\type okr
\title Okr©g
\begin exercise
\begin text
\cont
Z punktu C na okr«gu poprowadzono dwie prostopad¬e i r®wnej d¬ugo¯ci ci«ciwy.
Oblicz d¬ugo¯ª ci«ciwy, je±eli pole ko¬a wynosi &1 cm¾ .
\end text
\begin params
4x3
49¹
7s(2)
7
64¹
8s(2)
8
8¹
4
2¸(2)
16¹
4s(2)
4
\end params
\begin question
\title Okr©g
\begin text
\cont
Z punktu C na okr«gu poprowadzono dwie prostopad¬e i r®wnej d¬ugo¯ci ci«ciwy. 
Oblicz d¬ugo¯ª ci«ciwy, je±eli pole ko¬a wynosi &1 cm¾ .
\end text
\points 10
\begin answer
\evaluate
\length 8
\correct &2
\wrong 3
\end answer
\begin help
\window 1,2,21,10
\scale 0,0,1,1
\ellipse 0.5,0.5,0.005,0.005
\draw 0.22,0.22,0.78,0.78
\ellipse 0.5,0.5,0.4,0.4
\draw 0.22,0.22,0.22,0.78
\draw 0.22,0.78,0.78,0.78
\text 0.15,0.50,a
\text 0.15,0.79,C
\text 0.5,0.77,a
\text 0.78,0.79,A
\text 0.2,0.1,B
\text 0.45,0.51,O
\text 0.6,0.61,r
\window 1,11,79,23
\lose 3
\next
\lose 2
Mamy dane pole ko¬a P. Szukamy a. 
Zauwa±my, ±e tr®jk©t ABC jest r®wnoramienny i prostok©tny. 
Jego przeciwprostok©tna AB jest ¯rednic© okr«gu, czyli ÏABÏ = 2r.
\next
\lose 2
Pole ko¬a to P = ¹r¾, a wi«c: r = ¸(P/¹) = &3
\next
\lose 2
Z twierdzenia Pitagorasa, mamy: (2r)¾ = 2a¾ i wyliczamy a.
Ostatecznie,
     a = 2r/¸(2) = ?
\end help
\end question
\end exercise
\type okr
\title Okr©g
\begin exercise
\begin text
\cont
Prosta k przechodz©ca przez ¯rodek O okr«gu przecina go w punktach A i B.
Punkty te po¬©czono ci«ciwami z punktem C le±©cym na okr«gu. Oblicz
promie­ okr«gu, je±eli ÏACÏ = &1 i ÏBCÏ = &2.
\end text
\begin params
4x3
¸(6)
¸(3)
3/2
4
3
5/2
¸(5)
2
3/2
3
¸(7)
2
\end params
\begin question
\title Okr©g
\begin text
\cont
Prosta k przechodz©ca przez ¯rodek O okr«gu przecina go w punktach A i B. 
Punkty te po¬©czono ci«ciwami z punktem C le±©cym na okr«gu. 
Oblicz promie­ okr«gu, je±eli ÏACÏ = &1 i ÏBCÏ = &2.
\end text
\points 10
\begin answer
\evaluate
\length 6
\correct &3
\wrong 3
\end answer
\begin help
\window 1,2,21,10
\scale 0,0,1,1
\ellipse 0.5,0.5,0.005,0.005
\draw 0.02,0.14,0.98,0.86
\ellipse 0.5,0.5,0.4,0.4
\draw 0.18,0.26,0.18,0.74
\draw 0.18,0.74,0.82,0.74
\text 0.12,0.50,a
\text 0.16,0.75,C
\text 0.5,0.75,b
\text 0.82,0.75,A
\text 0.18,0.15,B
\text 0.45,0.51,O
\text 0.53,0.43,c
\text 0.6,0.6,r
\text 0.93,0.85,k
\window 1,11,79,23
\lose 2
\next
\lose 3
Z warunk®w zadania wynika, ±e tr®jk©t ABC jest prostok©tny 
o przeciwprostok©tnej r®wnej ¯rednicy okr«gu, 
zatem ÏACÏ = b = &1, ÏBCÏ = a = &2, ÏABÏ = c = 2r. Szukamy r.
\next
\lose 3
Z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
     c¾ = a¾ + b¾, czyli (2r)¾ = a¾ + b¾.
\next
\lose 1
St©d wyliczamy r:
\cr
     r = À¸(a¾ + b¾) = ?
\end help
\end question
\end exercise
\type okr
\title Okr©g
\begin exercise
\begin text
\cont
W okr©g o promieniu r = &1 cm wpisano tr®jk©t. ¦rodek okr«gu le±y na
jednym z bok®w tr®jk©ta, a stosunek d¬ugo¯ci pozosta¬ych bok®w wynosi 3 : 4.
Oblicz pole tego tr®jk©ta.
\end text
\begin params
3x3
10
96
16
5
24
4
15
216
36
\end params
\begin question
\title Okr©g
\begin text
\cont
W okr©g o promieniu r = &1 cm wpisano tr®jk©t. ¦rodek okr«gu le±y na
jednym z bok®w tr®jk©ta, a stosunek d¬ugo¯ci pozosta¬ych bok®w wynosi 3 : 4.
Oblicz pole tego tr®jk©ta.
