\type 2fm \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text W tr®jk©cie prostok©tnym dane s© d¬ugo¯ci rzut®w przyprostok©tnych na przeciwprostok©tn©: a = 2, b = 3. Oblicz pole tr®jk©ta. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text W tr®jk©cie prostok©tnym dane s© d¬ugo¯ci rzut®w przyprostok©tnych na przeciwprostok©tn©: a = 2, b = 3. Oblicz pole tr®jk©ta. \end text \points 10 \begin answer \length 10 \wrong 3 \correct 5s(6)/2 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 \window 2,2,26,15 \scale 0,0,8,6 \draw 3,1,13,4 \draw 13,4,1,4 \draw 1,4,3,1 \dotted \draw 3,1,3,4 \solid \text 2.8,0.5,A \text 0.5,4,B \text 13.2,4,C \text 1.8,4,a \text 5.3,4,b \text 3.1,2.5,h \window 2,12,79,23 \next \lose 1 P = ÀÏBCÏÔh, ÏBCÏ = a+b. \next \lose 2 Z tw. Pitagorasa h¾ = ÏABϾ-a¾, h¾ = ÏACϾ-b¾, (a+b)¾ = ÏABϾ+ÏACϾ. \next \lose 2 Dodajemy dwie pierwsze r®wno¯ci stronami: 2h¾ = ÏABϾ+ÏACϾ-a¾-b¾ i podstawiamy trzeci©: 2h¾ = (a+b)¾-a¾-b¾ = 2ab. \next \lose 1 Czyli h = ¸(ab). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text W tr®jk©cie prostok©tnym dane s© d¬ugo¯ci rzut®w przyprostok©tnych na przeciwprostok©tn©: a = 1, b = 4. Oblicz pole tr®jk©ta. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text W tr®jk©cie prostok©tnym dane s© d¬ugo¯ci rzut®w przyprostok©tnych na przeciwprostok©tn©: a = 1, b = 4. Oblicz pole tr®jk©ta. \end text \points 10 \begin answer \length 10 \wrong 3 \correct 5 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 \window 2,2,26,15 \scale 0,0,8,6 \draw 3,1,13,4 \draw 13,4,1,4 \draw 1,4,3,1 \dotted \draw 3,1,3,4 \solid \text 2.8,0.5,A \text 0.5,4,B \text 13.2,4,C \text 1.8,4,a \text 5.3,4,b \text 3.1,2.5,h \window 2,12,79,23 \next \lose 1 P = ÀÏBCÏÔh, ÏBCÏ = a+b. \next \lose 2 Z tw. Pitagorasa h¾ = ÏABϾ-a¾, h¾ = ÏACϾ-b¾, (a+b)¾ = ÏABϾ+ÏACϾ. \next \lose 2 Dodajemy dwie pierwsze r®wno¯ci stronami: 2h¾ = ÏABϾ+ÏACϾ-a¾-b¾ i podstawiamy trzeci©: 2h¾ = (a+b)¾-a¾-b¾ = 2ab. \next \lose 1 Czyli h = ¸(ab). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text W tr®jk©cie prostok©tnym dane s© d¬ugo¯ci rzut®w przyprostok©tnych na przeciwprostok©tn©: a = ¸(2), b = 2¸(2). Oblicz pole tr®jk©ta. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text W tr®jk©cie prostok©tnym dane s© d¬ugo¯ci rzut®w przyprostok©tnych na przeciwprostok©tn©: a = ¸(2), b = 2¸(2). Oblicz pole tr®jk©ta. \end text \points 10 \begin answer \length 10 \wrong 3 \correct 3s(2) \evaluate \end answer \begin help \lose 2 \window 2,2,26,15 \scale 0,0,8,6 \draw 3,1,13,4 \draw 13,4,1,4 \draw 1,4,3,1 \dotted \draw 3,1,3,4 \solid \text 2.8,0.5,A \text 0.5,4,B \text 13.2,4,C \text 1.8,4,a \text 5.3,4,b \text 3.1,2.5,h \window 2,12,79,23 \next \lose 1 P = ÀÏBCÏÔh, ÏBCÏ = a+b. \next \lose 2 Z tw. Pitagorasa h¾ = ÏABϾ-a¾, h¾ = ÏACϾ-b¾, (a+b)¾ = ÏABϾ+ÏACϾ. \next \lose 2 Dodajemy dwie pierwsze r®wno¯ci stronami: 2h¾ = ÏABϾ+ÏACϾ-a¾-b¾ i podstawiamy trzeci©: 2h¾ = (a+b)¾-a¾-b¾ = 2ab. \next \lose 1 Czyli h = ¸(ab). \end help \end question \end exercise \type 2fm \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text W rombie dany jest obw®d a = 8 i suma d¬ugo¯ci przek©tnych b = 7. Oblicz pole rombu. