\type row
\title R®wnania
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie: (x-2)/(x+2) = (2x-7)/(2x-1)
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 6
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
\cr
      x-2   2x-7
      ÈÈÈ = ÈÈÈÈ
      x+2   2x-1
\end text
\begin answer
\length 5
\evaluate
\correct 8
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 1
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od -2 i 1/2 aby mianowniki by¬y r®±ne od 0.
Pozb©d° si« u¬amk®w mno±©c obie strony przez ...
\next
\lose 1
... (x+2) oraz (2x-1).
\next
\lose 2
Dostajemy
\cr
     (x-2)(2x-1) = (2x-7)(x+2)
\cr
     2x¾-4x-x+2 = 2x¾-7x+4x-14
\cr
\next
\lose 1
Redukujemy wyrazy podobne, odejmujemy obustronnie 2x¾, dodajemy 5x i 14.
Na pewno ju± sobie poradzisz. 
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie: (2x-5)/(2x-1) = (x-1)/(x+2)
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 6
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
\cr
      2x-5   x-1
      ÈÈÈÈ = ÈÈÈ
      2x-1   x+2
\end text
\begin answer
\length 5
\evaluate
\correct 11/2
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 1
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od -2 i 1/2 aby mianowniki by¬y r®±ne od 0.
Pozb©d° si« u¬amk®w mno±©c obie strony przez ...
\next
\lose 1
... (x+2) oraz (2x-1).
\next
\lose 2
Dostajemy
\cr
     (2x-5)(x+2) = (x-1)(2x-1)
\cr
     2x¾-5x+4x-10 = 2x¾-2x-x+1
\cr
\next
\lose 1
Redukujemy wyrazy podobne, odejmujemy obustronnie 2x¾, dodajemy 3x i 10.
Na pewno ju± sobie poradzisz. 
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie: (x+1)/(x-2) = (2x+13)/(2x+3)
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 6
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
\cr
       x+1   2x+13
       ÈÈÈ = ÈÈÈÈÈ
       x-2   2x+3 
\end text
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct 29/4
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 1
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od 2 i -3/2 aby mianowniki by¬y r®±ne od 0.
Pozb©d° si« u¬amk®w mno±©c obie strony przez ...
\next
\lose 1
... (x-2) oraz (2x+3).
\next
\lose 2
Dostajemy
\cr
     (x+1)(2x+3) = (2x+13)(x-2)
\cr
     2x¾+2x+3x+3 = 2x¾+13x-4x-26
\cr
\next
\lose 1
Redukujemy wyrazy podobne, odejmujemy obustronnie 2x¾ i 5x, dodajemy 26.
Na pewno ju± sobie poradzisz. 
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie: (x-3)/(x+3) = (3x-1)/(3x+2)
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 6
\begin text
Rozwi©± r®wnanie
\cr
      x-3   3x-1
      ÈÈÈ = ÈÈÈÈ
      x+3   3x+2
\end text
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct -3/15
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 1
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od -3 i -2/3 aby mianowniki by¬y r®±ne od 0.
Pozb©d° si« u¬amk®w mno±©c obie strony przez ...
\next
\lose 1
... (x+3) oraz (3x+2).
\next
\lose 2
Dostajemy
\cr
     (x-3)(3x+2) = (3x-1)(x+3)
\cr
     3x¾-9x+2x-6 = 3x¾-x+9x-3
\cr
\next
\lose 1
Redukujemy wyrazy podobne, odejmujemy obustronnie 3x¾, dodajemy 7x i 3.
Na pewno ju± sobie poradzisz. 
\end help
\end question
\end exercise
\type row
\title R®wnania
\begin exercise
\begin text
\cont
Dla jakich x funkcja f(x)=(2x+1)/(x-1) przyjmuje warto¯ª 3?
Jakiej warto¯ci w og®le nie przyjmuje ?