\end text
\points 15
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct &2
\wrong 4
\end answer
\begin help
\window 1,2,21,10
\scale 0,0,1,1
\ellipse 0.5,0.5,0.005,0.005
\draw 0.18,0.26,0.82,0.74
\ellipse 0.5,0.5,0.4,0.4
\draw 0.18,0.26,0.18,0.74
\draw 0.18,0.74,0.82,0.74
\text 0.12,0.50,a
\text 0.16,0.75,C
\text 0.5,0.75,b
\text 0.82,0.75,A
\text 0.18,0.18,B
\text 0.45,0.51,O
\text 0.53,0.435,c
\text 0.6,0.6,r
\window 1,11,79,23
\lose 2
\next
\lose 2
Z warunk®w zadania wynika, ±e tr®jk©t jest prostok©tny oraz, 
     ±e ¯rodek okr«gu jest ¯rodkiem jego przeciwprostok©tnej. 
Przyjmijmy, ±e d¬u±sz© przyprostok©tn© jest AC.
\next
\lose 2
Poniewa± ÏBCÏ/ÏACÏ=3/4, mo±emy przyj©ª, ±e ÏBCÏ = a = 3d, ÏACÏ = b = 4d, 
     gdzie d jest pewn© nieznan© liczb©.
\next
\lose 2
Ze wzoru na pole tr®jk©ta mamy: pole = P = ÀaÔb = À(3d)(4d) = 6d¾ .
\next
\lose 2
Z twierdzenia Pitagorasa a¾ + b¾ = c¾  wynika, ±e: (2r)¾ = (3d)¾ + (4d)¾,
\next
\lose 2
     a st©d d¾ = 4r¾/25 = &3.
\cont
\next
\lose 2
Ostatecznie, P = 6d¾ = ?
\end help
\end question
\end exercise
\type okr
\title Okr©g
\begin exercise
\begin text
\cont
Na okr«gu o promieniu r®wnym r = &1 cm opisano tr®jk©t r®wnoboczny.
Oblicz pole tego tr®jk©ta.
\end text
\begin params
4x3
5
75s(3)
10¸(3)
10
300s(3)
20¸(3)
¸(2)
6s(3)
2¸(6)
4
48s(3)
8¸(3)
\end params
\begin question
\title Okr©g
\begin text
\cont
Na okr«gu o promieniu r®wnym r = &1 cm opisano tr®jk©t r®wnoboczny. 
Oblicz pole tego tr®jk©ta.
\end text
\points 12
\begin answer
\evaluate
\length 10
\correct &2
\wrong 4
\end answer
\begin help
\window 1,2,21,10
\scale 0,0,1,1
\draw 0.1,0.9,0.9,0.9
\text 0.5,0.91,a
\text 0.52,0.79,C'
\draw 0.1,0.9,0.5,0.21
\draw 0.9,0.9,0.5,0.21
\dotted
\draw 0.5,0.21,0.5,0.9
\text 0.1,0.91,A
\text 0.9,0.91,B
\draw 0.9,0.9,0.30,0.55
\draw 0.1,0.9,0.7,0.55
\ellipse 0.5,0.67,0.23,0.23
\text 0.5,0.1,C
\text 0.24,0.50,a
\text 0.75,0.50,a
\text 0.51,0.58,O
\text 0.45,0.74,r
\window 1,11,79,23
\lose 4
\next
\lose 2
¦rodek okr«gu wpisanego w tr®jk©t le±y na przeci«ciu dwusiecznych. 
W przypadku tr®jk©ta r®wnobocznego oznacza to, 
±e promie­ r okr«gu wpisanego jest r®wny 1/3 wysoko¯ci tr®jk©ta.
\next
\lose 2
Niech a oznacza bok tr®jk©ta. Wtedy jego wysoko¯ª h = Àa¸(3).
\next
\lose 1
Tak wi«c: r = h/3 = a¸(3)/6. St©d: a = 6r/¸(3) = &3.
\next
\lose 2
Ostatecznie, ze wzoru na pole tr®jk©ta r®wnobocznego, mamy: 
     pole tr®jk©ta = a¾¸(3)/4 = ?
\end help
\end question
\end exercise
\type okr
\title Okr©g
\begin exercise
\begin text
Oblicz pole ko¬a opisanego na kwadracie o boku d¬ugo¯ci 
&1 cm.
\end text
\begin params
4x3
2
2p
¸(2)
4
8p
2¸(2)
6
18p
3¸(2)
8
32p
4¸(2)
\end params
\begin question
\title Okr©g
\begin text
Oblicz pole ko¬a opisanego na kwadracie o boku d¬ugo¯ci &1 cm.
\end text
\points 8
\begin answer
\evaluate
\length 5
\correct &2
\wrong 3
\end answer
\begin help
\window 1,2,21,10
\scale 0,0,1,1
\ellipse 0.5,0.5,0.424,0.424
\ellipse 0.5,0.5,0.01,0.01
\draw 0.2,0.8,0.8,0.8
\draw 0.8,0.8,0.8,0.2
\draw 0.8,0.2,0.2,0.2
\draw 0.2,0.2,0.2,0.8
\dotted
\draw 0.2,0.8,0.8,0.2
\text 0.2,0.8,A
\text 0.8,0.8,B
\text 0.8,0.1,C
\text 0.2,0.1,D
\text 0.5,0.79,a
\text 0.3,0.58,r
\window 1,11,79,23
\lose 2
\next
\lose 1
Mamy dane a = &1. Mamy obliczyª pole ko¬a P = ¹r¾.
\next
\lose 3
Odcinek AC jest przek©tn© kwadratu o boku a, 
     zatem ÏACÏ = 2r = a¸(2). St©d r = &3. 
\next
\lose 1
Ostatecznie P = ¹r¾ = ?
\end help
\end question
\end exercise