaj numer obrazka. \end text \points 3 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 2 \end answer \begin pictures \scale -5,-5,5,5 \window 1,2,21,10 \text -5,-5,1 \axis \segment [-3,1] \window 30,2,50,10 \text -5,-5,2 \axis \segment (-3,1) \window 59,2,79,10 \text -5,-5,3 \axis \segment (-1,3) \window 1,15,21,23 \text -5,-5,4 \axis \segment [0,3) \window 30,15,50,23 \text -5,-5,5 \axis \segment [-1,2] \window 59,15,79,23 \text -5,-5,6 \axis \segment [-1,3) \end pictures \begin help \lose 2 Je¯li koniec nale±y do przedzia¬u, to zaznaczamy to kropk©, a jak nie, to ma¬ym k®¬eczkiem. \end help \end question \end exercise \type 1lr \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª Ïx-2Ï > 5. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª Ïx-2Ï > 5. Odpowied° podaj w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, np. <-Ö,2)U<3,5). \end text \points 8 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct (-Ö,-3)U(7,Ö) \correct (-Ö,-3)U(7,+Ö) \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy dwa przypadki: x-2 Ç 0 czyli x Ç 2 lub x-2 < 0 czyli x < 2. \next \lose 2 W pierwszym mamy Ïx-2Ï = x-2 i rozwi©zujemy nierowno¯ª x-2 > 5, a wi«c x > 7. Uwzgl«dniamy to, ±e rozpatrujemy teraz tylko x Ç 2 co nie zmienia wyniku. \next \lose 2 W drugim przypadku Ïx-2Ï = -(x-2) = -x+2 i rozwi©zujemy nier®wno¯ª -x+2 > 5. \next \lose 1 Otrzymujemy x < -3 (to, ±e teraz rozpatrujemy x < 2 nic nie zmienia). Dodajemy zbiory otrzymane w obu przypadkach. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª Ïx+2Ï Ç 5. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª Ïx+2Ï Ç 5. Odpowied° podaj w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, np. <-Ö,2)U<3,5). \end text \points 8 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct (-Ö,-7>U<3,Ö) \correct (-Ö,-7>U<3,+Ö) \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy dwa przypadki: x+2 Ç 0 czyli x Ç -2 lub x+2 < 0 czyli x < -2. \next \lose 2 W pierwszym mamy Ïx+2Ï = x+2 i rozwi©zujemy nierowno¯ª x+2 Ç 5, a wi«c x Ç 3. Uwzgl«dniamy to, ±e rozpatrujemy teraz tylko x Ç -2, co nie zmienia wyniku. \next \lose 2 W drugim przypadku Ïx+2Ï = -(x+2) = -x-2 i rozwi©zujemy nier®wno¯ª -x-2 Ç 5. \next \lose 1 Otrzymujemy x Æ -7 (to, ±e teraz rozpatrujemy x < -2 nic nie zmienia). Dodajemy zbiory otrzymane w obu przypadkach. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª Ïx-2Ï Ç 5. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª Ïx-2Ï Ç 5. Odpowied° podaj w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, np. <-Ö,2)U<3,5). \end text \points 8 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct (-Ö,-3>U<7,Ö) \correct (-Ö,-3>U<7,+Ö) \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy dwa przypadki: x-2 Ç 0 czyli x Ç 2 lub x-2 < 0 czyli x < 2. \next \lose 2 W pierwszym mamy Ïx-2Ï = x-2 i rozwi©zujemy nierowno¯ª x-2 Ç 5, a wi«c x Ç 7. Uwzgl«dniamy to, ±e rozpatrujemy teraz tylko x Ç 2, co nie zmienia wyniku. \next \lose 2 W drugim przypadku Ïx-2Ï = -(x-2) = -x+2 i rozwi©zujemy nier®wno¯ª -x+2 Ç 5. \next \lose 1 Otrzymujemy x Æ -3 (to, ±e teraz rozpatrujemy x < 2 nic nie zmienia). Dodajemy zbiory otrzymane w obu przypadkach. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª Ïx+2Ï > 2. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± nier®wno¯ª Ïx+2Ï > 2. Odpowied° podaj w postaci przedzia¬u lub sumy przedzia¬®w, np. <-Ö,2)U<3,5). \end text \points 8 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct (-Ö,-4)U(0,Ö) \correct (-Ö,-4)U(0,+Ö) \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy dwa przypadki: x+2 Ç 0 czyli x Ç -2 lub x+2 < 0 czyli x < -2. \next \lose 2 W pierwszym mamy: Ïx+2Ï = x+2 i rozwi©zujemy nierowno¯ª x+2 > 2, a wi«c x > 0. Uwzgl«dniamy to, ±e rozpatrujemy teraz tylko x Ç -2, co nie zmienia wyniku. \next \lose 2 W drugim przypadku Ïx+2Ï = -(x+2) = -x-2 i rozwi©zujemy nier®wno¯ª -x-2 > 2. \next \lose 1 Otrzymujemy x < -4 (to, ±e teraz rozpatrujemy x < -2 nic nie zmienia). Dodajemy zbiory otrzymane w obu przypadkach. \end help \end question \end exercise \type 1lr \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± r®wnanie Ïx-2Ï + ÏxÏ = 5. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± r®wnanie Ïx-2Ï + ÏxÏ = 5. Je¯li rozwi©za­ jest wi«cej ni± jedno, to podaj je kolejno, oddzielaj©c je przecinkami. U¬amki podaj w postaci a/b. \end text \points 12 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct -3/2,7/2 \correct 7/2,-3/2 \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy trzy przypadki: 1) x < 0 lub 2) 0 Æ x < 2 lub 3) 2 Æ x. \next \lose 2 W pierwszym mamy Ïx-2Ï = -(x-2) = -x+2 oraz ÏxÏ = -x. Rozwi©zujemy r®wnanie -x+2-x = 5. \next \lose 1 Czyli x = -3/2. Sprawdzamy czy to rozwi©zanie spe¬nia warunek przypadku 1). \next \lose 2 W drugim przypadku Ïx-2Ï = -(x-2) = -x+2 oraz ÏxÏ = x. Rozwi©zujemy r®wnanie -x+2+x = 5. \next \lose 1 Otrzymujemy sprzeczno¯ª: 2 = 5, czyli w tym przypadku nie ma rozwi©za­. \next \lose 2 W trzecim przypadku mamy Ïx-2Ï = x-2 oraz ÏxÏ = x. Rozwi©zujemy r®wnanie x-2+x = 5. \next \lose 1 Otrzymujemy x = 7/2. Sprawdzamy, czy spe¬nia warunek 3). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± r®wnanie Ïx+2Ï + ÏxÏ = 5. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± r®wnanie Ïx+2Ï + ÏxÏ = 5. Je¯li rozwi©za­ jest wi«cej ni± jedno, to podaj je kolejno, oddzielaj©c je przecinkami. U¬amki podaj w postaci a/b. \end text \points 12 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct -7/2,3/2 \correct 3/2,-7/2 \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy trzy przypadki: 1) x < -2 lub 2) -2 Æ x < 0 lub 3) 0 Æ x. \next \lose 2 W pierwszym mamy Ïx+2Ï = -(x+2) = -x-2 oraz ÏxÏ = -x. Rozwi©zujemy r®wnanie -x-2-x = 5. \next \lose 1 Czyli x = -7/2. Sprawdzamy, czy to rozwi©zanie spe¬nia warunek przypadku 1). \next \lose 2 W drugim przypadku Ïx+2Ï = x+2 oraz ÏxÏ = -x. Rozwi©zujemy r®wnanie x+2-x = 5. \next \lose 1 Otrzymujemy sprzeczno¯ª: 2 = 5, czyli w tym przypadku nie ma rozwi©za­. \next \lose 2 W trzecim przypadku mamy Ïx+2Ï = x+2 oraz ÏxÏ = x. Rozwi©zujemy r®wnanie x+2+x = 5. \next \lose 1 Otrzymujemy x = 3/2. Sprawdzamy, czy spe¬nia warunek 3). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± r®wnanie Ïx-2Ï + ÏxÏ = 4. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± r®wnanie Ïx-2Ï + ÏxÏ = 4. Je¯li rozwi©za­ jest wi«cej ni± jedno, to podaj je kolejno, oddzielaj©c je przecinkami. U¬amki podaj w postaci a/b. \end text \points 12 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct -1,3 \correct 3,-1 \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy trzy przypadki: 1) x < 0 lub 2) 0 Æ x < 2 lub 3) 2 Æ x. \next \lose 2 W pierwszym mamy Ïx-2Ï = -(x-2) = -x+2 oraz ÏxÏ = -x. Rozwi©zujemy r®wnanie -x+2-x = 4. \next \lose 1 Czyli x = -1. Sprawdzamy, czy to rozwi©zanie spe¬nia warunek przypadku 1). \next \lose 2 W drugim przypadku Ïx-2Ï = -(x-2) = -x+2 oraz ÏxÏ = x. Rozwi©zujemy r®wnanie -x+2+x = 4. \next \lose 1 Otrzymujemy sprzeczno¯ª: 2 = 4, czyli w tym przypadku nie ma rozwi©za­. \next \lose 2 W trzecim przypadku mamy Ïx-2Ï = x-2 oraz ÏxÏ = x. Rozwi©zujemy r®wnanie x-2+x = 4. \next \lose 1 Otrzymujemy x = 3. Sprawdzamy, czy spe¬nia warunek 3). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± r®wnanie ÏxÏ + Ïx+1Ï = 2. \end text \begin question \title Liczby rzeczywiste \begin text Rozwi©± r®wnanie ÏxÏ + Ïx+1Ï = 2. Je¯li rozwi©za­ jest wi«cej ni± jedno, to podaj je kolejno, oddzielaj©c je przecinkami. U¬amki podaj w postaci a/b. \end text \points 12 \begin answer \length 20 \wrong 3 \correct -3/2,1/2 \correct 1/2,-3/2 \end answer \begin help \lose 2 Rozwa±amy trzy przypadki: 1) x < -1 lub 2) -1 Æ x < 0 lub 3) 0 Æ x. \next \lose 2 W pierwszym mamy Ïx+1Ï = -(x+1) = -x-1 oraz ÏxÏ = -x. Rozwi©zujemy r®wnanie -x-1-x = 2. \next \lose 1 Czyli x = -3/2. Sprawdzamy, czy to rozwi©zanie spe¬nia warunek przypadku 1). \next \lose 2 W drugim przypadku Ïx+1Ï = x+1 oraz ÏxÏ = -x. Rozwi©zujemy r®wnanie x+1-x = 2. \next \lose 1 Otrzymujemy sprzeczno¯ª: 1 = 2, czyli w tym przypadku nie ma rozwi©za­. \next \lose 2 W trzecim przypadku mamy Ïx+1Ï = x+1 oraz ÏxÏ = x. Rozwi©zujemy r®wnanie x+1+x = 2. \next \lose 1 Otrzymujemy x = 1/2. Sprawdzamy, czy spe¬nia warunek 3). \end help \end question \end exercise