\end text
\begin question
\globalexit
\title R®wnania
\points 5
\begin text
a) Dla jakich x funkcja
\cr
          2x+1
   f(x) = ÈÈÈÈ
           x-1
\cr
przyjmuje warto¯ª 3 ?
\end text
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct 4
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 2
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od 1 aby mianownik by¬ r®±ny od zera.
Musimy rozwi©zaª r®wnanie f(x) = 3, czyli
\cr
     2x+1
     ÈÈÈÈ = 3
      x-1
\cr
\next
\lose 1
Mno±ymy obie strony przez (x-1) i mamy
\cr
     2x+1 = 3x-3, 
\cr
czyli x = ... (obustronnie odejmujemy 2x i dodajemy 3)
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title R®wnania
\points 6
\begin text
b) Jakiej warto¯ci nasza funkcja w og®le nie przyjmuje ?
\end text
\begin answer
\length 5
\evaluate
\correct 2
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 2
\full
Innymi s¬owami: dla jakich liczb a r®wnanie f(x) = a nie ma rozwi©zania ?
\cr
\next
\lose 2
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od 1 aby mianownik by¬ r®±ny od zera.
 
     2x+1
     ÈÈÈÈ = a, mno±ymy obie strony przez (x-1) i mamy
      x-1
\cr
     2x+1 = ax-a.
\cr
\next
\lose 1
Widaª, ±e gdy a =... to otrzymujemy sprzeczno¯ª 1 = -2
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
\cont
Dla jakich x funkcja f(x)=(2x+1)/(x+1) przyjmuje warto¯ª -1?
Jakiej warto¯ci w og®le nie przyjmuje ?
\end text
\begin question
\globalexit
\title R®wnania
\points 5
\begin text
a) Dla jakich x funkcja
\cr
          2x+1 
   f(x) = ÈÈÈÈ
           x+1
\cr
przyjmuje warto¯ª -1 ?
\end text
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct -2/3
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 3
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od -1 aby mianownik by¬ r®±ny od zera.
Musimy rozwi©zaª r®wnanie f(x) = -1, czyli
\cr
     2x+1
     ÈÈÈÈ = -1
      x+1
\cr
\next
\lose 1
Mno±ymy obie strony przez (x+1) i mamy
\cr
     2x+1 = -x-1,
\cr
czyli x = ... (obustronnie odejmujemy 1 i dodajemy x)
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title R®wnania
\points 6
\begin text
b) Jakiej warto¯ci nasza funkcja w og®le nie przyjmuje ?
\end text
\begin answer
\length 5
\evaluate
\correct 2
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 2
Innymi s¬owami: dla jakich liczb a r®wnanie f(x) = a nie ma rozwi©zania ?
\cr
\next
\lose 2
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od -1 aby mianownik by¬ r®±ny od zera.
 
     2x+1
     ÈÈÈÈ = a,     mno±ymy obie strony przez (x+1) i mamy
      x+1
\cr
     2x+1 = ax+a.
\cr
\next
\lose 1
Widaª, ±e gdy a =... to otrzymujemy sprzeczno¯ª 1 = 2 .
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
\cont
Dla jakich x funkcja f(x)=(x+1)/(2x-1) przyjmuje warto¯ª 2?
Jakiej warto¯ci w og®le nie przyjmuje ?
\end text
\begin question
\globalexit
\title R®wnanie
\points 5
\begin text
a) Dla jakich x funkcja
\cr
          x+1
   f(x) = ÈÈÈÈ
          2x-1
\cr
przyjmuje warto¯ª 2 ?
\end text
\begin answer
\length 5
\evaluate
\correct 1
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 2
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od 1/2 aby mianownik by¬ r®±ny od zera.
Musimy rozwi©zaª r®wnanie f(x) = 2, czyli
\cr
      x+1
     ÈÈÈÈ = 2
     2x-1
\cr
\next
\lose 1
Mno±ymy obie strony przez (2x-1) i mamy
\cr
     x+1 = 4x-2,
\cr
czyli x = ... (obustronnie odejmujemy x i dodajemy 2)
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title R®wnania
\points 6
\begin text
b) Jakiej warto¯ci nasza funkcja w og®le nie przyjmuje.