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text W rombie dany jest obw®d a = 8 i suma d¬ugo¯ci przek©tnych b = 7. Oblicz pole rombu. \end text \points 12 \begin answer \length 10 \wrong 4 \correct 8.25 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 \window 2,2,26,12 \scale 0,0,8,7 \draw 3,1,7,1 \draw 7,1,5,4 \draw 5,4,1,4 \draw 1,4,3,1 \dotted \draw 3,1,5,4 \draw 1,4,7,1 \solid \text 1,4,A \text 5,4,B \text 7,0.5,C \text 3,0.5,D \text 4,2.5,O \window 2,12,79,23 \next \lose 1 P = ÀÏACÏÔÏDBÏ = 2ÔÏAOÏÔÏBOÏ. \next \lose 2 Z tematu zadania mamy: ÏAOÏ+ÏBOÏ = b/2 = 7/2. Z tw. Pitagorasa: ÏAOϾ+ÏBOϾ = (a/4)¾ = 4. \next \lose 3 Podnosimy pierwsz© r®wno¯ª obustronnie do kwadratu i odejmujemy r®wno¯ci stronami. \next \lose 2 ÏAOϾ+2ÏAOÏÔÏBOÏ+ÏABϾ = 49/4, a po odj«ciu dostajemy wynik (zobacz wy±ej na wz®r na pole). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text W rombie dany jest obw®d a = 4 i suma d¬ugo¯ci przek©tnych b = 3. Oblicz pole rombu. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text W rombie dany jest obw®d a = 4 i suma d¬ugo¯ci przek©tnych b = 3. Oblicz pole rombu. \end text \points 12 \begin answer \length 10 \wrong 4 \correct 5/4 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 \window 2,2,26,12 \scale 0,0,8,7 \draw 3,1,7,1 \draw 7,1,5,4 \draw 5,4,1,4 \draw 1,4,3,1 \dotted \draw 3,1,5,4 \draw 1,4,7,1 \solid \text 1,4,A \text 5,4,B \text 7,0.5,C \text 3,0.5,D \text 4,2.5,O \window 2,12,79,23 \next \lose 1 P = ÀÏACÏÔÏDBÏ = 2ÔÏAOÏÔÏBOÏ. \next \lose 2 Z tematu zadania mamy: ÏAOÏ+ÏBOÏ = b/2 = 3/2. Z tw. Pitagorasa: ÏAOϾ+ÏBOϾ = (a/4)¾ = 1. \next \lose 3 Podnosimy pierwsz© r®wno¯ª obustronnie do kwadratu i odejmujemy r®wno¯ci stronami. \next \lose 2 ÏAOϾ+2ÏAOÏÔÏBOÏ+ÏABϾ = 9/4, a po odj«ciu dostajemy wynik (zobacz wy±ej na wz®r na pole). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text W rombie dany jest obw®d a = 12 i suma d¬ugo¯ci przek©tnych b = 9. Oblicz pole rombu. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text W rombie dany jest obw®d a = 12 i suma d¬ugo¯ci przek©tnych b = 9. Oblicz pole rombu. \end text \points 12 \begin answer \length 10 \wrong 4 \correct 45/4 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 \window 2,2,26,12 \scale 0,0,8,7 \draw 3,1,7,1 \draw 7,1,5,4 \draw 5,4,1,4 \draw 1,4,3,1 \dotted \draw 3,1,5,4 \draw 1,4,7,1 \solid \text 1,4,A \text 5,4,B \text 7,0.5,C \text 3,0.5,D \text 4,2.5,O \window 2,12,79,23 \next \lose 1 P = ÀÏACÏÔÏDBÏ = 2ÔÏAOÏÔÏBOÏ. \next \lose 2 Z tematu zadania mamy: ÏAOÏ+ÏBOÏ = b/2 = 9/2. Z tw. Pitagorasa: ÏAOϾ+ÏBOϾ = (a/4)¾ = 9. \next \lose 3 Podnosimy pierwsz© r®wno¯ª obustronnie do kwadratu i odejmujemy r®wno¯ci stronami. \next \lose 2 ÏAOϾ+2ÏAOÏÔÏBOÏ+ÏABϾ = 81/4, a po odj«ciu dostajemy wynik (zobacz wy±ej na wz®r na pole). \end help \end question \end exercise \type 2fm \begin exercise \begin params 3x4 5 7 30 35 4 8 60 32/s(3) 6 10 30 60 \end params \title Mierzenie figur \begin text \cont W tr®jk©cie ABC dane s© d¬ugo¯ci wysoko¯ci poprowadzonych z punkt®w A i B (&1 i &2 odpowiednio), oraz miara k©ta C - &3². Oblicz pole tr®jk©ta. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text W tr®jk©cie ABC dane s© d¬ugo¯ci wysoko¯ci poprowadzonych z punkt®w A i B (&1 i &2 odpowiednio), oraz miara k©ta C - &3². Oblicz pole tr®jk©ta. \end text \points 7 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct &4 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 \window 2,2,26,12 \scale 0,0,7,8 \draw 3,1,6,5 \draw 6,5,1,5 \draw 1,5,3,1 \dotted \draw 1,5,4.5,2.8 \draw 6,5,2,3 \solid \text 1,5,A \text 6,5,B \text 2.8,0.3,C \text 1.5,2.5,E \text 4.5,2.2,D \window 2,12,79,23 \next \lose 2 Dane s©: ÏADÏ i ÏEBÏ. P = ÀÏACÏÔÏEBÏ. \next \lose 2 \half ÏADÏ ÈÈÈÈ = sin &3², wyliczamy ÏACÏ. ÏACÏ \full \end help \end question \end exercise \type 2fm \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text Dla jakich warto¯ci parametru m pole tr®jk©ta o wierzcho¬kach A = (3,-1), B = (m+1,-2), C = (-1,m-3) jest r®wne 2 ? Dla jakiego m jest ono najwi«ksze ? \end text \begin question \globalexit \disabled \title Mierzenie figur \begin text a) Dla jakich warto¯ci parametru m pole tr®jk©ta o wierzcho¬kach A = (3,-1), B = (m+1,-2), C = (-1,m-3) jest r®wne 2 ? Podaj ilo¯ª rozwi©za­ oraz ich sum«, np. 4,3/4 \end text \points 7 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct 3,6 \end answer \begin help \lose 2 \half ÈÈ ÈÈ Wyznaczamy wektory AB = [m-2,-1], AC = [-4,m-2]. \next \lose 2 ÈÈ ÈÈ P = ÀÏd(AB,AC)Ï = ÀÏm¾-4mÏ = 2. \full \next \lose 2 Czyli m¾-4m = 4 lub m¾-4m = -4. Rozwi©zujemy oba r®wnania. \end help \end question \begin question \globalexit \title Mierzenie figur \begin text b) Dla jakich warto¯ci parametru m³(0,4) pole tr®jk©ta o wierzcho¬kach A = (3,-1), B = (m+1,-2), C = (-1,m-3) jest najwi«ksze ? \end text \points 7 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct 2 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Z poprzedniej cz«¯ci zadania mamy P = ÀÏm¾-4mÏ. W podanym przedziale funkcja m¾-4m jest ujemna, wi«c P = -À(m¾-4m) dla m³(0,4). \next \lose 1 Korzystamy ze wzoru na wsp®¬rz«dne wierzcho¬ka paraboli. Interesuje nas tylko odci«ta: m = -b/(2a). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text Dla jakich warto¯ci parametru m pole tr®jk©ta o wierzcho¬kach A = (m,-1.5), B = (2,0), C = (4,-m) jest r®wne 2 ? Dla jakiego m jest ono najwi«ksze ? \end text \begin question \globalexit \disabled \title Mierzenie figur \begin text a) Dla jakich warto¯ci parametru m pole tr®jk©ta o wierzcho¬kach A = (m,-1.5), B = (2,0), C = (4,-m) jest r®wne 2 ? Podaj ilo¯ª rozwi©za­ oraz ich sum«, np. 4,3/4 \end text \points 7 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct 3,3 \end answer \begin help \lose 2 \half ÈÈ ÈÈ Wyznaczamy wektory AB = [2-m,3/2], AC = [4-m,-m+3/2]. \next \lose 2 ÈÈ ÈÈ P = ÀÏd(AB,AC)Ï = ÀÏm¾-2m-3Ï = 2. \full \next \lose 2 Czyli m¾-2m-3 = 4 lub m¾-2m-3 = -4. Rozwi©zujemy oba r®wnania. \end help \end question \begin question \globalexit \title Mierzenie figur \begin text b) Dla jakich warto¯ci parametru m³(-1,3) pole tr®jk©ta o wierzcho¬kach A = (m,-1.5), B = (2,0), C = (4,-m) jest najwi«ksze ? \end text \points 7 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct 1 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Z poprzedniej cz«¯ci zadania mamy: P = ÀÏm¾-2m-3Ï. W podanym przedziale funkcja m¾-2m-3 jest ujemna, wi«c P = -À(m¾-2m-3) dla m³(-1,3). \next \lose 1 Korzystamy ze wzoru na wsp®¬rz«dne wierzcho¬ka paraboli. Interesuje nas tylko odci«ta: m = -b/(2a). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text Dla jakich warto¯ci parametru m pole tr®jk©ta o wierzcho¬kach A = (-5,m), B = (m-1,4), C = (3,-6) jest r®wne 32 ? Dla jakiego m jest ono najmniejsze ? \end text \begin question \globalexit \disabled \title Mierzenie figur \begin text a) Dla jakich warto¯ci parametru m pole tr®jk©ta o wierzcho¬kach A = (-5,m), B = (m-1,4), C = (3,-6) jest r®wne 32 ? Podaj ilo¯ª rozwi©za­ oraz ich sum«, np. 4,3/4 \end text \points 7 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct 2,-4 \end answer \begin help \lose 2 \half ÈÈ ÈÈ Wyznaczamy wektory AB = [m+4,4-m], AC = [8,-6-m]. \next \lose 2 ÈÈ ÈÈ P = ÀÏd(AB,AC)Ï = ÀÏ-m¾-2m-56Ï = 32. \full \next \lose 2 Czyli -m¾-2m-56 = 64 lub -m¾-2m-56 = -64. Rozwi©zujemy oba r®wnania. \end help \end question \begin question \globalexit \title Mierzenie figur \begin text b) Dla jakich warto¯ci parametru m pole tr®jk©ta A = (-5,m), B = (m-1,4), C = (3,-6) jest najmniejsze ? \end text \points 7 \begin answer \length 10 \wrong 2 \correct -1 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Z poprzedniej cz«¯ci zadania mamy P = ÀÏ-m¾-2m-56Ï. Funkcja -m¾-2m-56 jest zawsze ujemna, wi«c P = À(m¾+2m+56). \next \lose 1 Korzystamy ze wzoru na wsp®¬rz«dne wierzcho¬ka paraboli. Interesuje nas tylko odci«ta: m = -b/(2a). \end help \end question \end exercise \type 2fm \begin exercise \begin params 3x3 3 4 144/49 4 6 5.76 ¸(3) ¸(2) 6/(5+2s(6)) \end params \title Mierzenie figur \begin text \cont W tr®jk©t prostok©tny ABC o d¬ugo¯ciach przyprostok©tnych ÏACÏ = &1, ÏABÏ = &2 wpisano kwadrat tak, ±e dwa jego boki zawieraj© si« w przyprostok©tnych. Oblicz pole kwadratu. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text \cont W tr®jk©t prostok©tny ABC o d¬ugo¯ciach przyprostok©tnych ÏACÏ = &1, ÏABÏ = &2 wpisano kwadrat tak, ±e dwa jego boki zawieraj© si« w przyprostok©tnych. Oblicz pole kwadratu. \end text \points 10 \begin answer \length 15 \wrong 3 \correct &3 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 \window 2,2,30,12 \scale 0,0,8,7 \draw 1,1,7,4 \draw 7,4,1,4 \draw 1,4,1,1 \draw 1,2,3,2 \draw 3,2,3,4 \text 1,4,A \text 7,4,B \text 1,0.5,C \text 3,1.5,D \text 0.5,2,E \text 1.8,2,x \window 2,12,79,23 \next \lose 1 Dane s©: ÏACÏ i ÏABÏ. Oznaczamy bok kwadratu przez x. \next \lose 2 Tr®jk©ty ABC i EDC s© podobne. \next \lose 3 Zatem \half ÏACÏ ÏACÏ-x ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈ ; wyliczamy x. ÏABÏ x \full \end help \end question \end exercise \type 2fm \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont Stosunek obwod®w trzech wielok©t®w podobnych jest jak 2:4:5. Suma ich p®l wynosi 900. Wyznacz pole najwi«kszego z tych wielok©t®w. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text \cont Stosunek obwod®w trzech wielok©t®w podobnych jest jak 2:4:5. Suma ich p®l wynosi 900. Wyznacz pole najwi«kszego z tych wielok©t®w. \end text \points 7 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 500 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Stosunek p®l jest jak 4:16:25 (kwadraty liczb wyznaczaj©cych stosunek d¬ugo¯ci). \next \lose 2 Niech najmniejsze pole b«dzie r®wne 4x dla pewnego x. \next \lose 2 Wtedy suma p®l wynosi 4x+16x+25x = 900. Wyliczamy x, a potem najwi«ksze pole. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont Stosunek obwod®w trzech wielok©t®w podobnych jest jak 2:3:4. Suma ich p®l wynosi 145. Wyznacz pole najwi«kszego z tych wielok©t®w. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text \cont Stosunek obwod®w trzech wielok©t®w podobnych jest jak 2:3:4. Suma ich p®l wynosi 145. Wyznacz pole najwi«kszego z tych wielok©t®w. \end text \points 7 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 80 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Stosunek p®l jest jak 4:9:16 (kwadraty liczb wyznaczaj©cych stosunek d¬ugo¯ci). \next \lose 2 Niech najmniejsze pole b«dzie r®wne 4x dla pewnego x. \next \lose 2 Wtedy suma p®l wynosi 4x+9x+16x = 145. Wyliczamy x, a potem najwi«ksze pole. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont Stosunek obwod®w trzech wielok©t®w podobnych jest jak 2:3:5. Suma ich p®l wynosi 380. Wyznacz pole najwi«kszego z tych wielok©t®w. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text \cont Stosunek obwod®w trzech wielok©t®w podobnych jest jak 2:3:5. Suma ich p®l wynosi 380. Wyznacz pole najwi«kszego z tych wielok©t®w. \end text \points 7 \begin answer \length 5 \wrong 2 \correct 250 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Stosunek p®l jest jak 4:9:25 (kwadraty liczb wyznaczaj©cych stosunek d¬ugo¯ci). \next \lose 2 Niech najmniejsze pole b«dzie r®wne 4x dla pewnego x. \next \lose 2 Wtedy suma p®l wynosi 4x+9x+25x = 380. Wyliczamy x, a potem najwi«ksze pole. \end help \end question \end exercise \type 2fm \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont Wyznacz cosinus k©ta pomi«dzy wektorem [2,3] i prost© o r®wnaniu y = 3x. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text \cont Wyznacz cosinus k©ta pomi«dzy wektorem [2,3] i prost© o r®wnaniu y = 3x. \end text \points 6 \begin answer \length 15 \wrong 2 \correct 11/s(130) \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Prosta ma r®wnanie 3x-y = 0, wi«c wektor [3,-1] jest do niej prostopad¬y. \next \lose 1 Wektorem r®wnoleg¬ym do prostej jest np. [1,3]. \next \lose 1 Obliczamy cosinus k©ta ze znanego wzoru (znajdziesz go we Wzorach pod [F2]). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont Wyznacz cosinus k©ta pomi«dzy wektorem [4,1] i prost© o r®wnaniu y = -x. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text \cont Wyznacz cosinus k©ta pomi«dzy wektorem [4,1] i prost© o r®wnaniu y = -x. \end text \points 6 \begin answer \length 15 \wrong 2 \correct 3/s(34) \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Prosta ma r®wnanie x+y = 0, wi«c wektor [1,1] jest do niej prostopad¬y. \next \lose 1 Wektorem r®wnoleg¬ym do prostej jest np. [1,-1]. \next \lose 1 Obliczamy cosinus k©ta ze znanego wzoru (znajdziesz go we Wzorach pod [F2]). \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont Wyznacz cosinus k©ta pomi«dzy wektorem [-2,-4] i prost© o r®wnaniu y = Àx. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text \cont Wyznacz cosinus k©ta pomi«dzy wektorem [-2,-4] i prost© o r®wnaniu y = Àx. \end text \points 6 \begin answer \length 15 \wrong 2 \correct -8/10 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Prosta ma r®wnanie -Àx+y = 0, wi«c wektor [-À,1] jest do niej prostopad¬y. \next \lose 1 Wektorem r®wnoleg¬ym do prostej jest np. [2,1]. \next \lose 1 Obliczamy cosinus k©ta ze znanego wzoru (znajdziesz go we Wzorach pod [F2]). \end help \end question \end exercise \type 2fm \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont Dla punkt®w A = (1,3), B = (-1,5), C = (-1,0) znajd° k©t pomi«dzy prost© zawieraj©c© ¯rodkow© boku AB i prost© zawieraj©c© wysoko¯ª tr®jk©ta ABC, poprowadzon© z wierzcho¬ka C do boku AB. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text Dla punkt®w A = (1,3), B = (-1,5), C = (-1,0) znajd° k©t pomi«dzy prost© zawieraj©c© ¯rodkow© boku AB i prost© zawieraj©c© wysoko¯ª tr®jk©ta ABC, poprowadzon© z wierzcho¬ka C do boku AB. Podaj tangens tego k©ta. \end text \points 12 \begin answer \length 10 \wrong 4 \correct 3/5 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Wyznaczamy ¯rodek boku AB: (0,4). \next \lose 3 Prosta zawieraj©ca ¯rodkow© przechodzi przez C i (0,4): y = 4x+4. \next \lose 2 Prosta przechodz©ca przez AB: y = -x+4. Prosta prostopad¬a do niej: y = x+b. Ma zawieraª wierzcho¬ek C, wi«c 0 = -1+b, b = 1. \next \lose 2 Obliczamy k©t pomi«dzy prostymi y = 4x+4, y = x+1. 4 i 1 to tangensy k©t®w nachylenia do dodatniej p®¬osi osi x. Nas interesuje r®±nica tych k©t®w. \next \lose 1 tg¶ = 4, tg· =1. Korzystamy ze wzoru na tangens r®±nicy: tg(¶-·) = ... (znajd° go we wzorach). Pami«taj, ±e ma to byª tangens k©ta dodatniego. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont Dla punkt®w A = (0,1), B = (4,3), C = (3,5) znajd° k©t pomi«dzy prost© zawieraj©c© ¯rodkow© boku AB i prost© zawieraj©c© wysoko¯ª tr®jk©ta ABC, poprowadzon© z wierzcho¬ka C do boku AB. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text Dla punkt®w A = (0,1), B = (4,3), C = (3,5) znajd° k©t pomi«dzy prost© zawieraj©c© ¯rodkow© boku AB i prost© zawieraj©c© wysoko¯ª tr®jk©ta ABC, poprowadzon© z wierzcho¬ka C do boku AB. Podaj tangens tego k©ta. \end text \points 12 \begin answer \length 10 \wrong 4 \correct 1 \evaluate \end answer \begin help \lose 2 Wyznaczamy ¯rodek boku AB: (2,2) \next \lose 3 Prosta zawieraj©ca ¯rodkow© przechodzi przez C i (2,2): y = 3x-4. \next \lose 2 Prosta przechodz©ca przez AB: y = Àx+1. Prosta prostopad¬a do niej: y = -2x+b. Ma zawieraª wierzcho¬ek C, wi«c 5 = -6+b, b = 11. \next \lose 2 Obliczamy k©t pomi«dzy prostymi y = 3x-4, y = -2x+11. 3 i -2 to tangensy k©t®w nachylenia do dodatniej p®¬osi osi x. Nas interesuje r®±nica tych k©t®w. \next \lose 1 tg¶ = -2, tg· = 3. Korzystamy ze wzoru na tangens r®±nicy: tg(¶-·) = ... (znajd° go we wzorach). Pami«taj, ±e ma to byª tangens k©ta dodatniego. \end help \end question \end exercise \type 2fm \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont Znamy d¬ugo¯ci dw®ch bok®w tr®jk©ta: ÏABÏ = 5, ÏACÏ = 3 oraz promie­ okr«gu opisanego r = 3. Oblicz d¬ugo¯ª trzeciego boku. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text \cont Znamy d¬ugo¯ci dw®ch bok®w tr®jk©ta: ÏABÏ = 5, ÏACÏ = 3 oraz promie­ okr«gu opisanego r = 3. Oblicz d¬ugo¯ª trzeciego boku. \end text \points 13 \begin answer \length 25 \wrong 4 \correct (s(11)+5s(3))/2 \evaluate \end answer \begin help \lose 3 Obliczamy sinus k©ta o wierzcho¬ku w B: sin· = ÏACÏ/2r = 1/2. \next \lose 2 Obliczamy sinus k©ta o wierzcho¬ku w C: sinÙ = ÏABÏ/2r = 5/6. \next \lose 2 Obliczamy sinus k©ta o wierzcho¬ku w A: sin¶ = sin(180²-(·+Ù)) = sin(·+Ù) = sin· cosÙ + sinÙ cos·. \next \lose 2 Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy cos· = ¸(3)/2 i cosÙ = ¸(11)/6. Podstawiamy do wzoru na sin¶. \next \lose 2 Wreszcie obliczamy bok ÏCBÏ = 2rÔsin¶. \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont Znamy d¬ugo¯ci dw®ch bok®w tr®jk©ta: ÏABÏ = 7, ÏACÏ = 5 oraz promie­ okr«gu opisanego r = 4. Oblicz d¬ugo¯ª trzeciego boku. \end text \begin question \title Mierzenie figur \begin text \cont Znamy d¬ugo¯ci dw®ch bok®w tr®jk©ta: ÏABÏ = 7, ÏACÏ = 5 oraz promie­ okr«gu opisanego r = 4. Oblicz d¬ugo¯ª trzeciego boku. \end text \points 13 \begin answer \length 25 \wrong 4 \correct (5s(15)+7s(39))/8 \evaluate \end answer \begin help \lose 3 Obliczamy sinus k©ta o wierzcho¬ku w B: sin· = ÏACÏ/2r = 5/8. \next \lose 2 Obliczamy sinus k©ta o wierzcho¬ku w C: sinÙ = ÏABÏ/2r = 7/8. \next \lose 2 Obliczamy sinus k©ta o wierzcho¬ku w A: sin¶ = sin(180²-(·+Ù)) = sin(·+Ù) = sin· cosÙ + sinÙ cos·. \next \lose 2 Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy cos· = ¸(39)/8 i cosÙ = ¸(15)/8. Podstawiamy do wzoru na sin¶. \next \lose 2 Wreszcie obliczamy bok ÏCBÏ = 2rÔsin¶. \end help \end question \end exercise \type 2fm \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont W tr®jk©cie dane s© d¬ugo¯ci bok®w a = 4 i c = 8 oraz miara k©ta pomi«dzy nimi: 60². Oblicz d¬ugo¯ª trzeciego boku b i miar« k©ta pomi«dzy b i a. \end text \begin question \disabled \globalexit \title Mierzenie figur \begin text \cont a) W tr®jk©cie dane s© d¬ugo¯ci bok®w a = 4 i c = 8 oraz miara k©ta pomi«dzy nimi: 60². Oblicz d¬ugo¯ª trzeciego boku b. \end text \points 5 \begin answer \length 15 \wrong 2 \correct 4s(3) \evaluate \end answer \begin help \lose 2 \window 2,2,26,12 \scale 0,0,10,6 \draw 3,1,9,5 \draw 9,5,1,5 \draw 1,5,3,1 \text 1.3,2.5,b \text 6,2,a \text 5,5,c \text 7.8,4.5,· \window 2,12,79,23 \next \lose 2 Korzystamy ze wzoru: b¾ = a¾+c¾-2acÔcos·. \end help \end question \begin question \globalexit \title Mierzenie figur \begin text \cont b) W tr®jk©cie dane s© d¬ugo¯ci bok®w a = 4 i c = 8 oraz miara k©ta pomi«dzy nimi: 60². Oblicz cosinus k©ta pomi«dzy b i a. \end text \points 3 \begin answer \length 15 \wrong 2 \correct 0 \evaluate \end answer \begin help \lose 1 \window 2,2,26,12 \scale 0,0,10,6 \draw 3,1,9,5 \draw 9,5,1,5 \draw 1,5,3,1 \text 1.5,2,b \text 6,2,a \text 5,5,c \text 3,1.5,Ù \window 2,12,79,23 \next \lose 1 Korzystamy ze wzoru: \half b¾+a¾-c¾ cosÙ = ÈÈÈÈÈÈÈÈ . 2ab \full \end help \end question \end exercise \begin exercise \title Mierzenie figur \begin text \cont W tr®jk©cie dane s© d¬ugo¯ci bok®w a = 3 i c = 5 oraz miara k©ta pomi«dzy nimi: 60². Oblicz d¬ugo¯ª trzeciego boku b i miar« k©ta pomi«dzy b i a. \end text \begin question \disabled \globalexit \title Mierzenie figur \begin text \cont a) W tr®jk©cie dane s© d¬ugo¯ci bok®w a = 3 i c = 5 oraz miara k©ta pomi«dzy nimi: 60². Oblicz d¬ugo¯ª trzeciego boku b. \end text \points 5 \begin answer \length 15 \wrong 2 \correct s(19) \evaluate \end answer \begin help \lose 2 \window 2,2,26,12 \scale 0,0,10,6 \draw 3,1,9,5 \draw 9,5,1,5 \draw 1,5,3,1 \text 1.3,2.5,b \text 6,2,a \text 5,5,c \text 7.8,4.5,· \window 2,12,79,23 \next \lose 2 Korzystamy ze wzoru: b¾ = a¾+c¾-2acÔcos·. \end help \end question \begin question \globalexit \title Mierzenie figur \begin text \cont b) W tr®jk©cie dane s© d¬ugo¯ci bok®w a = 3 i c = 5 oraz miara k©ta pomi«dzy nimi: 60². Oblicz cosinus k©ta pomi«dzy b i a. \end text \points 3 \begin answer \length 15 \wrong 2 \correct 1/(2s(19)) \evaluate \end answer \begin help \lose 1 \window 2,2,26,12 \scale 0,0,10,6 \draw 3,1,9,5 \draw 9,5,1,5 \draw 1,5,3,1 \text 1.5,2,b \text 6,2,a \text 5,5,c \text 3,1.5,Ù \window 2,12,79,23 \next \lose 1 Korzystamy ze wzoru: \half b¾+a¾-c¾ cosÙ = ÈÈÈÈÈÈÈÈ . 2ab \full \end help \end question \end exercise