\end text
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct 1/2
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 2
Innymi s¬owami: dla jakich liczb a r®wnanie f(x) = a nie ma rozwi©zania.
\cr
\next
\lose 2
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od 1/2 aby mianownik by¬ r®±ny od zera.
 
      x+1
     ÈÈÈÈ = a, mno±ymy obie strony przez (2x-1) i mamy
     2x-1
\cr
     x+1 = 2ax-a.
\cr
\next
\lose 1
Widaª, ±e gdy a =... to otrzymujemy sprzeczno¯ª 1 = -1/2 .
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
\cont
Dla jakich x funkcja f(x)=(x-1)/(2x+1) przyjmuje warto¯ª -2?
Jakiej warto¯ci w og®le nie przyjmuje ?
\end text
\begin question
\globalexit
\title R®wnania
\points 5
\begin text
a) Dla jakich x funkcja
\cr
           x-1
   f(x) = ÈÈÈÈ
          2x+1
\cr
przyjmuje warto¯ª -2 ?
\end text
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct -1/5
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 3
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od -1/2 aby mianownik by¬ r®±ny od zera.
Musimy rozwi©zaª r®wnanie f(x) = -2, czyli
\cr
      x-1
     ÈÈÈÈ = -2
     2x+1
\cr
\next
\lose 1
Mno±ymy obie strony przez (2x+1) i mamy
\cr
     x-1 = -4x-2,
\cr
czyli x = ... (obustronnie dodajemy 4x i 1)
\end help
\end question
\begin question
\globalexit
\title R®wnania
\points 6
\begin text
b) Jakiej warto¯ci nasza funkcja w og®le nie przyjmuje ?
\end text
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct 1/2
\wrong 2
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 2
Innymi s¬owami: dla jakich liczb a r®wnanie f(x) = a nie ma rozwi©zania ?
\cr
\next
\lose 2
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od -1/2 aby mianownik by¬ r®±ny od zera.
 
      x-1
     ÈÈÈÈ = a, mno±ymy obie strony przez (2x+1) i mamy
     2x+1
\cr
     x+1 = 2ax+a.
\cr
\next
\lose 1
Widaª, ±e gdy a =... to otrzymujemy sprzeczno¯ª 1 = 1/2 .
\end help
\end question
\end exercise
\type row
\title R®wnania
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie: 2+x/(x+2) = 3x¾/(x¾-4).
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 8
\begin text
Rozwi©± r®wnanie:
\cr
        x     3x¾
   2 + ÈÈÈ = ÈÈÈÈ .
       x+2   x¾-4
\end text
\begin answer
\evaluate
\correct -4
\length 5
\wrong 3
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od 2 i -2.
Pomn®± obie strony przez x¾-4 = (x+2)(x-2)
\cr
\lose 2
\next
Dostajemy  2x¾-8+x(x-2) = 3x¾. Uporz©dkuj wyra±enia.
\cr
\lose  1
\next
\lose 2
Lewa strona:  2x¾-8+x¾-2x = 3x¾-2x-8. Prawa bez zmian. 
\cr
\next
\lose 1
Teraz odejmujemy 3x¾ od obu stron. Dodajemy 8 i mamy
\cr
     -2x = 8
\cr
\next
\lose 1
Dzielimy obie strony przez -2. x = ?
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie:(x-2)/(x-1)+2x/(x+1) = 3x¾/(x¾-1).
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 8
\begin text
Rozwi©± r®wnanie:
\cr
   x-2   2x     3x¾
   ÈÈÈ + ÈÈÈ = ÈÈÈÈ .
   x-1   x+1   x¾-1
\end text
\begin answer
\evaluate
\correct -2/3
\length 5
\wrong 3
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od 1 i -1.
Pomn®± obie strony przez x¾-1 = (x+1)(x-1)
\cr
\lose 2
\next
Dostajemy  (x-2)(x+1)+2x(x-1) = 3x¾. Uporz©dkuj wyra±enia.
\cr
\lose  1
\next
\lose 2
Lewa strona:  x¾-2x+x-2+2x¾-2x = 3x¾-3x-2. Prawa bez zmian.
\cr
\next
\lose 1
Teraz odejmujemy 3x¾ od obu stron. Teraz poradzisz sobie sam.
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie: (2x+1)/(x+1)-(3x-1)/(x-1) = x(4-x)/(x¾-1).
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 8
\begin text
Rozwi©± r®wnanie:
\cr
   2x+1   3x-2   x(4-x)
   ÈÈÈÈ - ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈ .
    x+1    x-1    x¾-1
\end text
\begin answer
\length 5
\correct 1/6
\wrong 3
\evaluate
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 1
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od 1 i -1.
Pomn®± obie strony przez x¾-1 = (x+1)(x-1).
\next
\lose 2
Otrzyma¬e¯: (2x+1)(x-1)-(3x-2)(x+1) = x(4-x). Wykonaj mno±enia.
\cr
\next
\lose 1
     2x¾+x-2x-1-(3x¾-2x+3x-2) = 4x-x¾
\cr
\next
\lose 1
Uporz©dkuj opuszczaj©c nawias i redukuj©c wyrazy podobne.
\cr
\next
\lose 1
Mam nadziej«, ±e zmieni¬e¯ znaki. Powiniene¯ mieª: -x¾-2x+1 = -x¾+4x.
\cr
\next
\lose 1
Dodajemy do obu stron x¾:  -2x+1 = 4x. Dodajemy 2x:   1 = 6x, 
no, chyba sobie ju± dasz rad«!
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie: (x+1)/(x+3)-3x/(x-3) = -2x(x+1)/(x¾-9).
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 8
\begin text
Rozwi©± r®wnanie:
\cr
   x+1    3x    -2x(x-1)
   ÈÈÈ - ÈÈÈÈ = ÈÈÈÈÈÈÈÈ .
   x+3    x-3     x¾-9
\end text
\begin answer
\length 8
\correct -3/13
\evaluate
\wrong 3
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 1
Zak¬adamy, ±e x jest r®±ne od 3 i -3.
Pomn®± obie strony przez x¾-9 = (x+3)(x-3).
\cr
\next
\lose 2
Otrzyma¬e¯: (x+1)(x-3)-3x(x+3) = -2x(x-1). Wykonaj mno±enia.
\cr
\next
\lose 1
     x¾+x-3x-3-(3x¾+9x) = -2x¾+2x
\cr
\next
\lose 1
Uporz©dkuj opuszczaj©c nawias i redukuj©c wyrazy podobne.
\cr
\next
\lose 1
Mam nadziej«, ±e zmieni¬e¯ znaki. Powiniene¯ mieª: -2x¾-11x-3 = -2x¾+2x.
\cr
\next
\lose 1
Dodajemy do obu stron 2x¾: -11x-3 = 2x. Odejmujemy 2x i dodajemy 3;
no, chyba sobie ju± dasz rad«!
\end help
\end question
\end exercise
\type row
\title R®wnania
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie (2x+3)¾-(3x-1)¾ = (x+3)(x-3)-6x¾-1
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 6
\begin text
Rozwi©± r®wnanie (2x+3)¾-(3x-1)¾ = (x+3)(x-3)-6x¾-1
\end text
\begin answer
\length 5
\evaluate
\correct -1
\wrong 3
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 1
Skorzystaj z wzor®w skr®conego mno±enia do przekszta¬cenia obu stron.
\cr
\next
Pierwszy sk¬adnik z lewej strony, wz®r (a+b)¾ = ...
Drugi sk¬adnik z lewej strony, wz®r (a-b)¾ =...
Pierwszy sk¬adnik z prawej strony, wz®r (a-b)(a+b) = ..
\lose 1
\next
Dostajemy
\cr
     4x¾+12x+9-(9x¾-6x+1) = x¾-9-6x¾-1
\cr
\lose 2
\next
Opuszczamy nawiasy (uwaga na wyra±enie w nawiasie). 
Redukujemy wyrazy podobne i mamy
\cr
     -5x¾+18x+8 = -5x¾-10
\cr
Teraz samodzielnie.
\lose 1
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie (x-1)¾-(3x+1)¾ = (x+2)(x-2)-9x¾
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 6
\begin text
Rozwi©± r®wnanie (x-1)¾-(3x+1)¾ = (x+2)(x-2)-9x¾
\end text
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct 1/2
\wrong 3
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 1
Skorzystaj z wzor®w skr®conego mno±enia do przekszta¬cenia obu stron.
\cr
\next
Pierwszy sk¬adnik z lewej strony, wz®r (a-b)¾ = ...
Drugi sk¬adnik z lewej strony, wz®r (a+b)¾ =...
Pierwszy sk¬adnik z prawej strony, wz®r (a-b)(a+b) = ..
   \lose 1
   \next
Dostajemy
\cr
     x¾-2x+1-(9x¾+6x+1) = x¾-4-9x¾
\cr
\lose 2
\next
Opuszczamy nawiasy (uwaga na wyra±enie w nawiasie). 
Redukujemy wyrazy podobne i mamy
\cr
     -8x¾-8x = -8x¾-4
\cr
Teraz samodzielnie.
\lose 1
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie (2x+3)¾-(x-1)¾ = (2x+1)(2x-1)-x¾-1
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 6
\begin text
Rozwi©± r®wnanie (2x+3)¾-(x-1)¾ = (2x+1)(2x-1)-x¾-1
\end text
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct -5/7
\wrong 3
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 1
Skorzystaj z wzor®w skr®conego mno±enia do przekszta¬cenia obu stron.
\cr
\next
Pierwszy sk¬adnik z lewej strony, wz®r (a+b)¾ = ...
Drugi sk¬adnik z lewej strony, wz®r (a-b)¾ =...
Pierwszy sk¬adnik z prawej strony, wz®r (a-b)(a+b) = ..
\lose 1
\next
Dostajemy
\cr
     4x¾+12x+9-(x¾-2x+1) = 4x¾-1-x¾-1
\cr
\lose 2
\next
Opuszczamy nawiasy (uwaga na wyra±enie w nawiasie). 
Redukujemy wyrazy podobne i mamy
\cr
     3x¾+14x+8 = 3x¾-2
\cr
Teraz samodzielnie.
\lose 1
\end help
\end question
\end exercise
\begin exercise
\begin text
Rozwi©± r®wnanie (x-3)¾-(2x+1)¾ = (x+3)(x-3)-4x¾+1
\end text
\begin question
\title R®wnania
\points 6
\begin text
Rozwi©± r®wnanie (x-3)¾-(2x+1)¾ = (x+3)(x-3)-4x¾+1
\end text
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct 8/5
\wrong 3
\end answer
\begin help
\window 1,2,79,23
\lose 1
Skorzystaj z wzor®w skr®conego mno±enia do przekszta¬cenia obu stron.
\cr
\next
Pierwszy sk¬adnik z lewej strony, wz®r (a-b)¾ = ...
Drugi sk¬adnik z lewej strony, wz®r (a+b)¾ =...
Pierwszy sk¬adnik z prawej strony, wz®r (a-b)(a+b) = ..
\lose 1
\next
Dostajemy
\cr
     x¾-6x+9-(4x¾+4x+1) = x¾-9-4x¾+1
\cr
\lose 2
\next
Opuszczamy nawiasy (uwaga wyra±enie w nawiasie). 
Redukujemy wyrazy podobne i mamy
\cr
     -3x¾-10x+8 = -3x¾-8
\cr
Teraz samodzielnie.
\lose 1
\end help
\end question
\end exercise